- •Практичне заняття №1. (2 год – 3 бали)
- •1. Теоретичний блок
- •2. Практичний блок
- •Практичне заняття №2. (2 год – 3 бали)
- •1. Теоретичний блок.
- •2. Практичний блок.
- •Практичне заняття №3. (2 год –3 бали)
- •1. Теоретичний блок
- •2. Практичний блок
- •Практичне заняття №4. (2 год. -3 бали)
- •1. Теоретичний блок.
- •2. Практичний блок.
- •Практичне заняття №5. (2 год – 3 бали)
- •1. Теоретичний блок
- •2. Практичний блок
- •Практичне заняття №6. (2 год. – 3бали)
- •1. Теоретичний блок.
- •2. Практичний блок.
- •Практичне заняття №7. (2 год. – 3 бали)
- •1. Теоретичний блок
- •2. Практичний блок
- •Практичне заняття №8. (2 год.-3 бали)
- •1. Теоретичний блок.
- •2. Практичний блок
- •Практичне заняття №9. (2 год. – 3 бали)
- •1. Теоретичний блок
- •2. Практичний блок
- •Практичне заняття №10. (2 год. – 3 бали)
- •1. Теоретичний блок
- •Практичний блок
- •Теорема Піфагора.
- •20. В прямую призму, основанием которой является прямоугольный треугольник с углом и гипотенузой с, вписана сфера. Найдите объем призмы.
- •25. В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при вершине равен . Найдите объем пирамиды, если радиус шара, описанного около нее, равен r.
- •23. В шар радиуса r вписана правильная треугольная пирамида, боковые грани которой наклонены под углом к основанию. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
- •24. В конус вписана правильная четырехугольная пирамида, высота которой равна см, а плоский угол при вершине . Найдите объем конуса.
- •24. Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна d. Боковое ребро образует с высотой угол . Найдите объем описанного шара.
- •25. В правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине равен . Найдите объем пирамиды, если радиус вписанного в нее шара равен r.
- •25. В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при вершине равен . Найдите объем пирамиды, если радиус вписанного шара равен r.
- •22. В шар радиуса r вписана правильная четырехугольная пирамида, боковые грани которой образуют угол, равный с основанием. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
- •22. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна b. Угол наклона бокового ребра к основанию равен . Найдите объем вписанного шара.
- •25. В основании конуса проведена хорда длиной а, которую видно из центра основания под углом . Образующая конуса наклонена к основанию под углом . Найдите объем описанного шара.
- •24. Угол между образующей конуса и его высотой равен . Расстояние от центра описанного около конуса шара до основания высоты равно l. Вычислите полную поверхность конуса.
- •26. Треугольник со сторонами 12 см, 17 см и 15 см вращается вокруг меньшей стороны. Найдите площадь поверхности тела вращения.
- •25. В шар, площадь поверхности которого s, вписан конус. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен . Определите площадь полной поверхности конуса.
- •22. В основании конуса проведена хорда длиной b, которую видно из центра основания под углом . Угол при вершине осевого сечения конуса равен . Найдите объем описанного шара.
- •24. Основание пирамиды прямоугольная трапеция с основаниями а и b; двугранные углы при основании . Найдите объем вписанного шара.
- •25. Полная поверхность конуса равна s. Образующая его наклонена к плоскости основания под углом . Вычислите объем правильной шестиугольной пирамиды, вписанной в этот конус.
- •20. В правильной треугольной пирамиде боковая грань наклонена к плоскости основания под углом . Найдите полную поверхность пирамиды, если радиус шара, вписанного в нее, равен r.
- •21. Апофема правильной треугольной пирамиды равна h. Боковое ребро образует с высотой угол . Найдите объем описанного шара.
- •24. В конус вписан шар радиуса r. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под утлом . Найдите объем конуса.
- •21. В основании конуса проведена хорда длиной b, которую видно из вершины под углом . Угол при вершине осевого сечения равен . Найдите площадь поверхности вписанной в конус сферы.
