Свойства математического ожидания

Для упрощения доказательств свойств математического ожидания будем рассматривать случайные величины, множества возможных значений которых конечны. Однако соответствующие свойства справедливы также и для дискретных случайных величин, множества возможных значений которых счетны, и для непрерывных случайных величин. Поэтому при формулировке свойств мы не будем указывать какие из случайных величин рассматриваются.

Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равняется самой постоянной величине

.

Доказательство. Постоянную величину можно рассматривать как случайную, которая принимает единственное значение с вероятностью 1, то есть имеет закон распределения

	1

По определению математического ожидания находим

.

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак ожидания

.

Доказательство. Если случайная величина задана таблицей 1

Таблица 1.

Х			…
			…			,

то случайная величина имеет закон распределения вида

Таблица 2.

			…
			…

По определению математического ожидания находим

.

Свойство 3. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их ожиданий

.

Доказательство. Будем для простоты считать, что законы распределения случайных величин и заданы соответственно таблицами

Таблица 3. Таблица 4.

Тогда по определению математического ожидания

, .

Сумма случайных величин будет иметь закон распределения вида

Таблица 5.

По определению находим математическое ожидание суммы двух случайных величин

.

Раскроем скобки и перегруппируем члены, получим

. ●

Свойство 3 можно распространить с помощью метода математической индукции на случай случайных величин.

Свойство 4. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их ожиданий

. ●

Свойство 5. Математическое ожидание разности случайных величин и равно разности их ожиданий

.

Доказательство. Воспользовавшись свойствами 2 и 3 математического ожидания, имеем

. ●

Свойство 6. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их ожиданий

.

Доказательство. Пусть как и в свойстве 3 законы распределения случайных величин и заданы соответственно таблицами 3 и 4.

Произведение этих случайных величин будет иметь закон распределения вида

Таблица 6.

По определению находим математическое ожидание произведения .

Методом математической индукции свойство 6 можно расширить на произведение любого конечного числа независимых случайных величин.

Свойство 7. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению ожиданий

. ●

Замечание. Отметим, что свойства 3 и 4 имеют место как для независимых, так и для зависимых случайных величин, а свойства 5 и 6 справедливы только для независимых случайных величин.

Определение. Разность называется отклонением случайной величины от ее математического ожидания.

Из определения следует, что отклонение случайной величины является случайной величиной.

Свойство 8. Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю

.

Доказательство. По свойствам 5 и 1 математического ожидания находим

. ●

Это свойство объясняет, почему математическое ожидание часто называют центром распределения случайной величины.

Свойство 9. Математическое ожидание среднего арифметического значения случайных величин равно среднему арифметическому значению их математических ожиданий

.

Доказательство. Воспользуемся свойствами 2 и 4 математического ожидания, имеем

. ●

Пример. Случайные величины и заданы законами распределения

Таблица 7. Таблица 8.

	4	6			1	3
	0,3	0,7			0,2	0,8

Найти математическое ожидание случайной величины .

Решение. Найдем по определению математические ожидания случайных величин и

.

Для того, чтобы найти математическое ожидание случайной величины , воспользуемся свойствами 1, 2, 3, 5 математических ожиданий