8.2. Поняття n-вимірного вектора і n-вимірного лінійного векторного простору.

При розгляді СЛР нам потрібно розглядати як дещо ціле, єдине набір чисел . Такі набори чисел ми будемо називати n-вимірними векторами, або n-вимірними точками, а відповідні числа — координатами вектора (точки). Ці вектори ми будемо позначати буквами, але вже не будемо ставити над буквами стрілки:

Над n-вимірними векторами можна вести арифметичні операції.

Означення (арифметичних операцій над векторами).

Добутком вектора на число називається вектор .

Сумою двох векторів і називається вектор .

Різницею двох векторів і називається вектор .

Скалярним добутком двох векторів і називається число, яке обчислюється за формулою .

Попередження. Додавати, віднімати та перемножувати скалярно можна лише вектори однакової розмірності !

Множина всіх n-вимірних векторів, на якій введені операції множення вектора на число та суми двох векторів, зветься n-вимірним лінійним арифметичним векторним простором.

В цьому параграфі ми обмежимось лише самою мінімально необхідною для розгляду СЛР інформацією про -вимірні вектори та лінійний -вимірний простір. Зокрема, для встановлення однієї з найзагальніших і найважливіших властивостей СЛР знадобиться ще поняття лінійної комбінації системи -вимірних векторів. Це поняття не просто аналогічне відповідному поняттю для “звичайних” векторів; воно його тотожньо повторює (див. §3): нехай є деяка скінченна сукупність -вимірних векторів і стільки ж чисел ; тоді лінійною комбінацією вказаних векторів називається вираз

.

Зрозуміло, що результатом лінійної комбінації є -вимірний вектор.

Введені поняття дозволяють зробити ще деякі види запису СЛР. Так, можна “зібрати” у -вимірний вектор коефіцієнти при змінних у якомусь рівнянні, а також і самі змінні:

.

Тоді ліві частини рівнянь з СЛР можна розглядати як скалярні добутки, і СЛР набуває вигляду:

Такий запис СЛР ми будемо називати першим векторним записом СЛР.

Можна утворити вектори з коефіцієнтів біля якоїсь однієї змінної в усіх рівняннях, а також з вільних членів; це будуть -вимірні вектори:

, , ….. .., , .

Тоді ліві частини рівнянь з СЛР утворять лінійну комбінацію векторів з коефіцієнтами , і СЛР набуде вигляду:

.

Такий запис СЛР ми будемо називати другим векторним записом СЛР.

Ще однією формою запису СЛР — матричний запис СЛР, — дуже поширеною, зокрема, в математичній економіці, є така:

.

Тут — матриця коефіцієнтів біля змінних, а означає добуток матриці на вектор . Але детальніше ця форма запису СЛР буде розглянута пізніше, при розгляді елементів матричної алгебри.

8.3. Загальні теореми про множину розв’язків систем лінійних рівнянь.

Теорема 1. (Основна теорема про множину розв’язків СЛР). Кожна система лінійних рівнянь або не має розв’язків, або має лише один розв’язок, або має безліч розв’язків.

Еквівалентне формулювання:множина розв’язків будь-якої СЛР може бути або порожньою, або містити в точності один елемент, або мати нескінченно багато елементів.

Доведення. Нехай маємо СЛР

Для спрощення доведення використаємо перший векторний запис СЛР (запис СЛР через скалярний добуток):

Припустимо, що вектори і є розв’язками розв’язаної СЛР. Візьмемо деяке довільне число і утворимо п–вимірний вектор . Покажемо, що також є розв’язком даної СЛР. Підставимо замість в перше рівняння:

.

Користуючись властивостями скалярного добутку, які є такими самими як в і , тобто однорідністю і аддитивністю, отримаємо:

Тобто задовольняє перше рівняння СЛР при будь-якому .

Так само задовольняє кожне з рівнянь системи і значить є розв’язком даної СЛР. Таких розв’язків нескінченно багато, оскільки їх стільки ж, скільки дійсних чисел . Теорему доведено.

