Геометрия. Справочный материал (редактированный)

Свойства и признаки параллельных прямых.

1. Аксиома параллельных. Через данную точку можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

2. Если две прямые параллельны одной и той же прямой, то они параллельны между собой.

3. Две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны.

4. Если две параллельные прямые пересечь третьей, то: а) образованные при этом накрест лежащие углы равны; б) соответственные углы равны; в) сумма односторонних углов составляет 180°.

5. Если при пересечении двух прямых третьей образуются: а) равные внутренние накрест лежащие углы, то прямые параллельны; б) равные соответственные углы, то прямые параллельны; в) сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

6. Теорема Фалеса. Если на одной стороне угла отложить равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую сторону угла, то на второй стороне угла образуются также равные отрезки.

Треугольник.

Признаки равенства треугольников.

1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

2. Если сторона и прилежащие к ней два угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Признаки равенства прямоугольных треугольников.

1. По двум катетам.

2. По гипотенузе и катету.

3. По катету и острому углу.

4. По гипотенузе и острому углу.

Теорема о сумме углов треугольника и следствия из нее.

1. Сумма внутренних углов треугольника 180°.

2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

3. Сумма внутренних углов выпуклого n-ка равна 180°(n – 2).

4. Сумма внешних углов выпуклого n-ка равна 360°.

5. Угол между биссектрисами смежных углов равен 90°.

6. Биссектрисы односторонних углов при параллельных прямых и секущей перпендикулярны.

Основные свойства и признаки равнобедренного треугольника.

1. Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

2. Если два угла треугольника равны, то он равнобедренный.

3. В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведенные к основанию, совпадают.

4. Если в треугольнике совпадает любая пара отрезков из тройки – медиана, биссектриса, высота, то он равнобедренный.

Неравенство треугольника и следствия из него.

1. Сумма двух сторон треугольника всегда больше его третьей стороны, но разность двух сторон треугольника всегда меньше его третьей стороны.

2. Против большего угла в треугольнике лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол.

3. Гипотенуза всегда больше катета.

Средняя линия треугольника – отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Средняя линия треугольника параллельна его стороне и равна ее половине.

Медиана треугольника.

1. Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2: 1, начиная от вершины.

2. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром описанной около треугольника окружности.

Биссектрисы треугольника: а) пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной в треугольник окружности; б) биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

Признаки подобия треугольников.

1. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то тр-ки подобны.

2. Если две стороны одного треугольника соответственно пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами равны, то тр-ки подобны.

3. . Если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники подобны.

Площади подобных треугольников.

1. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

2. Если два треугольника имеют равные углы, то их площади относятся как произведения сторон, заключающих эти углы.

В прямоугольном треугольнике.

1. Катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы.

2. Синус острого угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе, косинус острого угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе, тангенс острого угла – отношение противолежащего катета к прилежащему, котангенс острого угла – отношение прилежащего катета к противолежащему.

3. R = r = = p – c, где , b – катеты, с – гипотенуза, R и r – радиусы.

Теорема Пифагора и ей обратная.

1. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

2. Если квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, то треугольник прямоугольный.

Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике.

;

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике.

1. Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

2. Формула для медианы треугольника. Если m – медиана треугольника, проведенная к стороне с, то m = .

3. Обобщенная теорема синусов. = = 2R.