I, j, n : Integer;
p, L, x1 : RealType;
x, y : Vec;
ch : Char;
Begin
ClrScr;
WriteLn ('Введите N - порядок многочлена Лагранжа');
Read (n);
WriteLn('Введите пары значений xi, yi; i= 0,...,N');
For i:= 0 to N do
begin
Read (x[i],y[i]);
WriteLn;
end;
writeLn ('Введите x');
Read (x1);
L:= 0;
For i:= 0 to N do
begin
p:= 1;
For j:= 0 to N do
If j<>i then p:= p*(x1-x[j])/(x[i]-x[j]);
L:= L + y[i]*p;
end;
WriteLn ('x = ', x1:8:4, ' L(x) = ',L:8:4);;
Repeat Until KeyPressed; {Ожидает нажатия любой клавиши, модуль Crt}
{Используется для задержки информации на экране}
ClrScr;{Очищает экран, модуль Crt}
End.
3.2.8. Ошибки полиномиальной интерполяции
Предположим, что величина
представляет собой точные значения
известной функции
в точках
.
Пусть
- единственный полином
-й степени, интерполирующий функцию по
этим
точкам
.
Предположим, что во всех
функция
имеет
непрерывных производных. Тогда можно
доказать, что для любого
,
где
- некоторая неизвестная точка между
и
.
Практическую пользу из этого выражения
можно извлечь только в простых случаях,
когда оно даёт границы ошибок.
Если интерполировать известную функцию в большем числе точек, то выражение для погрешности, состоящее из трёх разных частей, будет вести себя следующим образом:
факториал и произведение разностей с увеличением уменьшают ошибку;
порядок производной при этом растёт.
Для большинства функций величины
производных увеличиваются быстрее, чем
.
В результате полиномиальные интерполянты
редко сходятся к обычной непрерывной
функции.
Практический эффект выражается в том, что полиномиальный интерполянт высокой степени может вести себя очень плохо в точках , отличных от узловых . Поэтому используются интерполянты степени не выше 4 или 5.
Полиномиальная интерполяция высокой степени – плохая идея.
3.2.9. Кусочно-линейная интерполяция
Глобальная интерполяция – это интерполяция по всем точкам интервала .
Полиномиальная интерполяция является глобальной. Это значит, что полиномиальная функция должна проходить через все заданные точки. При добавлении данных приходится увеличивать степень полином, что приводит к затруднениям.
Поэтому используют кусочно-полиномиальные функции. При работе с кусочно-полиномиальными функциями абсциссы данных называют узлами, сочленениями или точками излома.
Кусочно-полиномиальная интерполяция
– локальна, только на интервале
.
Линейная кусочно-полиномиальная функция
-это функция, определённая при всех
,
обладающая тем свойством, что
является прямой линией между
и
.
Правило для вычисления :
Пример.
Uses Crt;
Const n=2;
Var X,y : Array[0..N] of Real;
I,j : Integer;
Function Interpolate(x1:real):Real;
Var f:Real;
begin
f:= y[i] + (y[i+1] - y[i])/(x[i+1] - x[i])*(x1-x[i]);
Interpolate:=f;
end;
Begin
ClrScr;
Writeln('Линейная интерполяция');
For i:=1 to n do
begin
Write('X(',i:2,'), Y(',i:2,')= '); ReadLn(x[i],y[i]);
end;
for i:=1 to n do
begin
Writeln('X(',i:2,')= ',x[i]:5:5,' Y(',i:2,')= ',y[i]:5:5,
' Y*(',i:2,')= ',interpolate(x[i]):5:5);
end;
Write('Для продолжения нажмите <Enter>'); Readln;
end.