- •Е.В. Сорокина дискретная МатЕматика
- •1. Множества и основные операции над ними
- •1.1. Множества, способы их задания Вопросы для повторения
- •1.2. Основные операции над множествами Вопросы для повторения
- •Тестовые задания
- •2. Основные понятия комбинаторики
- •2.1. Перестановки, размещения и сочетания Вопросы для повторения
- •2.2. Бином Ньютона Вопросы для повторения
- •Тестовые задания
- •3. Алгебра логики
- •3.1. Логика высказываний и предикатов
- •Вопросы для повторения
- •3.1.1. Определения и свойства логических операций. Сложные высказывания
- •3.1.2. Таблицы истинности
- •3.2. Булевы функции
- •Вопросы для повторения
- •3.2.1. Определения и свойства логических операций. Сложные высказывания
- •3.2.2. Минимизация булевых функций с помощью карт Карно
- •3.2.3. Анализ и синтез комбинационных устройств в заданном базисе
- •Тестовые задания
- •4. Элементы теории графов
- •4.1. Основные понятия теории графов Вопросы для повторения
- •4.2. Сетевое планирование Вопросы для повторения
- •5. Теория алгоритмов и конечные автоматы
- •5.1. Алгоритмы Вопросы для повторения
- •5.2. Построение конечных автоматов Вопросы для повторения
- •Список рекомендуемой литературы
- •Оглавление
- •Дискретная математика
2.2. Бином Ньютона Вопросы для повторения
1. Что такое бином Ньютона?
2. Как вычисляется бином Ньютона?
2.12. Возвести в седьмую степень двучлен (x + 1).
Решение
Положив в формуле a = x, b = 1, n = 7, и заменяя биномиальные коэффициенты по формуле , получим:
(x + 1)7 = x7 + 7x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + 7x + 1 = = x7 + 7x6 + 21x5 + 35x4 + 35x3 + 21x2 + 7x + 1.
2.13. Вычислить (1 + i )6.
Решение
(1 + i )6 = = 8 i.
2.14. Вычислить
2.15. Найти седьмой член разложения для степени бинома .
2.16. Найти пятый член разложения для степени бинома .
2.17. Сумма биномиальных коэффициентов разложения равна 64. Найти член, не содержащий переменную х.
Тестовые задания
Вычислить:
1.
Ответы:
1. 6 2. 12 3. 15 4. 24
2.
Ответы:
1. к(к-1) 2. к! 3. к 4. 1
3.
Ответы:
1. 3 2. 6 3. 10 4. 12
3. Алгебра логики
3.1. Логика высказываний и предикатов
Логика предикатов вместе с входящей в нее логикой высказываний является основой логического языка математики.
Высказываниями в математической логике называют предложения, о которых можно сказать истинны они или ложны. Предикат – повествовательное предложение, содержащее предметные переменные, определенные на соответствующих множествах. При замене переменных конкретными значениями (элементами) этих множеств предложение обращается в высказывание, т.е. принимает значения "истинно" или "ложно".
Буквы, обозначающие высказывания, логические связки и скобки, составляют алфавит языков логики высказываний: алгебры логики и исчисления высказываний. С помощью элементов алфавита можно построить разнообразные логические формулы – предикатные формулы. Исследование предикатных формул и способов установления их истинности является основным предметом логики предикатов.
Если имеется одно или несколько высказываний, то из них можно получить новые высказывания, называемые сложными или составными, с использованием следующих логических связок (операций):
конъюнкция (логическое произведение, операция "И") двух высказываний Р и Q – высказывание, истинное, когда оба высказывания истинны, и ложное – во всех других случаях (обозначается: P & Q; P Q; ; читается: "Р и Q");
дизъюнкция (логическая сумма, операция "ИЛИ") двух высказываний Р и Q – высказывание, ложное в случае, когда оба высказывания ложны, и истинное – во всех других случаях (обозначается: Р Q; Р + Q; читается: "Р или Q"; понимается как неразделительное "ИЛИ");
отрицание (инверсия) высказывания Р – высказывание, истинное, когда высказывание Р ложно, и ложное – в противном случае (обозначается: ; Р; читается: "не Р", "неверно, что Р");
импликация (логическое следствие) двух высказываний Р и Q – высказывание, ложное, когда Р истинно, а Q ложно; во всех других случаях – истинное (обозначается: Р Q, Р Q ; читается: "если Р, то Q", "Р влечет Q", "из Р следует Q"); при этом высказывание Р называется посылкой импликации, а высказывание Q – заключением);
эквивалентность (эквиваленция, равнозначность) двух высказываний Р и Q – высказывание, истинное, когда истинные значения Р и Q совпадают, и ложно – в противном случае (обозначается: Р Q, Р Q, Р Q; читается "Р эквивалентно Q", "Р, если и только если Q", "Р равнозначно Q");
неравнозначность (исключающее "ИЛИ", сложение по модулю два) двух высказываний Р и Q – высказывание, истинное, когда истинные значения Р и Q не совпадают, и ложное – в противном случае (обозначается: Р Q, Р Q; читается "либо Р, либо Q", "или Р, или Q"; понимается – в разделительном смысле).
Введенные выше операции можно формализовать, сведя принимаемые ими значения в табл. 3.1.
Таблица 3.1
Таблица истинности логических операций
А |
В |
|
|
|
|
|
И |
И |
Л |
И |
И |
И |
И |
И |
Л |
Л |
Л |
И |
Л |
Л |
Л |
И |
И |
Л |
И |
И |
Л |
Л |
Л |
И |
Л |
Л |
И |
И |
Таблица истинности может служить для формального определения операций над событиями.