4.2. Симметрия тензоров и тензорных функций
1. Пусть T — какой-либо фиксированный тензор второго ранга, а — такое подмножество ортогональных тензоров, что
, (4.2.1)
т.е. данный тензор T не изменяется. Покажем, что есть группа, используя теорему о подгруппе. Из следует , т.е. что . Далее, обратный тензор к , , осуществляет преобразование . Но из следует и затем , т.е. данное преобразование также принадлежит . Эта группа называется группой симметрии тензора T.
Рис. 4.3. Конструкция,
имеющая группу симметрии симметричного
тензора с простым спектром
Два тензора с действительным спектром соосны тогда и только тогда, когда их группы симметрии совпадают. Докажите это утверждение самостоятельно.
По данному выше образцу можно дать определение группы симметрии тензора произвольного ранга.
Самостоятельно найдите группы симметрии полярных вектора , диад и ( ), тензора .
2. Тензор называется изотропным, если
, (4.2.2)
и демитропным, если
. (4.2.3)
Пусть p — нечетное натуральное число. Тогда, полагая O = –I, получаем , и потому (4.2.2) для ненулевого выполняться не может. Таким образом, изотропных тензоров нечетного ранга не существует. Тензор ранга p=1 не может быть и демитропным, что элементарно проверяется. Для p=3 необходимому свойству демитропности удовлетворяет тензор Леви-Чивита, ибо из (2.3.4) следует равенство , эквивалентное (4.2.3) для . Таким образом, множество демитропных тензоров из исчерпывается подпространством антисимметричных тензоров, представимых в виде (2.3.13)
, .
Пусть теперь p — четное число. При p=2 равенство означает, что каждая главная ось преобразуется в его главную ось; если , то — такой тензор, главные оси которого при любом ортогональном преобразовании преобразуются в главные же его оси. Это возможно только тогда, когда для каждое направление в является главным, то есть когда — шаровой тензор
, .
При произвольном четном p линейно независимые изотропные тензоры могут быть получены перестановкой базисных векторов в записи
. ,
Пусть p=4, тогда имеем три таких тензора:
(4.2.4)
а общий вид изотропного тензора из представляется их линейной комбинацией
. (4.2.5)
Тензоры имеют свойства (T — любой тензор второго ранга)
(4.2.6)
С помощью (4.2.6) можно построить ортогональные проекторы, выделяющие из тензора второго ранга его симметричную и антисимметричную части:
(4.2.7)
а также девиаторную и шаровую части:
Тензор
выступает в качестве единицы пространства полусимметричных тензоров четвертого ранга
В случае произвольного четного p количество базисных изотропных тензоров равно . Для p=6 имеются 15 изотропных тензоров и т.д.
3. Примеры функций тензорного аргумента нам уже встречались: степень тензора, след тензора, его собственное число и т.д. Мы изучим здесь симметрию функций двух видов: отображающую в R и отображающую в себя.
Для скалярозначной функции F определено множество , состоящее из таких элементов , которые она не чувствует:
= T . (4.2.8)
Это множество представляет собой группу, называемую группой симметрии функции. Доказательство предоставляется читателю. Для тензорзначной функции F группа симметрии содержит такие , что
= T . (4.2.9)
Для тензорзначных функций имеется связь групп симметрии тензора-аргумента функции , тензора-значения функции и самой функции :
. (4.2.10)
Действительно, когда , справедливо соотношение (4.2.9), когда , — соотношение, , так что, когда справедливы оба эти соотношения, , то есть, , что и влечет вложение (4.2.10).
Тензорная функция называется изотропной, если . Для нее из (4.2.10) следует
, (4.2.11)
откуда, в свою очередь вытекает, что характеристические пространства тензора-аргумента являются вложенными в характеристические пространства тензора-значения функции. Этот факт предлагается доказать самостоятельно.
Если функция обратима, то нетрудно показать, что в (4.2.10) достигается равенство. Если она еще и изотропна, то
,
то есть группы симметрии аргумента такой функции и ее значения совпадают и, согласно сказанному выше, для любого аргумента последний и значение функции есть соосные тензоры.
Найдите группы симметрии следующих функций тензора : , , , .
4. В качестве примера построим изотропную функцию зависимости одного симметричного девиатора от другого. Согласно (3.3.15) и (3.3.18) для тензора-аргумента имеем
(4.2.12)
а из (4.2.11) следует, что и тензор-значение представимо спектральным разложением по базисным элементам тензора :
. (4.2.13)
Разрешая (4.2.12) относительно и подставляя результат в (4.2.13), получаем
. (4.2.14)
Упомянутое разрешение нельзя выполнить при . В этих случаях из (3.3.13) следует, что тензор-аргумент осесимметричен и из (4.2.12) также осесимметричен (с теми же характеристическими пространствами), ибо девиатор шаровым быть не может. Поэтому мы можем сразу написать
. (4.2.15)
В (4.2.14) содержится частный случай , когда также получается представление (4.2.15), означающее пропорциональность тензоров — аргумента и значения функции.
Полученное представление сводит задачу построения функции, связывающей два симметричных девиатора (эквивалентной пяти скалярным функциям для независимых компонент тензора-значения, каждая из которых зависит от пяти независимых компонент тензора-аргумента), к построению двух скалярных функций и .