I, j, k : IntType;
X0 : tVector;
Err : RealType;
S : String;
Flag : Boolean;
begin
Form1.Memo1.Visible:= True;
Form1.Memo1.Clear;
Form1.Chart1.SeriesList[0].Clear;
For i:= 1 to N do X0[i]:= 0.0; {Начальные значения}
k:=0;
Flag:= False;
{Итерации по методу Зейделя}
While (Flag = False) and (k <= M) do
begin
{Подготовка к итерации}
Flag:= True; {Решение найдено}
Err:=0;
For i:=1 to N do
begin
X[i]:= -B[i];
For j:=1 to N do X[i]:= X[i]+A[i,j]*X0[j];
{Проверка решения}
Err:= Abs(X[i]/A[i,i])/N;
If Err >= Epsilon Then Flag:= False;
{Новое приближение}
{X[i]:= X0[i] - (X[i]/A[i,i]); }
{С коэффициентом релаксации}
X[i]:= X0[i] - 0.7*(X[i]/A[i,i]);
X0[i]:= X[i]
end;
Form1.Chart1.SeriesList[0].AddXY(k,Err);
k:= k+1;
{Заполнение Form1.ProgressBar2}
Form1.ProgressBar2.Position:=Round(100*k/M);
end;
Form1.SpinEdit2.Value:= k; {Вывод количества итераций}
Form1.Memo1.Visible:= True;
Form1.Memo1.Clear;
Form1.Memo1.Lines.Add('Метод простых итераций.');
If Flag= True Then Form1.Memo1.Lines.Add('Заданная точность '+FloatToStr(Epsilon)+' достигнута');
If Flag= False Then
begin
Form1.Memo1.Lines.Add('Заданная точность '+FloatToStr(Epsilon)+' не достигнута.');
Form1.Memo1.Lines.Add(Format('при k = %d', [k]));
Form1.Memo1.Lines.Add('Увеличьте количество итераций.');
end;
For i := 1 to N do
Form1.Memo1.Lines.Add(Format('X[%d] = %f', [i, X[i]]));
For i:= 1 to N do
Form1.StringGrid1.Cells[N+3, i]:= FloatToStrF(1.0*X[i],ffGeneral,3,3);
end;
1.1.7.3. Метод релаксации
Во многих задачах,
для которых потенциально полезен метод
Гаусса-Зейделя, удобна следующая важная
модификация этого метода. Вместо того
чтобы в качестве
брать решение уравнения
,
(1.5)
положим
(1.6)
где
- релаксационный
параметр.
Если подставить решение
уравнения (1.5) в уравнение (1.6), то после
группировки слагаемых получим
,
и с помощью
итерацию можно записать в виде
(1.7)
Здесь
- соответственно диагональная, строго
нижняя треугольная и строго верхняя
треугольная матрицы (т. е. диагональные
элементы матриц
и
равны нулю).
Очевидно, что в
случае
итерация (1.7) сводится к методу
Гаусса-Зейделя. Итерацию (1.7) при
произвольных значениях
называют методом
последовательной верхней релаксации
(сокращенно методом
ПВР), иногда
в литературе этот термин используют
лишь в случае
.
Как показала практика
вычислений при
(
-симметричная,
вещественная матрица) целесообразно
брать показатель релаксации
в пределах
;
в случае
метод релаксации обычно называют методом
сверхрелаксации.
В частности, во
многих случаях оптимальное значение
параметра релаксации
определяется экспериментально.
Пример 1.14 Метод последовательной верхней релаксации
procedure PVR(N,M:IntType; A:TMatrix; B:TVector; Var X:TVector);
{Реализация метода PVR}
Var