Розв’язування.

За формулами (7.6) та (7.7)

= 0,04/(1-0,1)= 0,044; = 0,01/0,1= 0,1.

Зразок 3.

Скільки виробів зі 100 перевірених буде прийнято придатними, у тому числі дійсно придатними, якщо А =0,04; В =0,01; імовірність непрацездатного стану виробів =0,1.

Розв’язування.

За формулою (7.8) або за допомогою графа (рис. 7.1) знаходимо показники достовірності Г і P(F), які вказують на частку дійсно придатних виробів (показник Г) і частку всіх виробів, які за результатами контролю визнані придатними (показник P(F)):

Г = (1- ) - А = (1- 0,1) - 0,04 = 0,86; Р(F) = Г + В = 0.86 + 0.01 = 0.87;

Отже, кількість дійсно придатних виробів N_дп = Г×100 = 86 одиниць, а визнаних придатними – N_вп = Р(F)×100 = 87. Це означає, що один виріб із 87 може бути прийнятий помилково.

7.2. Оцінювання показників достовірності контролю

Граф імовірностей подій при контролі (рис. 7.1) та математичні вирази для показників достовірності (7.4 – 7.12) є загальними для всіх видів контролю (діагностування) і для всього спектру різнопланових АСК. Вони служать своєрідними алгоритмами, за допомогою яких отримують більш конкретні аналітичні вирази для числових оцінок показників достовірності.

Розглянемо один з найпоширеніших видів контролю – контроль працездатності об’єкта за сукупністю N незалежних один від одного визначальних параметрів. Кожен і-й параметр об’єкта характеризується певною ймовірністю p_і того, що перед початком контролю його значення перебуває в межах допуску, тобто ймовірністю працездатного стану об’єкта по і-у параметру. Об’єкт загалом працездатний тільки в тому випадку, коли всі його параметри одночасно перебувають у межах своїх допусків. Тому ймовірність працездатного стану об’єкта Р(Е) перед початком його контролю (апріорна ймовірність) знаходиться як добуток імовірностей p_і:

(7.13)

Аналогічно знаходяться показники достовірності Г і P(F) – як добуток відповідних імовірностей за окремими параметрами:

(7.14)

, (7.15)

де – імовірність отримання результату “придатний” при контролі і-го параметра, який перебуває в межах допуску;

– імовірність отримання результату “придатний” при контролі і-го параметра, який перебуває в довільному відносно допуску положенні відповідно до його закону розподілення.

Граф (рис 7.1) справедливий як для об’єкта в цілому, так і для і-го його параметра. Тому відповідно до графа:

, (7.16)

, (7.17)

де і – ризики виробника і замовника відповідно при контролі і-го параметра.

Використовуючи граф контролю об’єкта в цілому і враховуючи співвідношення (7.13-7.17), одержимо вирази для ризиків виробника і замовника при контролі всього об’єкта:

; (7.18)

. (7.19)

Як зміняться показники достовірності А і В, якщо контроль буде неповним? Наприклад, із N визначальних параметрів контролюються лише К параметрів, К N.

Для параметра, що не контролюється, показник (виробник не ризикує), а показник (тобто, дорівнює апріорній імовірності непрацездатного стану об’єкта по і-му параметру). Тоді ризики виробника і замовника А_н і В_н відповідно при неповному контролі визначаться за такими формулами:

А_н= (7.20)

(7.21)

Порівняння виразів (7.18), (7.19) з виразами (7.20), (7.21) показує, що А_н  А, а В_н  В, тобто при зниженні повноти контролю, ризик виробника зменшується, а ризик замовника збільшується і в крайньому разі, коли контроль відсутній повністю (К=0), ризики набувають таких значень:

Тобто ризик виробника за відсутності контролю дорівнює нулю, а ризик замовника дорівнює апріорній імовірності непрацездатного стану об’єкта.

Зразок 1.

