4.3. Производная тензорной функции
Для определения производной функции (сначала скалярозначной) тензорного аргумента сначала сведем последнюю к функции нескольких скалярных переменных
(4.3.1)
путем отнесения тензора-аргумента к произвольному ортобазису. Разлагаем (4.3.1) в степенной ряд
(4.3.2)
где обозначает члены более высокого порядка малости относительно . Выражение (4.3.2) можно кратко записать в более привычном виде
, (4.3.3)
где , ,
а тензор второго ранга
(4.3.4)
и есть производная функции по . Для ее нахождения согласно (4.3.4) необходимо отыскать частные производные по всем компонентам и свернуть их с исходным базисом.
Разложение (4.3.3) в пределе принимает вид
. (4.3.5)
Это выражение можно использовать для бескомпонентного нахождения производной тензорной функции. Для этого в выражении дифференциала функции необходимо выделить .
Пусть, например, . Тогда и . Другим способом: и .
При компонентном нахождении производной возникает задача записи результата в бескомпонентном виде (ведь исходная функция дается именно в таком виде).
Бескомпонентным способом удобнее находить производную, если доказать правила дифференцирования
, ,
, ,
( и — функции ), что предлагается сделать читателю.
Читателю предлагается также доказать
и найти производные по следующих функций:
.
Аналогичным способом можно вывести выражение для производной тензорзначной функции тензорного аргумента:
(4.3.6)
(которая есть тензор IV ранга) или в бескомпонентном виде
. (4.3.7)
С помощью данных определений можно доказать правила для бескомпонентного нахождения производной тензорзначных функций
,
.
Найдите производные следующих тензорзначных функций :
, , , , .
Найдите также вторую производную второго и третьего инвариантов.