Предмет теории вероятности. Краткая история её развития

Теория вероятности – это раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений, то есть таких явлений, которые при повторении опыта протекают по иному.

В этом определении, на первый взгляд, заложен парадокс – как может быть закономерным случайное? Чтобы понять суть этого парадокса, необходимо иметь в виду два обстоятельства.

Во-первых, случайное явление не значит беспричинное явление. Для того чтобы появился тот или иной результат опыта, всегда имеются вполне определённые причины. Так, типичным примером случайного события считается подбрасывание монеты и падение её в результате цифрой или гербом вверх. Однако для того или иного результата есть вполне определённые причины. Если достоверно знать большое число исходных данных (массу и форму монеты, прилагаемое к монете усилие, его направление и точку приложения, плотность, температуру и степень неподвижности воздуха, уровень горизонтальности и качество обработки поверхности, на которую падает монета, и пр.), то можно было бы создать математическую модель, позволяющую предсказывать результат такого опыта. Но создание такой модели не имеет смысла, так как заранее невозможно предвидеть, как сложатся в каждом опыте эти меняющиеся в широком диапазоне исходные данные. Невозможность получения достоверной информации о начальных условиях делает явление в нашем понимании случайным.

Во-вторых, закономерности проявляются только в массовых случайных явлениях., т.е. явлениях многократно повторяющихся. Для подобных явлений характерно наличие, так называемой статистической устойчивости. Благодаря статистической устойчивости для массовых случайных явлений не возможно предсказание результата в одном отдельно взятом опыте, но зато возможно с достаточно большой степенью достоверности предвидеть результаты большой серии многократно повторяющихся опытов. Статистические закономерности массовых явлений проявляют себя в физике, химии, биологии, демографии и др. науках. Так, например, среди каждой тысячи новорожденных детей будет, как правило, 514 мальчиков.

Интересный пример проявления статистических закономерностей даёт наука о языке – лингвистика. Так, для любого языка характерна устойчивая повторяемость отдельных букв (таблицы частот повторения отдельных букв в русском языке можно найти во многих популярных книгах). Чаще всего в русскоязычном тексте встречается пробел между словами – 17,5%, буква «О» - 9,0%, реже всего – буква «ф» - 0,2%. Имея такую таблицу, можно без большого труда расшифровать простейший код, в котором вместо всем известных начертаний букв использованы другие значки. Достаточно только подсчитать частоту повторений этих значков (конечно, текст для дешифровки должен быть не слишком кратким).

Многие закономерности случайных явлений проявляются в азартных играх (по-арабски azar – игра в кости). Поэтому история развития теории вероятностей началась с решения задач из этой области людских интересов.

В 1494 г. итальянский преподаватель математики Лука Пачоли (1445-1514) сформулировал первую дошедшую до наших дней вероятностную задачу. Её называют «задачей о ставках». Условие задачи таково: два игрока играют на интерес в азартную игру с равными шансами на победу. Они договорились, что тот, кто достигнет определенного числа побед (обозначим это число буквой m), получает в награду ставки, поставленные на кон. Однако по каким-то причинам игрокам не удалось доиграть игру до конца – первый одержал a побед, а второй – b. Причем и a и b меньше m. Как поделить ставку? Пачоли предлагал делить их в пропорции a : b.

Прошло более 40 лет и другой знаменитый итальянец – математик и врач Джероламо Кардано (создатель карданного вала) раскритиковал это решение, но правильного предложить не смог. А найдено это решение было значительно позже – в 1654 г. Причем найдено путем переписки двух выдающихся французов: Блеза Паскаля (1623-1662), жившего в Париже, и Пьера Ферма (1601-1665), проживавшего в Тулузе. Они предложили следующее решение (рассмотрим его на частном примере, когда a = 1, b = 2, m = 3):

• если будет сыграна ещё одна игра, то с равными шансами победителем может оказаться любой игрок;

• при победе 1-го число побед сравняется и ставку надо поделить поровну;

• при победе 2-го b = m, и он заберёт всю ставку, тогда 1-му не достанется ничего;

• таким образом, 1-й игрок с равными шансами может получить или половину ставки или ничего, т.е. его выигрыш должен составлять 0,5(0,5+0) = 0,25 ставки;

• 2-й игрок с равными шансами может получить или половину или всю ставку, т.е. его выигрыш должен составлять 0,5(0,5+1) = 0,75 ставки.

В переписке Паскаля и Ферма (её после смерти Ферма опубликовал сын) были решены и другие знаменитые задачи зарождавшейся теории вероятностей. Эти задачи называют задачами шевалье Де Мере (1607-1648). Этот дворянин, поданный Людовика XIV не был простым кавалеристом («шевалье» – иначе «кавалер» - иначе «кавалерист»). Он был весьма образован, знал 6 языков, слыл известным моралистом. Чем он занимался в свободное от основной работы время в век, когда не было игровых автоматов, понятно из сформулированных им на основе собственного богатого опыта вопросов и задач. Эти задачи были связаны с игрой в кости.

Так, Де Мере заметил, что при бросании трёх игральных костей сумма равная 11 очкам почему-то наблюдается чаще, чем сумма в 12 очков, хотя число вариантов образования этих сумм кажется одинаковым:

• 11 очков можно получить при следующих шести сочетаниях очков на трёх костях: 6-4-1; 6-3-2; 5-5-1; 5-4-2; 5-3-3; 4-4-3.

• 12 очков можно получить тоже шестью способами: 6-5-1; 6-4-2; 6-3-3; 5-5-2; 5-4-3; 4-4-4.

Паскаль и Ферма пояснили, что на самом деле эти варианты появляются не одинаково часто. Вариант 5-4-3 (и другие с тремя разными числами) можно получить шестью способами (с учётом чисел, выпадающих на 1-й, 2-й и 3-й костях), вариант 6-3-3 (и другие с двумя повторяющимися числами) уже только тремя способами, а вариант 4-4-4 – одним единственным способом. Поэтому равновозможных вариантов появления суммы 11 больше, чем для суммы 12.

Паскаля и Ферма можно считать основоположниками теории вероятностей. Область интересов этих выдающихся людей была очень широкой. Блез Паскаль, прежде всего, известен как религиозный философ, физик и писатель. Его «Мысли» опубликованы в «Библиотеке мировой литературы». Пьер Ферма по профессии юрист, стал знаменит после того, как сын опубликовал его математические труды.

Первый математический трактат, в котором рассматривались вопросы теории вероятностей, был опубликован в 1657 г. Христианом Гюйгенсом, а 1-я книга, полностью посвящённая этим вопросам, называлась «Учение о случаях» и была издана в 1718 г. английским математиком французом по национальности Абрахамом де Муавром (1667-1754).

Основы современной элементарной теории вероятностей были изложены Пьером Симоном Лапласом в опубликованной в 1812 г. книге «Аналитическая теория вероятностей». Первый российский учебник по теории вероятностей был написан Виктором Яковлевичем Буняковским (1804-1889) в 1846 году и назывался «Основания математической теории вероятностей».

Если лидерство в развитии теории вероятностей на первых этапах принадлежало французам, то в дальнейшем большую роль в её развитии сыграли россияне – в ХIХ веке Пафнутий Львович Чебышёв (1821-1894), Андрей Андреевич Марков (1856-1922), Александр Михайлович Ляпунов (1857-1918), в середине ХХ века – Андрей Николаевич Колмогоров (1903-1987), который является основоположником современной «аксиоматической теории вероятностей».