Оцінити, наскільки зміниться ризик виробника за неповного контролю об’єкта порівняно з повним за умови, що кількість контрольованих параметрів скоротиться удвічі. Вихідні дані для розрахунків: імовірність працездатного стану об’єкта Р(Е)=0,9, кількість параметрів повного контролю N=16, всі параметри рівнозначні за ризиком виробника (а_i = 0,003) і ймовірністю працездатного стану об’єкта за кожним параметром.

Розв’язування.

Формула (7.13) для умов цієї задачі набуває такого вигляду P(E) = p_і¹⁶ , звідки p_і = (P(E))^1/16 = 0,9 ^1/16 = 0,99344. За формулами (7.18), (7.20) знаходимо ризик виробника за повного А і неповного А_н контролю об’єкта загалом:

Ризик виробника, як бачимо, зменшився майже удвічі (в 1,978 рази).

Зразок 2.

Оцінити, наскільки зміниться ризик замовника за неповного контролю об’єкта порівняно з повним за умови, що кількість контрольованих параметрів скоротиться удвічі. Вихідні дані для розрахунків ті ж, що і в попередньому прикладі, за винятком того, що додається ще одна характеристика – ризик замовника = =0,0015 при контролі і-го параметра.

Розв’язування.

За формулами (7.19), (7.21) знаходимо співвідношення B_н /В ризиків замовника:

B_н /В = ((0,99344-0,003+0,0015)⁸-(0,99344-0,003)⁸0,99344⁸)/

/((0,99344-0,003+0,0015)¹⁶-(0,99344-0,003)¹⁶) =

= 0,05878 / 0,02102=2,796.

Ризик замовника зріс майже втричі.

Отже, для того, щоб оцінити ризики А і В при контролі об’єкта в цілому, потрібно знайти відповідні показники, що мають місце при контролі окремих його параметрів.

Це можна зробити за наявності статистичних характеристик об’єкта по відповідних параметрах та характеристик похибок засобів їх контролю.

Найпоширеніші характеристики, які застосовуються в розрахунках, – це закони розподілення випадкових величин, наприклад, щільність розподілення значень параметра і щільність розподілення похибки його вимірювання (рис. 7.2). Для спрощення будемо вважати ці величини незалежними одна від одної, а допуски на параметр і на результат його вимірювання такими, що збігаються.

Унаслідок похибок вимірювання похідний закон розподілення результатів вимірювання відрізняється певним чином від вихідного закону розподілення значень параметра (рис. 7.2).

Рис. 7.2. Закони розподілення параметра Х, похибки вимірювання Т та результату вимірювання Y

Суттєві викривлення інформації трапляються саме в околицях допускових меж, де в результаті похибок вимірювання отримані значення параметрів можуть "проскочити" допускову межу в той чи той бік. Якщо в результаті вимірювання значення параметра “виходить” із допускової зони, маємо факт ризику виробника, якщо ж навпаки –“приходить” з-за меж допускової зони, маємо факт ризику замовника.

Для того, щоб знайти кількісну оцінку ймовірності таких „переходів”, потрібно визначити відносну суму цих подій на основі сумісного інтегрування вказаних законів розподілення. Наприклад, для ризику виробника аналітична формула складається із двох частин:

(7.22)

Перша частина характеризує ймовірність “виходу” з допускової зони ліворуч, в сторону менших значень, друга частина – праворуч, в сторону більших значень. Аналогічний вигляд має формула для оцінки ризику замовника: перша частина характеризує ймовірність “приходу” в допускову зону зліва, друга частина – справа:

. (7.23)

Для безпосередніх розрахунків наведені вирази (7.22), (7.23) також мало придатні, тому були розроблені спрощені інженерні методики оцінювання цих показників. Одна з них, яка розглядається на практичних заняттях, базується на нормованій функції Лапласа із застосуванням відносних нормованих відхилень параметра і похибки вимірювання.