Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины»

А. Р. МИРОТИН, Ж. Н. КУЛЬБАКОВА,

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

СБОРНИК ЗАДАЧ

для студентов специальности 1-31 03 01 02 –

«Математика (научно-педагогическая деятельность)»

Гомель

ГГУ им. Ф. Скорины

2010

2 Метрические пространства

Тема 1

Сходящиеся последовательности в метрических

пространствах

2.1.1 Проверить, сходится ли заданная последовательность x_n точек метрического пространства X к точке a, если выполнены следующие условия (таблица 2.1.1).

Таблица 2.1.1

Вариант
1
2
3
4
5
6

2.1.2 Проверить, сходится ли заданная последовательность xn точек метрического пространства X к точке a, если выполнены следующие условия (таблица 2.1.2).

Таблица 2.1.2

Вариант	X
1	2	3	4
1
2

Окончание таблицы 2.1.2

1	2	3	4
3
4
5
6

2.1.3 Проверить, сходится ли заданная последовательность xn точек метрического пространства X к точке a, если выполнены следующие условия (таблица 2.1.3).

Таблица 2.1.3

Вариант	X
1
2
3
4
5
6

2.1.4 Определить, является ли данное условие: а) необходимым, б) достаточным, в) необходимым и достаточным для сходимости последовательности x_n в метрическом пространстве X (таблица 2.1.4)?

Таблица 2.1.4

Вариант	X	Условие
1		существует предел числовой последовательности
2		существует предел числовой последовательности
3		, где
4		существует предел числовой последовательности
5		, где
6		, где

2.1.5 Найти предел последовательности x_n в метрическом простран-стве X, если он существует (таблица 2.1.5).

Таблица 2.1.5

Вариант	X
1	2	3
1
2
3

Окончание таблицы 2.1.5

1	2	3
4
5
6

Тема 2

Топология метрических пространств

2.2.1 Является ли данное множество М открытым, замкнутым, ограниченным в пространстве ? Найти его замыкание, внутренние и граничные точки (таблица 2.2.1).

Таблица 2.2.1

Вариант	М	Вариант	М
1		4
2		5
3		6

2.2.2 Для данного множества А выяснить, является ли множество открытым, замкнутым, ограниченным в (таблица 2.2.2).

Таблица 2.2.2

Вариант		А	Вариант		А
1	1		4
2	2		5	3/2
3	2		6	2

Тема 3

Полнота метрических пространств

2.3.1 Выяснить, является ли последовательность фундамен-тальной в данном пространстве X? Найти , если он существует (таблица 2.3.1).

Таблица 2.3.1

Вариант	X
1
2
3
4
5
6

2.3.2 Выяснить, является ли заданное пространство полным.

Вариант 1 а) пространство непрерывно дифференциру-емых на отрезке функций с метрикой

;

б) пространство всех дважды дифференцируемых на отрезке функций с метрикой .

Вариант 2 а) пространство числовых последовательностей , удовлетворяющих условию , с метрикой ;

б) пространство всех непрерывных на отрезке функций с метрикой .

Вариант 3 а) пространство всех ограниченных числовых после-довательностей с метрикой

;

б) с метрикой .

Вариант 4 а) пространство сходящихся к нулю последова-тельностей с метрикой

;

б) с метрикой .

Вариант 5 а) Пространство с сходящихся последовательностей с метрикой ;

б) с метрикой .

Вариант 6 а) Пространство ограниченных и непрерывных на интервале функций с метрикой ;

б) с метрикой .

Тема 4

Непрерывные отображения

2.4.1 Выяснить, является ли заданное отображение на своей естественной области определения непрерывным в точке (таблица 2.4.1)?

Таблица 2.4.1

Вариант	X	Y	F
1
2
3
4
5
6

2.4.2 Является ли заданное отображение : а) непрерыв-ным; б) равномерно непрерывным; в) удовлетворяющим условию Липшица (таблица 2.4.2)?

Таблица 2.4.2

Вариант	X	Y	F
1
2
3
4
5
6

Тема 5

Компактные множества в метрических пространствах

2.5.1 Выяснить, является ли множество М предкомпактным, компактным в (таблица 2.5.1).

Таблица 2.5.1

Вариант	М	Вариант	М
1		4
2		5
3		6

2.5.2 Определить, является ли данное множество М предком-пактным в (таблица 2.5.2)?

Таблица 2.5.2

Вариант	р	М
1	2
2	1
3	2
4	2
5	1
6	1

Тема 6

Сжимающие отображения

2.6.1 Является ли отображение F метрического пространства X в себя сжимающим? Найти , где . Оценить расстояние от до неподвижной точки в случае, если F является сжимающим (таблица 2.6.1).

Таблица 2.6.1

Вариант	X	F
1
2
3
4
5
6

2.6.2 Применим ли принцип сжимающих отображений к заданному интегральному уравнению в пространстве Х при ? При с точностью до 0,01 найти приближенное решение и сравнить его с точным решением (таблица 2.6.2).

Таблица 2.6.2

Вариант	Х				уравнение
1	2	3	4	5	6
1

Окончание таблицы 2.6.2

1	2	3	4	5	6
2
3
4				1
5
6