Тема 2. Виды относительных величин и формулы для их расчета:
1. Процент планового задания характеризует планируемое изменение показателя по сравнению с фактически достигнутым в период, предшествующий плановому:
% пл. зад. ,
где - плановый уровень;
- базовый уровень или уровень периода, предшествующего плановому.
2. Процент выполнения плана характеризует степень выполнения плана (прогноза):
% в.п. ,
где - фактический уровень, достигнутый в анализируемом периоде.
3. Коэффициент динамики (роста) характеризует изменение явления во времени:
а) базисный ; б) цепной ,
где = - фактический уровень, достигнутый в анализируемом периоде;
- уровень, предшествующий текущему (анализируемому) периоду.
4. Удельный вес - относительная величина структуры совокупности (это часть от целого):
,
где - объем части изучаемой совокупности;
- общий объем совокупности.
5. Коэффициент координации характеризует соотношение между отдельными частями изучаемой совокупности, одна из которых принимается за базу сравнения:
,
где - часть сравниваемой совокупности;
- часть совокупности, принятой за базу сравнения.
6. Относительная величина сравнения характеризует соотношение одноименных показателей, относящихся к различным объектам или территориям, но за один и тот же период:
,
где - объем сравниваемой совокупности;
- объем совокупности, принятый за базу сравнения.
7. Относительная величина интенсивности характеризует распространенность данного явления в определенной среде. В основном это соотношение двух разноименных абсолютных величин. Применяется для характеристики уровня развития явления (сколько единиц числителя приходится на 1, 100, 1000 и т.д. единиц знаменателя). К показателям интенсивности относят коэффициент рождаемости, смертности, самоубийств, преступности.
Тема 3. Средние величины
Средняя величина - это обобщающая характеристика изучаемой статистической совокупности по какому-либо признаку. Наиболее распространенными средними величинами являются: средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя квадратическая, средняя хронологическая, средняя геометрическая (см. тему 5: "Ряды динамики", расчет среднего темпа роста).
Выбор формулы расчета средней величины зависит только от вида исходных данных. Средняя арифметическая применяется, если известны значения осредняемого признака Х и число единиц совокупности с этим значением X. Если каждая варианта - Х встречается 1 раз, то применяется средняя арифметическая простая:
где - число единиц совокупности.
Средняя арифметическая простая, как правило, применяется, если исходные данные не упорядочены. Если каждая варианта - Х встречается несколько раз, то применяется средняя арифметическая взвешенная:
где - частота признака.
Средняя арифметическая взвешенная применяется, если задан упорядоченный ряд распределения.
Пример 1: Построить дискретный ряд распределения студентов по возрасту и вычислить среднюю арифметическую взвешенную. Дать характеристику группировке.
Возраст
|
Кол-во чел. |
Возраст
|
Кол-во чел. |
Возраст
|
Кол-во чел. |
22 |
5 |
29 |
3 |
37 |
2 |
23 |
3 |
30 |
6 |
38 |
2 |
24 |
4 |
31 |
3 |
39 |
1 |
25 |
1 |
32 |
3 |
40 |
1 |
26 |
4 |
33 |
1 |
46 |
1 |
27 |
2 |
34 |
4 |
50 |
1 |
28 |
1 |
36 |
2 |
|
|
Решение: лет.
Характеристика группировки: вариационная, дискретная, однофакторная, первичная, структурная.
Построить интервальный ряд распределения и произвести расчет средней по интервальному ряду.
Алгоритм расчета: 1) Закрыть открытые интервалы, приняв их равными ближайшему закрытому. 2) За значение Х взять середину каждого интервала (значение первого + значение последнего и поделить на 2); 3) Провести расчет средней арифметической взвешенной.
Возраст |
Середина интервала
|
|
|
До 25 лет |
23 |
13 |
299 |
26 - 30 лет |
28 |
16 |
448 |
31 - 35 лет |
33 |
11 |
363 |
36 и более |
38 |
10 |
380 |
Решение: лет.
В статистике приходится вычислять средние по вариантам, которые являются групповыми (частными) средними. В таких случаях общая средняя определяется как средняя арифметическая взвешенная из групповых средних, в которых весами являются объемы единиц в группах.