Друга основна теорема стосується однорідних СЛР, тобто таких, в яких усі вільні члени дорівнюють 0:

Теорема 2. (Основна теорема про множину розв’язків однорідної СЛР).

Множина розв’язків будь-якої однорідної СЛР замкнена відносно операцій множення розв’язку на число і додавання розв’язків (інакше кажучи, якщо довільний розв’язок однорідної СЛР помножити на довільне число, то отримаємо також розв’язок цієї однорідної СЛР; якщо додати два довільні розв’язки однорідної СЛР, то отримаємо також розв’язок цієї однорідної СЛР).

Д о в е д е н н я. Використаємо, як і при доведенні теореми 1, перший векторний запис СЛР. Нехай — довільний розв’язок СЛР, — довільне дійсне число. Доведемо, що -вимірний вектор

є також розв’язком цієї однорідної СЛР. Для цього, за означенням розв’язку, треба пересвідчитись, що -вимірний вектор задовольняє кожне рівняння СЛР. Показуємо це на прикладі першого рівняння. За властивістю однорідності операції множення -вимірних векторів відносно множення векторів-множників на число

.

Аналогічно доводимо, що сума будь-яких двох розв’язків також є розв’язком; відмінність буде лише в тому, що потрібно скористатись властивістю адитивності операції скалярного множення -вимірних векторів:

Теорему 2 доведено.

Третя основна теорема виявляє зв’язок між множинами розв’язків неоднорідної і відповідної їй однорідної СЛР. Якщо в неоднорідній СЛР (а це є така СЛР, в якої хоча б один вільний член відмінний від 0) замінити всі вільні члени на 0, то отримана однорідна СЛР буде називатися відповідною початковій неоднорідній СЛР:

Неоднорідна СЛР Відповідна однорідна СЛР

Введемо ще такі позначення:

S_н – множина розв’язків неоднорідної СЛР,

S_о – множина розв’язків відповідної однорідної СЛР.

Теорема 3. (Основна теорема про множину розв’язків неоднорідної СЛР).

Будь –який розв’язок неоднорідної СЛР може бути отриманий додаванням до довільного фіксованого частинного розв’язку цієї неоднорідної СЛР деякого відповідного частинного розв’язку відповідної однорідної СЛР (інакше кажучи, якщо – деякий довільний фіксований частинний розв’язок неоднорідної СЛР, то

S_н = S_о + ;

останню рівність можна прокоментувати так: множина розв’язків неоднорідної СЛР може бути отримана зсувом множини розв’язків відповідної однорідної СЛР на будь-який її фіксований частинний розв’язок).

Д о в е д е н н я. Спочатку покажемо, що сума будь-якого розв’язку неоднорідної СЛР і будь-якого розв’язку відповідної однорідної СЛР неодмінно буде розв’язком неоднорідної СЛР. Отже, нехай – деякий довільний (частинний) розв’язок неоднорідної СЛР, а – деякий довільний (частинний) розв’язок відповідної однорідної СЛР. Візьмемо їх суму: і покажемо, що вектор є розв’язком неоднорідної СЛР, підставивши його в кожне рівняння СЛР. Як і при доведенні попередніх теорем, за абсолютною однаковістю дій щодо кожного з рівнянь, обмежимось підстановкою в перше рівняння. Використовуючи відповідну властивість операції скалярного множення -вимірних векторів (Вправа: вказати, яку саме властивість використано), маємо:

.

А тепер покажемо, що і навпаки, для кожного частинного розв’язку неоднорідної СЛР неодмінно знайдеться такий частинний розв’язок відповідної однорідної СЛР, що можна отримати як суму: . Дійсно, якщо взяти за різницю , то цей -вимірний вектор буде розв’язком однорідної СЛР (Вправа: переконатись у цьому самостійно). Але ж , що і треба було довести.

Теорему 3 доведено.