4. Условная вероятность события

При решении некоторых задач приходится рассматривать события, являющиеся зависимыми. Для таких событий используются понятия условной и безусловной вероятности. Так, например, электродвигатель может эксплуатироваться в различных режимах: на холостом ходу, в режиме недогрузки, при номинальной нагрузке, в перегруженном состоянии. Естественно, вероятности отказа двигателя в разных состояниях не одинаковы. Если будут определены такие вероятности, то их следует называть условными, например, вероятность отказа двигателя в режиме перегрузки.

Условной вероятностью Р(В/А) события В при событии А называется вероятность события В, подсчитанная при условии, что событие А произошло.

Если же вероятность события В определяется вне зависимости от того, имело место событие А или нет, то эта вероятность называется безусловной и обозначается как Р(В).

В рассмотренном выше примере безусловной вероятностью отказа электродвигателя является вероятность его отказа, определенная вне зависимости от того, в каком режиме он эксплуатируется.

Нетрудно догадаться, что для независимых событий условная вероятность события равна его безусловной вероятности: Р(В/А)= Р(В). Это следует из того, что появление события А никак не влияет на возможность появления события В.

Основные формулы вычисления вероятности событий Формулы умножения вероятностей

Если в соответствии с понятиями алгебры событий некоторое событие С является произведением событий А и В (см. пример 3) С = АВ, то для нахождения вероятности этого события приходится искать вероятность произведения событий: Р(С) = Р(АВ). Для этих целей используется, так называемая формула умножения вероятностей.

Наиболее общий вид формулы умножения может быть получен для зависимых событий. Рассмотрим её для случая, когда таких событий два.

Пусть в результате опыта возможны n исходов, которые наглядно можно изобразить в виде семейства точек (рис. 19).

Из этих исходов m_A исходов благоприятны событию А, m_В исходов благоприятны событию В, причем m_AВ исходов благоприятны и событию А и событию В совместно. Следовательно, Р(А) = m_A/n; Р(В) = m_В/n; Р(АВ) = m_AВ/n.

Определим условную вероятность события В при событии А. Так как событие А произошло, то имел место один из m_A исходов. В таком случае событию В будут благоприятны m_AВ исходов. Тогда по классической формуле условная вероятность события В при событии А:

Р(В/А) = m_AВ/m_A .

Если теперь числитель и знаменатель в правой части выражения разделить на общее число возможных исходов опыта, то получим:

Р(В/А) = = Р(АВ)/Р(А).

Определив из полученного выражения Р(АВ), получаем формулу умножения вероятностей для зависимых событий:

Р(АВ) = Р(А)Р(В/А). (4, а)

Нетрудно представить, что если бы подобные рассуждения были проведены для нахождения условной вероятности события А при событии В, то в результате получился бы второй вариант формулы умножения для зависимых событий:

Р(АВ) = Р(В)Р(А/В). (4, б)

Таким образом, вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого.

Из выражений (4) могут быть получены следствия.

Следствие 1

Если события А и В независимы, то вероятность произведения таких событий находится как произведение безусловных вероятностей этих событий:

Р(АВ) = Р(А)Р(В) = Р(В)Р(А). (5)

Это объясняется тем, что в таком случае условные вероятности событий равны безусловным.

Следствие 2

Вероятность произведения несовместных событий равна нулю, так как произведение таких событий не существует - на диаграмме Венна (рис. 20) отсутствует общая зона для событий А и В.: Р(АВ) = 0.

Следствие 3

В общем виде для n событий формулы умножения приобретают вид:

а) для независимых событий

, (6)

б) для зависимых событий

n

Р(ПА_i)=Р(А₁)Р(А₂ /А₁)Р(А₃ /А₁А₂)…Р(А_n /А₁А₂… А_n-1), (7)

i=1

где Р(А_n /А₁А₂… А_n-1) – условная вероятность события А_n при условии, что произошли все остальные события.

Пример 13

От шинной сборки (рис.21) получают питание четыре электродвигателя (ЭД) различной мощности, коэффициенты включения k_В которых равны соответственно 0,5; 0,4; 0,2; 0,1. Считая, что ЭД включаются в сеть независимо один от другого, найти вероятность того, что нагрузка на трансформатор составит 100 кВт.

В электроснабжении под коэффициентом включения понимается вероятность включенного состояния ЭД в произвольно взятый момент времени.

Чтобы произошло событие, интересующее нас, (обозначим его как А), т. е. нагрузка на трансформатор составила 100 кВт, должны быть включены все четыре ЭД. Зная их коэффициенты включения, легко найти искомую вероятность, используя формулу умножения вероятностей для независимых событий:

Р(А) = k_В1 k_В2 k_В3 k_В4 =0,5∙0,4∙0,2∙0,1=0,004.

Отсюда следует важный вывод: при заданных коэффициентах включения ЭД нагрузка на трансформатор равна суммарной мощности всех ЭД только в течение 0,4% времени его эксплуатации.

Пример 14

Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Определить вероятность того, что он успешно ответит подряд на три, заданные вразнобой, вопроса.

Пусть событие А – студент ответил на все три вопроса;

А₁ – студент ответил на первый вопрос;

А₂ – студент ответил успешно на второй вопрос;

А₃ – студент ответил успешно на третий вопрос.

Чтобы событие А произошло, необходимо, чтобы студент успешно ответил И на первый вопрос (А₁), И на второй вопрос (А₂), И на третий вопрос (А₃). То есть речь идёт о произведении событий. Учитывая, что успех в ответе на второй вопрос зависит от успешности ответа на первый (после первого вопроса количество задаваемых вопросов уменьшится на единицу, а также изменится доля известных студенту вопросов), необходимо воспользоваться формулой умножения для зависимых событий: Р(А)=Р(А₁А₂А₃)=Р(А₁)Р(А₂/А₁)Р(А₃/А₁ А₂) = ∙ ∙ = 0,496.