Пример 2: Задолженность по кредитам предприятий за отчетный период характеризуется следующими данными:
№ предприятия |
Задолженность по кредитам, тыс.руб.,
|
Удельный вес просроченной задолженности, %,
|
Объем просроченной задолженности, тыс.руб.,
|
1 |
2500 |
20 |
500 |
2 |
3000 |
30 |
900 |
3 |
1000 |
16 |
160 |
ИТОГО |
6500 |
- |
1560 |
Определите средний процент просроченной задолженности по кредитам предприятий.
Решение: Экономическое содержание показателя равно:
Удельный вес задолженности = |
Объем просроченной задолженности |
100, % |
Объем общей задолженности |
Для расчета среднего процента просроченной задолженности надо сравнить суммарные показатели просроченной задолженности и общей задолженности предприятий. Применяем формулу средней арифметической взвешенной:
Средняя гармоническая
Средняя гармоническая применяется, когда неизвестна частота ( ), но известны произведения варианты (X) на частоту ( ), то есть . Средняя гармоническая вычисляется из обратных значений осредняемого признака и по форме может быть простой и взвешенной.
Средняя гармоническая простая:
где - число единиц совокупности.
Средняя гармоническая взвешенная:
где .
Пример 1: Доходы банков в отчетном году характеризуются следующими показателями:
№ банка |
Средняя процентная ставка X |
Доход банка, тыс.руб. Д= |
Сумма кредита, тыс.руб. Д / X |
1 |
40 |
600 |
1500 |
2 |
35 |
350 |
1000 |
ИТОГО |
- |
950 |
2500 |
Определите среднюю процентную ставку банков.
Решение: Основой выбора средней является реальное содержание определяемого показателя:
Ставка = |
Доход банка |
100, % |
Сумма кредита |
В задаче отсутствуют прямые данные о кредитах, но их суммы можно определить расчетным путем, разделив доход банка (Д) на процентную ставку ( ) (см. последнюю графу).
Среднюю процентную ставку определяем по формуле средней гармонической взвешенной. Веса представляют собой произведения процентной ставки ( ) на сумму кредита ( ): Д= .
Средняя хронологическая
Средняя хронологическая применяется когда значения признака Х заданы на несколько дат внутри периода. Формула средней хронологической:
,
где, - число дат, на которые известны значения Х.
Пример 1: Остатки денежных средств на расчетном счете предприятия (в т.руб.) характеризуются следующими данными:
Дата |
01.01 |
01.02 |
01.03 |
01.04 |
01.05 |
01.06 |
01.07 |
Остаток |
175 |
190 |
215 |
255 |
320 |
370 |
460 |
Определить: среднедневное наличие денег на расчетном счете за 1-ый квартал, 2-ой квартал и за 1-е полугодие.
За первый квартал: т. руб.
За второй квартал: т. руб.
За полугодие:
т. руб.
Выводы:
1) в первом квартале ежедневно находилось денег на расчетном счете в сумме 206,7тыс. руб.
2) во втором квартале ежедневно находилось денег на расчетном счете в сумме 349,2тыс. руб.
3) в первом полугодии ежедневно находилось денег на расчетном счете в сумме 277,9тыс. руб.
Для изучения внутреннего строения совокупности применяют структурные средние - моду и медиану. По имеющимся данным интервального вариационного ряда нужно исчислить моду, медиану, среднее линейное отклонение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.
Мода ( ) - наиболее часто встречающееся значение признака в совокупности. В дискретном ряду мода определяется по наибольшей частоте. Для интервального ряда с равными интервалами мода определяется по формуле:
,
где - нижнее значение модального интервала (имеющего наибольшую частоту);
- ширина (шаг) интервала;
- частота модального интервала;
и - соответственно: частота интервала, предшедствующего (последующего) модальному.
Медиана ( ) - середина ранжированного ряда, т.е. величина признака, делящая ряд на две равные части. Для дискретного с нечетным числом уровней медианой будет варианта, находящаяся в середине ряда:
,
где – номер медианы.
Для дискретного ряда с четным числом медианой будет средняя арифметическая из двух вариант, расположенных в середине ряда:
.
Для интервального вариационного ряда медиана определяется по формуле:
,
где - нижняя граница медианного интервала;
- его величина; - его частота;
-сумма накопленных частот в интервалах, предшествующих медианному;
- сумма частот ряда.
Не каждая средняя величина является объективной характеристикой изучаемой совокупности. Для расчета типичности средней, колеблемости признака применяются показатели вариации.