- •Название контрольной работы по мс:
- •1 Основные понятия и теоремы
- •2 Примеры задач с решениями
- •2.1 Задачи на основные понятия и теоремы теории вероятностей
- •2.2 Задачи на использование комбинаторики при подсчёте вероятностей
- •2.3 Задачи на формулу полной вероятности и формулу Байеса
- •2.4 Вычисление вероятности наступления события в серии n независимых испытаний
- •2.5 Нахождение законов распределения случайных величин, их числовых характеристик, функций и плотностей распределения
- •2.6 Нахождение законов распределения двумерных случайных величин
- •3 Список рекомендуемых источников
- •Приложение а. Варианты заданий для контрольной работы
- •Приложение б. Справочные таблицы
2.2 Задачи на использование комбинаторики при подсчёте вероятностей
Задача 2.2.1
В розыгрыше первенства по баскетболу участвуют 18 команд, из которых случайным образом формируются две группы по 9 команд в каждой. Среди участников соревнований 5 команд экстра-класса. Найти вероятность того, что в одну из групп попадут две команды экстра-класса, а в другую – три.
Решение:
Р ассмотрим события:
А - в одну из групп попадут две команды экстра-класса, а в другую – три,
А1 - в первую группу попадут две команды экстра-класса,
А2 - во вторую группу попадут две команды экстра-класса.
Так как А = А1 + А2 и события А1 и А2 несовместны, то по формуле (10) получим: .
Пусть n – общее число случаев, m1 - число случаев, благоприятствующих событию А1, тогда, по формуле (1), . Так как при выборе команд, их последовательность в выборке не важна, для нахождения n и m1 используем число сочетаний (4):
Ответ: вероятность того, что в одну из групп попадут две команды экстра-класса, а в другую – три, равна 0,71.
2.3 Задачи на формулу полной вероятности и формулу Байеса
Задача 2.3.1
Из урны, содержащей 3 белых и 2 чёрных шара, переложены два вынутых наудачу шара в урну, содержащую 4 белых и 4 чёрных шара. Найти вероятность вынуть из второй урны белый шар. Какова вероятность того, что шар, случайным образом вынутый из второй урны, оказавшись белым, не был переложен в неё из первой урны?
Решение:
Рассмотрим гипотезы:
H1 – из первой урны вынуты два белых шара,
H2 – из первой урны вынуты два чёрных шара,
H3 – из первой урны вынуты белый и чёрный шары.
Н айдём вероятности гипотез. Так как в первой урне было 5 шаров, а вынули из неё 2 шара, то общее число случаев вынуть два шара из пяти равно . Число случаев, благоприятствующих H1, равно , тогда .
Аналогично, и
Так как гипотезы образуют полную группу событий, должно выполняться:
(что и получим, так как ).
По формуле полной вероятности (14) найдём вероятность события А, которое заключается в том, что из второй урны будет вынут белый шар:
.
Найдём условные вероятности событий . События означают: из второй урны вынут белый шар при условии, что из первой вынули соответствующую i – той гипотезе комбинацию шаров. Так, при осуществлении H1 во второй урне окажется 10 шаров, среди которых будет 6 белых. Тогда .
Аналогично, и
Окончательно получим:
Найдем вероятность того, что шар, случайным образом вынутый из второй урны, оказавшись белым, находился в ней изначально. В этом случае имела место только гипотеза . Для ответа на вопрос потребуется найти условную вероятность гипотезы при условии, что произошло событие А. По формуле Байеса (15) получим:
Ответ: вероятность того, что из второй урны вынут белый шар, равна 0,52; вероятность того, что шар, вынутый из второй урны, оказавшись белым, не был переложен в неё из первой урны, равна 0,57.
2.4 Вычисление вероятности наступления события в серии n независимых испытаний
Задача 2.4.1
Владельцы кредитных карточек теряют их весьма редко. Вероятность потери карточки для любого из них равна 0,001. Найти вероятность того, что из 200 владельцев потеряют карточку:
а) три владельца;
б ) более двух владельцев.
Решение:
а) Рассмотрим события:
А – один из 200 человек потерял карточку,
В – трое из 200 человек потеряли карточку. В заключается в том, что в серии из 200 независимых испытаний событие А должно произойти три раза (m = 3).
В каждом из этих испытаний событие А появляется с постоянной вероятностью р = 0,001 и не появляется с вероятностью q (q=1–0,001=0,999). Так как p мала, n велико и события (потеря карточки первым, вторым и третьим владельцами) независимы, при отыскании Р(В) используем формулу Пуассона (21):
.
Получаем:
б) Пусть событие С заключается в том, что более двух владельцев потеряют карточку. Тогда событие (карточку потеряют не более двух владельцев) означает, что карточку потеряют 0, 1 или 2 владельца. Тогда
Ответ: вероятность того, что а) трое из 200 владельцев потеряют карточку равна 0,00109; б) более двух владельцев – 0,00114 (т.е. в обоих случаях около 0,1%).
Задача 2.4.2
Среди пассажиров маршрута № 9 в среднем 10 из 100 – льготники. Определить
в ероятность того, что из 2000 пассажиров, проехавших за день, льготниками окажутся:
а) 180 человек;
б) от 120 до 220 пассажиров включительно.
Решение:
а) Рассмотрим события:
А - выбранный пассажир оказался льготником,
В - среди 2000 пассажиров оказалось 180 льготников.
Событие В появляется при проведении серии из n = 2000 независимых испытаний, в каждом из которых событие А происходит с постоянной вероятностью р= , при этом q = 1 – = . Так как n > 100, а npq = 180 > 20, используем локальную теорему Муавра- Лапласа (18):
где - функция Гаусса,
.
Значение функции Гаусса можно найти с помощью таблицы (Приложение Б). Так как - чётная функция, то . Тогда
б) Вероятность того, что из 2000 пассажиров льготниками окажутся от 120 до 220 пассажиров включительно, можно найти с помощью интегральной теоремы Муавра- Лапласа (20):
где (х) – функция Лапласа, значения которой можно найти с помощью таблицы (Приложение Б), при этом . Найдём значения:
Тогда
Ответ: вероятности того, что из 2000 пассажиров, проехавших за день, льготниками окажутся 180 человек и от 120 до 220 пассажиров включительно равны соответственно 1% и 93%.