- •23. В шар радиуса 6 см вписана правильная четырехугольная пирамида. Какова должна быть величина высоты пирамиды, чтобы ее объем был наибольшим?
- •24. В правильную треугольную пирамиду вписан конус. Найдите объем конуса, если ребро пирамиды равно l и плоский угол при вершине пирамиды равен .
- •22. В конус, объем которого равен V, вписана правильная пятиугольная пирамида. Найти объем пирамиды.
- •23. В цилиндр, вписанный в шар, вписан шар. Найдите отношение площадей поверхностей и объемов этих шаров.
- •21. В правильной четырехугольной пирамиде двугранный угол при основании равен . Найдите полную поверхность пирамиды, если радиус шара, вписанного в нее, равен r.
- •20. В правильной четырехугольной пирамиде апофема равна l, а плоский угол при вершине . Найдите объем конуса, описанного около пирамиды.
- •22. Около шара описан усеченный конус, площадь осевого сечения которого s, острый угол сечения . Найдите объем шара.
- •26. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а. Боковое ребро наклонено к основанию под углом . Найдите объем вписанного шара.
- •22. Вокруг шара радиуса 6 см описан усеченный конус, радиусы оснований которого относятся как 4:9. Найдите боковую поверхность усеченного конуса.
- •23. В шар радиуса r вписана правильная четырехугольная пирамида, с плоским углом при вершине, равным . Найдите объем пирамиды.
- •21. В шар вписана правильная треугольная пирамида. Какова должна быть длина высоты пирамиды, чтобы объем пирамиды был наибольшим, если радиус шара равен 3 см?
- •23. В конус вписан шар. Отношение объемов конуса и шара равно 2. Найдите отношение площадей полных поверхностей конуса и шара.
- •22. В прямой круговой конус вписан шар, радиус которого равен 1 м. Найдите угол между образующей конуса и его основанием, при котором объем этого конуса наименьший.
- •Питання до екзамену
24. Угол между образующей конуса и его высотой равен . Расстояние от центра описанного около конуса шара до основания высоты равно l. Вычислите полную поверхность конуса.
25. В нижнем основании цилиндра проведена хорда длиной а, которую видно из центра этого основания под углом . Отрезок, соединяющий центр верхнего основания с точкой окружности нижнего основания, образует с плоскостью основания угол . Найдите объем описанного около цилиндра шара.
26. Треугольник со сторонами 12 см, 17 см и 15 см вращается вокруг меньшей стороны. Найдите площадь поверхности тела вращения.
Варіант 10
Описати методику розв’язання задачі. Для виділених задач побудувати зображення комбінацій тіл.
1. Дан параллелограмм ABCD и точка S вне плоскости параллелограмма.
АВ=15 см, AD=20 см, SB — 9 см, причем плоскости SAB и SBC перпендикулярны плоскости параллелограмма. Найдите расстояние от точки S до АС, если известно, что АС = BD.
2. Расстояние от точки до плоскости равно 4 см. Из этой точки проведены две наклонные, длина которых 5 см и см. Угол между проекциями этих наклонных равен 60°. Вычислите расстояние между основаниями этих наклонных.
3. Ортогональной проекцией четырехугольника с площадью 144 см2 является прямоугольник, диагональ которого равна см, а одна из сторон 8 см. Вычислите угол между плоскостями прямоугольника и данного четырехугольника. Может ли данный четырехугольник быть квадратом?
4. Из некоторой точки пространства к плоскости треугольника, стороны которого равны 32 см, 40 см, 48 см, проведен перпендикуляр, длина которого 18 см. Основание перпендикуляра принадлежит стороне треугольника, равной 40 см, а две другие стороны равноудалены от данной точки. Вычислите расстояние от данной точки до других сторон.
