Случайные события Основные термины. Классификация случайных событий

В теории вероятности широко используются понятия событие и опыт.

Событие – это факт, который может иметь место в результате опыта. Иначе говоря, событие – это исход опыта, причем исход, который может произойти или не произойти.

Опыт (испытание, эксперимент) – это осуществление определенного комплекса условий.

Теория вероятностей рассматривает только такие опыты (а, следовательно, и их исходы), которые могут быть неоднократно воспроизведены, т.е. когда весь комплекс условий при проведении испытания может быть повторен заново. Если комплекс условий воспроизвести не удаётся, т. е. опыт может быть осуществлен только один раз, то появляющиеся в результате события называют неопределенными (уникальными). Неопределённые события в теории вероятностей не рассматриваются. Так, например, опираясь на методы теории вероятностей невозможно достоверно предсказать результат очередного хоккейного матча (меняются условия опыта – составы команд, стадионы, зрители, судьи и пр.).

Все события подразделяются на три большие группы:

1). Достоверные - это такие события, которые в результате опыта произойдут обязательно. Например, если замкнуть исправную электрическую цепь, то по ней потечёт электрический ток

2). Невозможные - это такие события, которые при проведении опыта не произойдут никогда. Например, невозможен отказ сразу трёх трансформаторов на двухтрансформаторной ТП

3). Случайные - это такие события, о которых заранее нельзя сказать, произойдут они в результате опыта или нет. Например, в результате опыта – наблюдения за электродвигателем – он может находиться в работоспособном состоянии или в состоянии отказа

Наряду с достоверными и невозможными событиями принято различать, практически достоверные и практически невозможные. К таким событиям относятся события, шансы на появление (для невозможных) или не появление (для достоверных) которых хотя и существуют, но настолько пренебрежительно малы, что ими можно всегда пренебречь. Так, например, практически невозможным, хотя теоретически допустимым, событием является написание связного текста (стихотворения), если на клавиатуру персонального компьютера произвольно нажимает неграмотный ребёнок.. Практически достоверным событием является продолжительность жизни отдельного человека менее тысячи лет, хотя теоретически такую жизнь может прожить один из 10³⁶⁰ человек.

Следует подчеркнуть, что достоверность, невозможность или случайность событий сохраняют силу только в данном опыте, когда условия его проведения неизменны. Например, если замкнуть электрическую цепь, в которой отсутствует источник тока или напряжения, протекание в ней тока становится событием невозможным.

Для удобства отдельные события принято обозначать заглавными буквами. Например, фразу «трансформатор № 1 работоспособен» можно обозначить, как R_т1; фразу «в энергосистеме возник дефицит мощности» - как Д и т.п. Конечно же, применение этих обозначений не предполагает, что вместо букв могут быть подставлены какие-либо числа (как в алгебре). Применение букв вместо описания событий – это всего на всего сокращённая запись некоторых фраз.

Так как в дальнейшем будет рассматриваться ряд задач на анализ надёжности систем, кратко познакомимся с некоторыми терминами надёжности.

Работоспособность – состояние объекта, при котором он способен выполнять заданные функции, сохраняя значение основных характеристик в заданных пределах. Термин «работоспособность» не следует отождествлять с термином «выполнение работы». Так, электрическая лампа будет работоспособна не только тогда, когда к ней подведено напряжение, и «горит свет», но и при отсутствии напряжения (в «режиме ожидания»).

Отказ (неработоспособность) – состояние объекта, при котором он не способен выполнять заданные функции.

Английский логик и математик Джон Венн (1834-1923) предложил наглядно изображать события в виде рисунков, которые получили название «диаграммы Венна».

Диаграмма Венна (рис. 1) представляет собой квадрат со сторонами, равными единице. Событиям в этом квадрате соответствуют некоторые замкнутые области. Если «брошенная» произвольным образом в плоскость квадрата точка (исход опыта) попадает в замкнутую область, то считается, что событие произошло, если не попадет – событие не произошло. Термин «брошенная» подразумевает, что для точки задаются произвольные координаты в пределах от нуля до единицы, - это равнозначно тому, что по сторонам квадрата были бы установлены бортики, а брошенный внутрь шарик после многократных ударов об эти бортики занял произвольное заранее не прогнозируемое место в площади квадрата.

Среди возможных событий выделяют элементарные и сложные.

Под элементарными (простыми) событиями понимают непосредственные исходы опыта. Их нельзя разложить на другие события, и они взаимно исключают друг друга.

Сложные события могут быть при желании разбиты на элементарные.

Пример 1. Исходами опыта – наблюдения за состоянием однотрансформаторной подстанции в произвольный момент времени возможны следующие события:

А – трансформатор подстанции работоспособен;

В – трансформатор находится в состоянии отказа.

События А и В являются элементарными.

Пример 2 Исходами опыта – наблюдения за состоянием двухтрансформаторной подстанции в произвольный момент времени возможны следующие события (список не полный):

А - трансформатор №1 работоспособен, а трансформатор №2 – в состоянии отказа;

B - трансформатор №2 работоспособен, а трансформатор №1 – в состоянии отказа;

С - оба трансформатора в состоянии отказа;

D – оба трансформатора работоспособны;

E - отказ менее двух трансформаторов;

F - отказ хотя бы одного трансформатора;

R_Т1 - трансформатор №1 работоспособен;

R_Т2 - трансформатор №2 работоспособен.

