3.2. Действия со случайными событиями
Дадим теоретико-множественную интерпретацию введенным ранее понятиям и теоремам.
Определение.
Суммой (объединением) событий
называется
событие
,
которое состоит в наступлении хотя бы
одного из этих событий
.
С множественной точки зрения, сумма событий является множеством, состоящим из всех элементарных событий, составляющих события .
Определение. Произведением (пересечением) событий называется событие , которое состоит в наступлении всех этих событий
.
С множественной точки зрения, произведение событий является множеством, состоящим только из тех элементарных событий пространства , которые одновременно входят во все рассматриваемые события .
Определение.
Разностью событий
и
называется
событие
,
которое состоит в наступлении события
и не наступления события
.
С множественной
точки зрения, разность событий
это множество элементарных событий,
которые входят в
и не входят
.
Определение.
Противоположным (дополнительным)
событием к событию
называется такое событие
,
которое состоит в не наступлении
.
С множественной точки зрения, событие состоит из всех возможных элементарных событий не входящих в , т.е.
.
Определение.
Достоверным событием
(от
первой буквы Universal) называется событие,
состоящие из всех возможных элементарных
событий, т.е.
.
Так как пространство
элементарных событий состоит из всех
возможных исходов, то в результате
анализируемого случайного эксперимента
обязательно произойдет одно из
элементарных событий
,
т.е. обязательно наступит событие
.
Определение.
Невозможным событием
называется событие, которое не содержит
ни одного элементарного события
.
Из определения невозможного события следует, с множественной точки зрения, что ему соответствует пустое множество Ø. Используя понятие противоположного события, получаем
Ø
.
Определение. Несовместными называются события , если в результате случайного эксперимента никакие два из них не могут произойти одновременно, т.е.
Ø
.
Определение. События называются единственно возможными, если при реализации заданного комплекса условий обязательно должно наступить хотя бы одно из заданных событий, т.е.
.
Определение. События образуют полную группу событий, если они единственно возможны и несовместны, т.е.
1. ;
2. Ø .
Таким образом, любое разбиение пространства элементарных событий на непересекающиеся множества задает полную систему событий, в которой каждое событие определяется соответствующим множеством.
Для полного описания случайного эксперимента недостаточно задать лишь пространство элементарных событий. Необходимо ввести второе основное понятие теории вероятности, а именно понятие вероятности события. Это понятие вводится с помощью аксиом теории вероятностей.
3.3. Аксиомы теории вероятности
Сформулируем аксиомы теории вероятностей.
1. Каждому событию ставится в соответствие некоторое число, которое называется вероятностью этого события и обозначается
.
Так как при
теоретико-множественном построении
теории вероятностей каждое событие
является подмножеством пространства
элементарных событий
,
т.е.
,
то вероятность
события является функцией, определенной
на пространстве элементарных событий
.
2. Вероятность любого события может принять значение, заключенное между нулем и единицей
.
3. Правило сложения вероятностей. Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий
.
4. Свойство счетной аддитивности вероятности. Вероятность суммы счетного числа несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий
.
Отметим, что свойство счетной аддитивности вероятности нельзя вывести из правила сложения вероятностей, поэтому четвертая аксиома вводится отдельно.
Аксиомы теории вероятностей позволяют вычислять вероятности любых событий через вероятности элементарных событий пространства . Вопрос о том, откуда берутся вероятности элементарных событий, при этом не рассматривается. На практике они определяются либо непосредственно по условиям эксперимента (если он обладает симметрией возможных исходов), либо на основе экспериментальных статистических данных.
Покажем, как, зная вероятности элементарных событий, вычисляются вероятности любых событий пространства .
Определение. События называются равновозможными, если
.
Выведем из аксиом
теории вероятностей классическую
формулу для вычисления вероятностей.
Предположим, что возможными исходами
эксперимента являются
единственно возможных, несовместных и
равно- возможных исходов, т.е. пространство
элементарных событий
.
Событию
благоприятствуют
исходов
.
Так как исходы испытания равно возможны
,
то, согласно аксиоме 3, находим
.
Аналогично можно доказать все остальные теоремы рассмотренные в параграфе 2.