Приближённое решение проблемы собственных значений матрицы

Постановка задачи

Пусть - квадратная матрица -го порядка.

Определение. Ненулевой вектор называется собственным вектором матрицы , если (1).

Число называется собственным значением матрицы , соответствующим собственному вектору .

Рассмотрим равенство (1) подробнее, перенесём всё в левую часть: , - представляет собой СЛАУ относительно координат вектора , где

(1`).

Это однородная СЛАУ, обладающая ненулевым решением, следовательно (2).

На равенство (2) можно смотреть как на уравнение относительно . Это равенство называется характеристическим уравнением матрицы , а называется характеристическим (вековым) определителем матрицы .

Если непосредственно раскрыть характеристический определитель, можно получить следующее равенство: (2`), где - сумма диагональных элементов матрицы , - сумма диагональных миноров второго порядка матрицы и т.д. .

Таким образом, видно, что относительно собственных значений матрицы имеем алгебраическое уравнение -й степени, причём среди которых могут быть и комплексные даже и для вещественной матрицы .

В дальнейшем, для удобства, уравнение (2`) будем записывать в виде: (2``). На основе теоремы Виета можно записать следующие равенства: , .

Таким образом, всякая квадратная матрица -го порядка имеет ровно собственных значений, которые являются корнями её характеристического уравнения (2), а собственные векторы матрицы получаются как ненулевые решения СЛАУ (1`) в которую вместо подставляют собственное значение .

Из определения собственного вектора следует, что каждому собственному значению матрицы соответствует бесчисленное множество собственных векторов.

Пусть собственный вектор матрицы , соответствующий собственному значению : . Рассмотрим вектор ( ). Подействуем матрицей на вектор : . Следовательно, также является собственным вектором матрицы , соответствующий собственному значению .

Такие векторы и являются линейно зависимыми и в дальнейшем различаться не будут. Мы будем отыскивать собственные векторы матрицы соответствующие собственным значениям с точность до постоянного множителя.

Матрица может иметь не один, а несколько линейно независимых собственных векторов соответствующих собственным значениям , поскольку СЛАУ (1`) имеет и может иметь несколько линейно независимых решений при данном ( - количество линейно независимых собственных векторов, где -количество уравнений, а ).

Теорема 1. Собственные вектора матрицы отвечающие различным собственным значениям – линейно независимы. То есть, если и

собственный вектор матрицы соответствующий собственным значениям , собственный вектор матрицы соответствующий собственным значениям , то и - линейно независимые.

Следствие. Если все собственные значения матрицы : различны, то соответствующие им собственные вектора ( ) в числе равном образуют базис в соответствующем -мерном пространстве.

Теорема 2. Для того чтоб существовал базис из собственных векторов матрицы необходимо и достаточно, чтоб каждому собственному значению матрицы соответствовало ровно линейно независимых собственных векторов, где - кратность данного собственного значения, как корня характеристического уравнения.

Приведём полезные теоремы для матриц частного вида:

1. Симметричная матрица:

Теорема 3. Все собственные значения симметричной вещественной матрицы – вещественны.

Теорема 4. Собственные вектора симметричной вещественной матрицы соответствующие собственным значениям взаимно ортогональны: , где , то .

Теорема 5. Каждому собственному значению симметричной вещественной матрицы соответствует ровно взаимно ортогональных, а значит линейно независимых собственных векторов, где - кратность данного собственного значения, как корня характеристического уравнения данной матрицы.

Следствие. Собственные вектора симметричной вещественной матрицы образуют ортогональный базис в соответствующем -мерном пространстве.

Теорема 6. (Экстремальное свойство собственных значений) Пусть симметричная вещественная матрица: , . Тогда для : .

2. Положительно определённая матрица:

Теорема 7. Для того чтоб симметричная матрица была положительно определённой необходимо и достаточно, чтоб все её собственные значения .

3. Подобные матрицы:

Определение. Две квадратные матрицы одного порядка и называются подобными, если существует невырожденная матрица такая, что выполняется условие:

Теорема 8. Подобные матрицы имеют одинаковые собственные значения.

{ Самостоятельно доказать теоремы 3–8}

Все методы решения проблемы собственных значений матрицы делятся на:

1. прямые – метод Крылова, метод Данилевского;

2. итерационные – метод Мизеса, метод вращений и другие.

Не ограничивая общности, в дальнейшем будем считать, что - вещественная квадратная матрица -го порядка. Из равенства (2`) видно, что для непосредственного раскрытия характеристического определителя матрицы : требуется вычислить порядка различных определителей.

Поэтому для раскрытия характеристического определителя часто используются другие более экономные приёмы.

Метод Крылова – прямой метод нахождения собственных значений и собственных векторов матрицы

Рассмотрим метод Крылова раскрытия характеристического определителя. Обозначим через с точностью до знака характеристический полином матрицы : (1).

Поставим задачу нахождения - коэффициентов характеристического полинома.

Теорема (Гамильтона-Кели). Всякая квадратная матрица -го порядка обращает в ноль свой характеристический полином. То есть, если подставить в равенство (1) вместо матрицу , то равенство нулю будет выполняться: (2), где - нулевая матрица.

Выберем произвольный ненулевой вектор и умножим равенство (2) на вектор справа, получим: (3), где - нулевой вектор.

Введём обозначения: , ,…, .

С учётом этих обозначений формула (3) перепишется: или что то же самое (4).

Из формул для нахождения векторов следует, что координаты вектора вычисляются по следующей формуле: .

Поэтому равенство (4) в координатной форме имеет вид:

(4`).

(4`) представляет собой СЛАУ относительно искомых коэффициентов характеристического полинома, которая может быть решена любым известным методом.

Если системы (4`) оказывается равным нулю, то выбор вектора неудачен. Рекомендуется выбрать другой вектор и проделать указанную выше работу ещё раз.

Таким образом, зная коэффициенты характеристического полинома можна теперь любым известным методом решения нелинейных алгебраических уравнений отыскать все собственные значения матрицы .

Метод Крылова позволяет также находить собственные вектора соответствующие данным собственным значениям матрицы.