В этом перечне событий элементарными являются события А, В, C и D. Все остальные – сложные. Например, событие R_Т1 включает в себя события А и D.

Среди случайных событий могут быть выделены совместные и несовместные, зависимые и независимые, равно- и неравновозможные, противоположные. Остановимся подробнее на этих понятиях.

Совместными (несовместными) называются такие события, когда появление одного в единичном опыте не исключает (исключает) возможность появления другого.

Если любые два из группы событий несовместны между собой, то такую группу называют группой попарно-несовместных событий.

Например, в примере 1 события А и В несовместны.

В примере 2 события А, В, C и D попарно несовместны, события R_Т1 и R_Т2 – совместны.

На диаграммах Венна совместные события (рис. 2-а) имеют общую зону, для несовместных событий (рис. 2-б) характерно отсутствие такой зоны..

Зависимыми (независимыми) называются такие события, для которых появление одного влияет (не влияет) на возможность появления другого. Например, если электрическая нагрузка получает питание по двум включённым параллельно кабелям, то отказы кабелей являются зависимыми событиями, так как при отказе одного нагрузка на второй удваивается. Другим примером зависимых событий является замыкание на землю одной из фаз в сети с изолированной нейтралью трансформатора и двойное замыкание на землю в такой сети. Причиной этого является возрастание напряжения на двух неповрежденных фазах до линейного значения, если произошло замыкание любой из фаз на землю. Поэтому возможность замыкания на землю этих неповрежденных фаз возрастает.

Равновозможными (симметричными) называются такие события, для которых нет объективных причин считать возможность появления одного события отличной от возможности появления другого или других. На диаграмме Венна (рис. 3) области таких событий занимают одинаковую площадь. Примерами равновозможных событий могут служить выпадение герба или цифры при однократном подбрасывании монеты, выпадение любой грани игральной кости и другие подобные примеры из области азартных игр. В реальной жизни равновозможные исходы опыта наблюдаются редко. Так, неравновозможными являются работоспособность и отказ объекта, включённое и отключенное состояние электродвигателей, работа кабельной ЛЭП с номинальной нагрузкой или в режимах перегрузки, недогрузки, холостого хода.

Полной группой событий называется такой перечень несовместных событий, который исчерпывает все возможные результаты опыта. На диаграмме Венна (рис.4) зоны, соответствующие этим событиям, занимают всю площадь единичного квадрата.

Так, в примере 2 события А, В, C и D образуют полную группу, в том же примере полую группу образуют события D и F.

События, образующие полную группу, называются единственно возможными. Например, при наблюдении в течение некоторого времени за эксплуатацией устройства релейной защиты (РЗ) ЛЭП полная группа включает следующие события:

А₁ - устройство работало безотказно;

А₂. - наблюдался отказ устройства (РЗ не отключила ЛЭП при недопустимом режиме);

А₃ – наблюдалось ложное срабатывание устройства (РЗ отключила ЛЭП при отсутствии необходимости к срабатыванию).

Противоположными называют такие два события, для которых появление одного заключается в непоявлении другого. Если событие обозначено как А, то противоположное событие обозначается («не А»).

Примером противоположных событий являются состояния работоспособности R и отказа (неработоспособности) объекта. Если работоспособное состояние системы на диаграмме Венна (рис. 5).представлено в виде некоторой замкнутой области R, то вся остальная часть квадрата соответствует отказу системы – событие .

Противоположные события всегда образуют полную группу.

Чтобы не ошибиться в определении противоположного события достаточно внимательно отнестись к расположению частицы НЕ в описании этого события. Так, если событие П – получение оценки пять на экзамене, то событием является получение оценки не пять, т.е. два, три или четыре.

Аналогично действиям над числам и функциям в алгебре, события можно умножать, складывать и вычитать. Действиями над событиями занимается раздел математики называемый «алгебра событий» Основными понятиями алгебры событий являются произведение, сумма и разность событий.

Произведением (пересечением) событий А и В называется такое событие С, которое заключается в появлении и события А и события В совместно (рис.6): АВ = С.

Понятие «произведение» может применяться к любому количеству событий.

Наличие во фразе, описывающей событие, союза И является признаком произведения событий.

Например, для двухтрансформаторной ТП (рис.7) возможны события:

– отказ первого трансформатора;

– отказ второго трансформатора.

Тогда – отказ и того и другого трансформатора совместно.

Суммой (объединением) событий А+В называется такое событие С, которое заключается в появлении или события А, или события В, или того и другого совместно (рис. 8) : А+В = С.

Наличие союза ИЛИ является признаком суммы событий.

Понятие «сумма» может применяться к любому количеству событий.

Важно подчеркнуть, что для совместных событий (рис. 8-а) их сумма включает в себя и их произведение.

Например, для двухтрансформаторной подстанции (рис. 7) сумма заключается в отказе 1-го или 2-го трансформаторов или двух трансформаторов совместно.

Разностью событий А-В называется такое событие С, которое заключается в появлении события А при обязательном непоявлении события В (рис. 9): А – В = С.

Например, для двухтрансформаторной подстанции (рис. 7) разность заключается в отказе 1-го трансформатора при работоспособности 2-го.

Использование понятий алгебры событий позволяет описывать сложные события в максимально сокращённом виде.