Розділ 4

Розділ 4. Розвинення голоморфних функцій в ряди, нулі і особливі точки

1. Функціональні ряди. Нехай – послідовність функцій . Ряд

(1)

називається функціональним рядом. Ряд (1) називається збіжним на множині або поточково збіжним на , якщо для кожного збіжним є числовий ряд (1), тобто якщо для кожного існує

,

де

– -на частинна сума ряду (1). Отож, ряд (1) називається збіжним на множині , якщо

Ряд (1) є збіжним на множині тоді і тільки тоді, коли його залишок

для кожного прямує до нуля, тобто якщо

Ряд (1) зветься рівномірно збіжним на множині до функції , якщо

Ряд (1) називається рівномірно збіжним на множині , якщо існує функція , до якої він рівномірно збігається на . Іншими словами можна сказати, що ряд (1) називається рівномірно збіжним на множині , якщо його залишок рівномірно прямує до нуля на , тобто якщо

Теорема 1 (Вейєрштрасса). Якщо існує такий збіжний додатний числовий ряд

,

що , то на множині ряд (1) збігається рівномірно і абсолютно.

Теорема 2. Якщо функції є неперервними в області і ряд (1) рівномірно збігається на кожному компакті з , то його сума (функція ) є неперервною в .

Теорема 3. Якщо функції є неперервними в області і ряд (1) є рівномірно збіжним на кожному компакті з , то його можна почленно інтегрувати по будь-якому спрямлюваному шляху , що лежить в :

.

Доведення теорем 1-3 таке ж, як і відповідних теорем в дійсному аналізі. ►

Теорема 4. Якщо функції є голоморфними в області і ряд (1) є рівномірно збіжний на кожному компакті з , то його сума (функція ) є голоморфною в ,

, (2)

і останній ряд збігається рівномірно на кожному компакті з .

Доведення. Нехай – довільна точка області . Оскільки – голоморфні функції, то

для кожного спрямлюваного шляху , який лежить в достатньо малому околі точки . Тому за теоремою Морери – голоморфна функція в точці . Окрім цього, в кожній точці для досить малого маємо

,

звідки випливає (2). Оскільки з кожного відкритого покриття компакта можна виділити скінченне підпокриття, то рівномірну збіжність ряду (2) досить довести в кожному крузі . Візьмемо довільно точку і таким, щоб . Тоді для всіх

,

бо , де

, .

Звідси випливає твердження теореми. ►

Наслідок 1. Якщо послідовність голоморфних в області функцій рівномірно збігається на кожному компакті з , то послідовність також рівномірно збігається на кожному компакті з , функція

є голоморфною в і .

Аналоги попередніх теорем (із такими ж доведеннями) справедливі і для інтегралів.

Теорема 5. Нехай для кожного компакту з області і для майже всіх функція є голоморфною в . Тоді функція

є голоморфною в і .

Приклад 1. Оскільки для , то в півплощині ряд

збігається абсолютно і рівномірно.

Приклад 2. Покажемо, що ряд є збіжним в і для кожного на множині збігається рівномірно. Справді,

, .

Використовуючи рівності

,

,

переконуємось, що частинні суми рядів

, ,

є обмеженими для кожного і є рівномірно обмеженими на . Послідовність рівномірно на збігається до . Тому, використовуючи ознаку Діріхле, сформульовану для дійсних функціональних рядів, членами яких є функції , які подаються у вигляді приходимо до потрібного висновку.

2. Степеневі ряди. Степеневий ряд в околі точки – це функціональний ряд

, (1)

де і . Числа називаються коефіцієнтами степеневого ряду. Якщо , то степеневий ряд (1) має вигляд

. (2)

Теорема 1 (Абеля). Якщо степеневий ряд (1) збігається в точці , то він обсолютно і рівномірно збігається на кожному компакті із круга , . Якщо степеневий ряд (1) розбігається в точці , то він розбігається і зовні круга , .

Доведення цієї теореми таке ж як і доведення аналогічної теореми в дійсному аналізі.

Радіусом степеневого ряду називається таке число , що ряд (1) є збіжним, якщо , і ряд (1) є розбіжним, якщо . При цьому круг зветься кругом збіжності. Радіус збіжності дорівнює точній верхній межі тих , для яких в крузі ряд (1) є збіжним. Якщо , то ряд (1) є збіжним тільки в точці , якщо , то ряд (1) є збіжним абсолютно і рівномірно на кожному компакті з . Якщо , то ряд (1) є абсолютно і рівномірно збіжним на кожному компакті з круга і є розбіжним поза кругом .

Теорема 2. Радіус збіжності степеневого ряду (1) знаходиться за формулою .

Доведення цієї теореми таке ж як і відповідної теореми в дійсному аналізі.

Наслідок 1. Радіус збіжності степеневого ряду (1) можна знайти за формулою якщо остання границя існує.

Наслідок 2. Радіус збіжності степеневого ряду (1) можна знайти за формулою , якщо остання границя існує.

Теорема 3. Якщо степеневий ряд (1) має радіус збіжності , то його сума (функція ) є голоморфною в крузі , ряд (1) можна почленно диференціювати і ряд

(3)

також має радіус збіжності . При цьому коефіцієнти ряду (1) можна знайти за кожною з формул

, (4)

, . (5)

Доведення. Справді, функції є голоморфними в . Оскільки на кожному компакті з ряд (1) збіжний рівномірно, то на підставі теореми 4 попереднього пункту сума ряду (1) є голоморфною функцією в і ряд (1) можна почленно диференціювати. До того ж,

.

Тому радіус збіжності ряду (3) також дорівнює . Формулу (4) можна отримати, як і в дійсному аналізі, почленним диференціюванням ряду (1), а можна вчинити і так. Помножимо обидві частини рівності (2) на . Тоді, враховуючи, що

отримаємо

,

звідси випливає (5), а (4) одержують з (5) та формул для знаходження -ої похідної. Теорема 3 доведена. ►

Степеневий ряд , коефіцієнти якого визначені за однією з формул (4), (5), називається рядом Тейлора функції в околі точки (в крузі або по степенях ). З теореми 3 випливає, що кожний степеневий ряд, який має радіус збіжності є рядом Тейлора своєї суми.

Приклад 1. Знайдемо радіус і круг збіжності степеневого ряду

.

Нехай . Тоді і

.

Бачимо, що розглядуваний ряд буде збіжним, якщо , і буде розбіжним, якщо . Робимо висновок, що – радіус збіжності і – круг збіжності. До такого ж висновку можна прийти наступними міркуваннями. Оскільки для розглядуваного ряду

то

і на підставі теореми 2 знову приходимо до вказаного вище висновку.

Приклад 2. Якщо степеневий ряд (1) має радіус збіжності , то для кожного виконується

, ,

, .

Справді, , а останній ряд також є степеневим і – його радіус збіжності. Тому його сума є обмеженою функцією в деякому околі точки .