Решение типового варианта
Задание 1. Даны две матрицы А = и В= . Найти:
а) обратную матрицу , проверить выполнение равенства ;
б) значение матричного многочлена .
Решение:
а) Обратную матрицу будем искать по формуле . Найдём определитель матрицы А по правилу треугольника: . Найдём алгебраические дополнения по формуле :
Получили обратную матрицу
Проверим выполнение условия .
= =
= Верно. Следовательно, матрица найдена правильно.
б) Найдём =5 -3 -4 =
= -
=
= .
Задание 2. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений
Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить ее: а) по формулам Крамера; б) матричным методом; в) методом Гаусса.
Решение:
Найдем ранг матрицы данной системы и ранг расширенной матрицы
.
Для этого умножим первую строку матрицы В на –2 и сложим со второй, затем умножим первую строку на –3 и сложим с третьей, поменяем местами второй и третий столбцы. Получим
.
Следовательно, rangA=rang =3 (т.е. числу неизвестных). Значит, исходная система совместна и имеет единственное решение.
а) По формулам Крамера
,
где
,
, , ,
находим: .
б) Для нахождения решения системы с помощью обратной матрицы запишем систему уравнений в матричной форме . Решение системы в матричной форме имеет вид . Находим обратную матрицу:
, , ,
, , ,
, , ,
.
Решение системы:
.
Итак, х1=-4, х2=1, х3=-2;
в) Решим систему методом Гаусса. Исключим х1 из второго и третьего уравнений. Для этого первое уравнение умножим на 2 и вычтем из второго, затем первое уравнение умножим на 3 и вычтем из третьего:
Из последнего уравнения системы находим х2=1, затем из второго уравнения находим х3=-2 и из первого уравнения системы находим х1=-4.
Задание 3. Даны координаты вершин треугольника АВС: А(1,2), В(3,4) и С(6,3). Найти:
а) длину стороны АВ;
б) уравнения сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты;
в) угол А;
г) уравнение высоты СD и её длину;
д) уравнение медианы АЕ и координаты точки К, пересечения этой медианы с высотой СD;
Решение:
а ) Длина стороны АВ:
б) Уравнения сторон АВ и АС:
в)
г) Уравнение высоты СD и её длину. Найдём угловой коэффициент прямой СD. Так как СD – высота к стороне АВ, то и их угловые коэффициенты связаны соотношением . Найдём угловой коэффициент прямой CD: . Теперь найдём уравнение высоты: Таким образом
Длину высоты найдём по формуле расстояния от точки С до прямой АВ:
ед.
д) Уравнение медианы АЕ и координаты точки К, пересечения этой медианы с высотой С.
Так как АЕ медиана к стороне ВС, то ВЕ=ЕС. Найдём координаты точки Е:
Найдём уравнение прямой АЕ: или
Координаты точки К найдём из следующеё системы: . Решая которую получим
Задание 4. Даны три вектора , , . Для векторов, указанных в пунктах а)-д), выполнить соответственно следующие операции:
а) вычислить смешанное произведение трёх векторов ;
б) найти модуль векторного произведения векторов ;
в) вычислить скалярное произведение векторов и угол между векторами;
г) проверить векторы на коллинеарность и ортогональность;
д) проверить, будут ли векторы компланарны .