12.4.Метод заміни змінної

Одним з основних методів обчислення інтегралів є метод заміни змінної. Заміна змінної в невизначеному інтегралі робиться за допомогою підстановок двох видів:

1) х=φ(t), де φ(t) – монотонна, неперервно диференційована функція нової змінної t. Формула заміни змінної в цьому випадку має вигляд

;

2) u=ψ(x), де u – нова змінна. Формула заміни змінної при такій підстановці:

.

Ці формули показують, що при переході до нової змінної досить виконати заміну змінної у підінтегральному виразі.

Вдала заміна змінної дозволяє спростити початковий інтеграл, а у простіших випадках звести його до табличного.

Приклади 3. Знайти інтеграли

1)

Зробимо підстановку , тобто . Ця підстановка призведе до того, що під знаком синуса виявиться змінна інтегрування, а не корінь із неї. Знайдемо диференціал . Звідси одержуємо

.

Відповідь повинна бути виражена через змінну х. Підставляючи в результат інтегрування , одержимо

.

2) .

За допомогою заміни змінної можна відразу звести даний інтеграл до табличного. Покладемо , тоді , тобто . Звідси одержуємо

.

Взагалі, якщо інтеграл є табличним, то інтеграл може бути легко знайдений за допомогою підстановки .

Наприклад, застосуємо цю підстановку до інтеграла . Маємо , і . Отже,

.

Повертаємося до минулої змінної, одержуємо

.

Аналогічно можна показати, що

і т.п.

При знаходженні інтеграла запису самої підстановки можна фактично й не робити. Тут досить взяти до уваги, що . Таким чином,

,

де F – первісна для f .

3)

Покладемо ; тоді . Продиференціюємо обидві частини рівності: . Звідси , отже,

Даний інтеграл можна знайти й за допомогою підстановки Ця підстановка відразу приводить інтеграл до табличного внаслідок того, що перший множник підінтегрального виразу відрізняється від похідної підкореневого виразу тільки постійним множником 1/3, тобто .

Взагалі, якщо підінтегральна функція є добутком двох множників, один з яких залежить від деякої функції ψ(х), а інший є похідною ψ(х) (з точністю до постійного множника), тоді доцільно зробити заміну змінної за формулою ψ(х)=t.

4) .

Перепишемо даний інтеграл у вигляді . Оскільки похідна виразу 2 1n x+3 дорівнює 2/х, а другий множник 1/х відрізняється від цієї похідної тільки постійним коефіцієнтом 2, тоді потрібно застосувати підстановку . Тоді Отже,

.

5)

Зробимо підстановку тоді та Отже,

Застосувавши формулу 18, одержимо

6)

Зробимо підстановку тоді тобто Знаходимо

(ми використали формулу 20).

7)

Застосуємо підстановку тоді та

8)

Застосуємо підстановку тоді та

(див. формулу 21). Отже,

9)

Перетворюючи знаменник дробу, одержимо Зробимо підстановку тоді Звідси

(див. формулу 18). Таким чином,

10)

Покладемо тоді та

(ми застосували формулу 19). Отже,

.

11)

Зробивши таку ж підстановку, що й у попередньому прикладі, одержимо

12)

Покладемо тоді одержимо

(див. формули 22 та 23). Повертаючись до минулої змінної, одержимо