Исходные данные.

Функция задана таблицей 1:

Таблица 1.
3,28	5,05	5,34	13,11	6,33	33,43	7,23	90,44	8,55	191,54
3,87	6,87	5,65	20,86	6,41	41,45	7,83	94,85	9,32	204,45
4,65	10,43	5,77	21,97	6,55	46,44	7,92	103,06	9,66	216,97
4,99	12,96	5,83	22,99	6,85	60,94	8,14	124,45	10,13	279,74
5,08	12,08	6,06	27,75	7,01	79,08	8,23	143,65	10,25	325,43

I Решение задачи с использованием пакета ms Exсel. Расчетные формулы.

Метод наименьших квадратов (МНК) разберём на примере.

Пример:

Пусть задана функция в виде таблицы:

Таблица 2

x	1	2	3	4
y	3	4	7	9

Решение:

Построим график этой функции (рис. 1):

Рис. 1

Аппроксимируем эту таблично заданную функцию непрерывной, так чтобы сумма квадратов невязок была бы минимальной, т. е:

(1)

В качестве аппроксимируемой функции выберем прямую:

(2)

Потребуем, чтобы искомая прямая проходила через точки 1, 2, 3, 4. В итоге получим систему уравнений:

(3)

Эта система переопределена. Переопределённые системы решаются стандартным методом:

1. Записываем систему уравнений (3) в матричной форме:

(4)

или RХ=Y (4а)

где

2. Систему уравнений (4а) слева умножаем на :

(5)

или (5а)

после простых преобразований получим:

(6)

или (6а)

где

Матрица симметричная. Можно показать, что она положительно определена, но плохо обусловлена. В рассмотренном случае окончательно получаем:

(7)

где n количество пар значений (в нашем случае 4). Подставив в систему уравнений (7) исходные данные, получаем:

Эту систему решим методом Крамера:

Подставив полученные в уравнение (2), окончательно получим:

Полученная функция у лучше всего аппроксимирует заданную зависимость, что видно на рис. 2

рис. 2

Аналогично получаем систему для квадратичной аппроксимации:

(8)

Аналогичным методом можно получить кривые высших порядков, но степень точности не очень высокая начиная с седьмой степени. Поэтому дальше используются другие методы.