Тестовые задания

Пусть Х, Y – произвольные множества, ;  – пустое множество.

1. Найти .

Ответы:

1. 2.  3. Х

2. Найти .

Ответы:

1. 2. Y 3.

3. Найти U\Y.

Ответы:

1. 2. 3.

2. Основные понятия комбинаторики

Пусть имеется множество, содержащее n различных элементов. Каждое упорядоченное подмножество состоящее из k элементов, взятых из n данных называется размещением из n элементов по k элементов (n  k  0): .

Размещения из n элементов по n элементов называются перестановками из n элементов: .

Пусть имеется множество, состоящее из n элементов. Каждое его подмножество, содержащее k элементов, называется сочетанием из n по k элементов: .

Свойства сочетаний:

1.  . 2.  .

Двучлен (а+b)ⁿ носит название бинома Ньютона, где а, b – произвольные числа, а n – натуральное произвольное число. Для произвольных чисел а и b и произвольного натурального числа n справедлива формула Ньютона:

= .

Правая часть формулы называется разложением натуральной степени бинома. Коэффициенты называются биномиальными коэффициентами.

Отметим некоторые характерные особенности формулы Ньютона.

1. Правая часть формулы Ньютона содержит (n + 1) слагаемых. 2.  – формула (k + 1) члена разложения бинома Ньютона. 3. Показатели степени при a в каждом следующем члене разложения на единицу меньше, чем в предыдущем, показатели степени при b на единицу больше. Сумма показателей степени при a и b в каждом члене разложения равна n. 4. Биномиальные коэффициенты разложения, одинаково удаленные от конца разложения, равны, так как по свойству сочетаний = . 5. Сумма всех биномиальных коэффициентов равна 2ⁿ, где n – показатель бинома.

2.1. Перестановки, размещения и сочетания Вопросы для повторения

1. Что называется перестановкой?

2. Что называется размещением?

3. Что называется сочетанием?

2.1. Вычислить: .

Решение

= .

2.2. Сколько различных двузначных чисел можно образовать из цифр 1, 2, 3, 4 при условии, что в каждом числе нет одинаковых цифр?

Решение

Число различных двузначных чисел равно числу размещений из 4 элементов по 2, т.е. . Положим n = 4, k = 2. Получим = = =4  3 = 12.

2.3. Сколько шестизначных чисел, кратных пяти, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 при условии, что в числе цифры не повторяются.

Решение

Цифра пять обязана стоять на последнем месте. Остальные пять цифр могут стоять на оставшихся пяти местах в любом порядке. Следовательно, искомое число шестизначных чисел, кратных пяти, равно числу перестановок из пяти элементов. Получим Р₅ = 5! = 1  2  3  4  5 = 120.

2.4. Группу курсантов должна экзаменовать по математике комиссия из двух преподавателей. Сколькими способами может быть составлена такая комиссия, если в училище пять преподавателей по математике?

Решение

Способы составления комиссии отличаются друг от друга хотя бы одним преподавателем, т.е. комиссия – это подмножество, состоящее из двух различных элементов, множества, состоящего из 5 различных элементов. Число таких способов будет

.

2.5. Найти n, если

2.6. В розыгрыше первенства по футболу было сыграно 153 матча. Каждые две команды встречались между собой один раз. Сколько команд участвовало в розыгрыше первенства?

2.7. На пять сотрудников выданы три путевки. Сколькими способами их можно распределить, если:

1) все путевки различны;

2) все путевки одинаковы?

2.8. Во взводе три сержанта и 20 солдат. Сколькими способами можно выделить одного сержанта и трех солдат для патрулирования?

2.9. Во взводе 25 человек. Нужно выбрать замкомвзвода, журналиста и книгоношу. Сколькими способами это можно сделать?

2.10. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составлены различные пятизначные числа, не содержащие одинаковых цифр. Сколько среди этих чисел таких, которые: 1) начинаются цифрой 3; 2) не начинаются цифрой 5; 3) начинаются с числа 54; 4) не начинаются с числа 54; 5) являются четными; 6) делятся на 4?

2.11 Сколько различных трехцветных флагов с тремя горизонтальными полосами можно получить, если использовать: 1) три цвета; 2) четыре цвета?