- •Содержание
- •Лабораторная работа №3
- •3.1 Постановка задачи численного интегрирования.
- •3.2 Основные методы построения квадратурных формул.
- •3.3 Оценка погрешности квадратурных формул
- •3.4 Составные квадратурные формулы
- •3.5 Метод Ричардсона практической оценки точности квадратурных формул
- •Литература
3.5 Метод Ричардсона практической оценки точности квадратурных формул
Рассмотрим приближённый метод оценки точности квадратурных формул. Приближённость метода состоит в том, что он корректен только для некоторого класса функций и полученные формулы для погрешности работают с точностью, до главных членов2. Мы же будем применять его для любых функций.
Пусть , при этом предположении мы получим уточнение формулы прямоугольников. Производя разложение в ряд Тейлора с точностью до членов четвертого порядка по получим
,
где постоянная величина независящая от , а элементарная квадратура прямоугольников. Величина называется главной частью погрешности формулы прямоугольников. При этих же предположениях, для формулы трапеций справедливо соотношение , где элементарная квадратура трапеций. Для формулы Симпсона, при условии имеет место равенство .Т.е. для любой квадратурной формулы можно выписать соотношение
. (1)
Тогда, выписывая это соотношение на шаге , имеем
. (2)
Вычитая из (1) равенство (2), получим
.
Отсюда
и, следовательно, согласно (2) имеем с точностью до
, (3)
и известные величины, причем величина погрешности равна .
Замечание На практике подтверждением условия является выполнение неравенства
. (4)
Неравенство (4) может нарушаться последующим причинам: а) велико, при этом влияет отброшенный член ; б) слишком мало, тогда могут сказаться погрешности арифметики реальной ЭВМ; в) или близко к нулю.
Задачи для самостоятельного решения.
Используя равенство
найти с помощью численного интегрирования приближения к числу . Использовать формулу прямоугольников и формулу трапеций с элементарными отрезками одинаковой длины , взяв . Для данных результат записать со всеми верными цифрами.
Для интеграла построить таблицу значений, с точностью , допускающую линейную интерполяцию.
Используя определение интеграла Римана и теорему о среднем значении интеграла, доказать, что приближения, получаемые из квадратур прямоугольников и трапеций, сходятся при к интегралу. Выделите отчетливо те предположения, которые делаются относительно подынтегральной функции.
Какой результат будет получен квадратурой Симпсона, с точностью , для интеграла ? Каков точный результат?
Опишите эффективный и “точный” метод вычисления интеграла , где
.
Задания к лабораторной работе.
-
№
f(x)
a
b
1
1.7
3.3
10-8
2
40.0
43.6
10-8
3
2.6
5.0
10-8
4
2.6
16.8
10-8
5
1.5
3.1
10-8
6
1.8
3.4
10-8
7
0.7
1.5
10-8
8
7
15
10-8
9
0.20
0.56
10-8
10
2.2
7.0
10-8
11
1.50
2.22
10-8
12
0.5
1.7
10-8
13
1.5
3.1
10-8
14
2
6
10-8
15
2.0
5.2
10-8
16
1.5
3.1
10-8
17
1.5
3.1
10-8
18
2.0
6.0
10-8
№
f(x)
a
b
19
2
6
10-8
20
2.2
7.0
10-8
21
2.21
7.01
10-8
Квадратурами прямоугольников, трапеций и Симпсона вычислить интегралы с заданной точностью. Пояснить, почему получается такое число подинтервалов?
Построить таблицу значений интеграла , где принимает десять значений из промежутка , допускающую линейную интерполяцию. Результат должен быть представлен со всеми верными цифрами.
Контрольные вопросы к лабораторной работе.