3.3 Оценка погрешности квадратурных формул
В этом параграфе найдём оценки точности полученных элементарных квадратурных формул сначала на интервале [-h, h], а затем проведём обобщение на произвольный элементарный интервал.
Введём в рассмотрение
остаточный член квадратурной формулы,
называемый также ее невязкой
,
дающий точность квадратурных формул.
1. Формула прямоугольников.
,
,
.
(3.1)
Разложим функцию f(x) в точке x=0 в ряд Тейлора по x с точностью до членов второго порядка:
,
где
.
Подставляя это выражение в (3.1), получим
.
Предельная
абсолютная погрешность
квадратуры прямоугольников может быть
выписана в виде
или
.
Производя
естественное обобщение на случай
произвольного элементарного интервала,
получим, с учётом
,
оценку предельной погрешности вычисления
интеграла для i-го
подинтервала
.
(3.2)
Из полученной формулы видим, что она является точной и для многочленов первой степени.
2. Формула трапеций.
Аналогично проведём оценку погрешности формулы трапеций.
Разложим функции f(x), f(-h) и f(h) в ряд Тейлора в точке x=h=0:
где
,
,
.
С учётом полученных разложений имеем
Член с производными
можно упростить, предполагая
непрерывной. По свойству среднего
арифметического
оно является
промежуточным значением производной
в некоторой точке
интервала,
т.е.
,
на основании теоремы о промежуточных значениях непрерывной функции. Точное значение интеграла от функции f(x) на отрезке [-h, h] будет равно
.
Поэтому величина R(f) получится равной
Следовательно, предельная абсолютная погрешность формулы трапеций может быть оценена следующим образом
,
.
Для произвольного
элементарного подинтервала
имеем
Полученная формула также подтверждает, что квадратура трапеций является точной для многочленов первой степени.
3. Формула Симпсона.
Оценку точности квадратурной формулы проведём аналогично тому, как это делалось для формулы трапеций.
Функции f(x), f(-h) и f(h) разложим в ряд Тейлора в точке x=0, сохраняя в их разложении, только пять первых членов:
;
;
.
В этом случае будем иметь:
и
.
Оценку точности, как обычно, определим по формуле
,
откуда получаем искомую предельную абсолютную погрешность квадратуры Симпсона для интервала [-h, h]
.
Для обобщения полученной оценки погрешности на случай произвольного подинтервала следует интервал [a, b] разделить на чётное число подинтервалов n=2m, и тогда оценку погрешности можно записать в виде
.
Из приведённой формулы видно, что квадратура парабол будет точной и для многочленов третьей степени.
3.4 Составные квадратурные формулы
Получим составные квадратурные формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона для интервала [a, b], приведём оценку их погрешностей и укажем способ Ричардсона приближённой оценки погрешностей названных квадратурных формул.
Как обычно, рассмотрение проведём для каждого случая отдельно.
1. Формула прямоугольников
Погрешность вычислений по этой формуле не будет превышать величины
,
где
Для равноотстоящих узлов формула прямоугольников и соответствующая ей погрешность будут иметь вид:
,
где
.
Приведённая формула и оценка погрешности удобны для численных расчётов на ЭВМ.
2. Формула трапеций
Составная квадратурная формула прямоугольников имеет вид:
.
Поскольку при суммировании по интервалам все внутренние точки встречаются дважды, приведём формулу для случая равноотстоящих узлов в двух видах:
,
.
Погрешность расчёта
по этим формулам будет равна
,
где
.
3. Формула Симпсона
Поскольку при суммировании все внутренние узлы интервала [a, b] встречаются дважды, составная квадратурная формула для равноотстоящих узлов будет иметь вид:
,
где
,
,
.