5. Два равнобедренных треугольника имеют общее основание, а их плоскости образуют между собой угол в 60°. Общее основание равно 16 см. Боковая сторона одного треугольника равна 17 см, а боковые стороны другого - взаимно перпендикулярны. Вычислите расстояние между вершинами треугольников
6. Три плоскости параллельны. Одна прямая пересекает их: в точках ; другая - в точках . Известно, что А А2=4 см, В2В3=9 см, А2А3=B B2. Найдите длины отрезков А А3 и В3.
7. Постройте сечение пирамиды SABCDE плоскостью, проходящей через диагональ основания AD, и параллельной боковому ребру SE.
8. Даны точки А(5; - 4; 2), В(5; - 7; 8), С(2; 2; - 7), D(- 1; 5; -10). Покажите, что векторы и коллинеарны; установите, как они направлены - одинаково или противоположно.
9. Докажите, что точки A(- 4; - 8; 8) , В (- 2; - 2; 6), С (4; 0; - 10), D(2; - 6; - 8) являются вершинами параллелограмма ABCD.
10. Даны три точки А (0; 1; - 1), В (1; - 1; 2), С (3; 1; 0). Вычислите косинус угла А треугольника АВС.
11. В тетраэдре ABCD точка К - середина ребра DC. Выразить через векторы = , = , = вектор .
12. В основании прямой призмы лежит равнобедренный треугольник с углом при вершине. Диагонали двух боковых граней, которые содержат стороны этого угла, наклонены к плоскости основания под утлом . Диагональ третьей боковой грани равна l. Определите объем призмы.
13. В основании прямой призмы лежит равнобокая трапеция с острым углом и меньшим основанием а. Диагонали трапеции являются биссектрисами острых углов. Диагональ призмы наклонена к плоскости основания под углом . Найдите объем призмы.
14. В основании пирамиды лежит ромб. Две смежные боковые грани ее перпендикулярны к плоскости основания и образуют между собой тупой угол , а две другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом . Определите боковую поверхность пирамиды, если высота пирамиды равна h.
15. Боковая грань правильной усеченной четырехугольной пирамиды наклонена к плоскости большего основания под углом . Площадь нижнего основания пирамиды в девять раз больше площади верхнего основания, а ее объем равен V. Найдите боковую поверхность пирамиды.
16. В основании пирамиды лежит ромб с углом 30°. Две боковые грани, образующие тупой двугранный угол, перпендикулярны к основанию. Какова должна быть длина стороны ромба, чтобы площадь каждой из двух других боковых граней была наибольшей, если большее боковое ребро равно дм?
17. Площади оснований и диагонального сечения правильной четырехугольной усеченной пирамиды соответственно равны 16 дм , 324 дм и 88 дм , Найдите площадь боковой поверхности усеченной пирамиды.
18. В цилиндре параллельно его оси проведена плоскость, которая пересекает нижнее основание по хорде а. Диагональ сечения наклонена к плоскости основания под углом . Отрезок, который соединяет центр верхнего основания с серединой хорды нижнего основания, образует с плоскостью нижнего основания угол . Найти объем цилиндра.
19. Образующая конуса равна см. Найти площадь полной поверхности конуса, если угол при вершине осевого сечения конуса прямой.
20. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с углом . Через противолежащий катет нижнего основания и вершину угла верхнего основания проведено сечение, которое образует с плоскостью основания угол . Перпендикуляр, проведенный из вершины угла нижнего основания до сечения, равен а. Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.
21. В цилиндр вписан прямоугольный параллелепипед, большая сторона основания которого равна а. Диагональ параллелепипеда составляет с его большей боковой гранью угол , а с плоскостью основания угол . Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
22. В правильной треугольной пирамиде расстояние от центра вписанного в нее шара до стороны основания равно d. Определите полную поверхность пирамиды, если боковая грань ее наклонена к плоскости основания под углом .
23. В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с углом при вершине. Все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом . Вычислите объем пирамиды, если радиус шара, вписанного в нее, равен r.
24. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с углом . Все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом . Найдите объем пирамиды, если радиус шара, вписанного в нее, равен r.