9.2. Підпростори лінійних векторних просторів.

Приклад того, що називають підпростором вже з’явився при розгляді однорідних систем лінійних рівнянь (див. §8). Це буде зрозуміло одразу, як тільки ми дамо загальне означення підпростору.

Означення (підпростору лінійного векторного простору).

Нехай – деякий лінійний векторний простір. Підмножина називається підпростором , якщо вона замкнена відносно операцій множення векторів на число і додавання векторів, визначених в , тобто, якщо застосування цих операцій до елементів з дає знову елемент з :

,

.

Тепер можна так переформулювати основну теорему про множину розв’язків однорідної СЛР:

Теорема. Множина розв’язків однорідної системи лінійних рівнянь є підпростором n –вимірного лінійного векторного простору (тут n – кількість невідомих).

В п. 9.1. наведені приклади векторних просторів. Підпростором простору M_mn усіх прямокутних матриць розмірів m х n є, наприклад, множина трапецієвидних (відносно головної діагоналі) матриць, тобто матриць виду:

.

Інші приклади підпросторів: множина всіх многочленів є підпростором простору всіх функцій; множина многочленів степеня не вище є підпростором простору многочленів степеня не вище .

За нашою традицією, звернімось до витоків – до аналітичної геометрії. Відповідь на питання, що є підпросторами координатної площини і координатного простору дають теореми:

Теорема. (про підпростори в ℝ²).

Підпростори в ℝ² вичерпуються такими множинами:

1. уся координатна площина;

2. множина, яка складається з одного-єдиного нуль-вектора (початку координат);

3. будь-яка пряма, що проходить через початок координат.

Вправа. Довести теорему про підпростори в ℝ².

Теорема. (про підпростори в ℝ³).

Підпростори в ℝ³ вичерпуються такими множинами:

1. весь координатний простір;

2. множина, яка складається з одного-єдиного нуль-вектора (початку координат);

3. будь-яка пряма, що проходить через початок координат;

4. будь-яка площина, що проходить через початок координат.

Вправа. Довести теорему про підпростори в ℝ³.

Деякі інші приклади підпросторів, а також підмножин, які не є підпросторами, надає

Вправа. З’ясувати, чи є підпросторами такі множини n–вимірних векторів:

1)усі вектори, координати яких задовольняють рівняння

;

2) усі вектори, координати яких задовольняють рівняння

;

3) усі вектори, координати яких є цілими числами;

4) усі вектори, у яких перша і остання координати рівні між собою;

5) усі вектори, в яких координати з парними номерами дорівнюють нулю;

6) усі вектори, в яких координати з парними номерами рівні між собою;

7) усі вектори виду , де – довільні числа.

9.3. Геометрія лінійних векторних просторів.

Обґрунтоване і мотивоване використання геометричних термінів для назв абстрактних об’єктів дозволяє нам немов би „побачити” ці об’єкти, зробити їх не такими страшними для користування, зменшує психологічний бар’єр перед ними.

У підручниках з лінійної алгебри читаємо: елементи п–вимірного простору називаються векторами або точками. Чому допущена така неоднозначність? Це пояснюється тим, що в аналітичній геометрії існує взаємно однозначна відповідність між точками та їх радіус-векторами, причому така, що операціям над точками відповідають операції над векторами і навпаки. Це є конкретним проявом ізоморфізму – алгебраїчної нерозрізнимості якихось об’єктів; це обставина тієї ж природи, що і нерозрізнимість аналітичною геометрією однакових за довжиною та напрямком паралельних векторів.

В аналітичній геометрії ми вивели формулу для обчислення довжини вектора за його координатами, ця формула є наслідком теореми Піфагора:

,

.

Обидві формули виражаються одним і тим самим словесним правилом: довжина вектора дорівнює кореню квадратному з суми квадратів його координат. Це правило ми беремо без будь-яких змін для означення довжини п-вимірного вектора, називаючи, однак, цю абстрактну „довжину” спеціальним терміном „норма”: нормою п-вимірного вектора називається число, що дорівнює кореню квадратному з суми квадратів його координат:

.

Згадаємо аналітичні задання кола, круга, сфери і кулі:

коло – це геометричне місце точок (ГМТ), рівновіддалених від фіксованої точки – центра кола, отже, коло (на координатній площині) – це ГМТ, які задовольняють рівняння

(канонічне рівняння кола з центром у точці і радіусом );

круг – це ГМТ, віддалених від фіксованої точки – центра круга на відстань, що не перевищує задану, отже, круг (на координатній площині) – це ГМТ, які задовольняють нерівність

;

сфера – це геометричне місце точок (ГМТ), рівновіддалених від фіксованої точки – центра сфери, отже, сфера (в координатному просторі) – це ГМТ, які задовольняють рівняння

(канонічне рівняння сфери з центром у точці і радіусом );

куля – це ГМТ, віддалених від фіксованої точки – центра кулі на відстань, що не перевищує задану, отже, куля (в координатному просторі) – це ГМТ, які задовольняють нерівність

.

Узагальненням понять кола і сфери є поняття гіперсфери, а понять круга і кулі – поняття гіперкулі:

гіперсферою в п-вимірному просторі з центром у точці і радіусом зветься множина розв’язків рівняння

,

або, у векторному вигляді,

де – вектор змінних;.

гіперкулею в п-вимірному просторі (з центром у точці і радіусом ) зветься множина розв’язків нерівності

,

або, у векторному вигляді,

.

Узагальнимо тепер поняття прямої і площини. Згадаємо:

• загальне рівняння прямої на координатній площині

;

• загальне рівняння площини в координатному просторі

.

Гіперплощиною в п-вимірному просторі зветься множина розв’язків лінійного рівняння

(отже, при гіперплощина - це пряма в , а при гіперплощина - це площина в ).

Півпростором п-вимірного простору зветься множина розв’язків лінійної нерівності

.

Канонічне рівняння прямої, що проходить через дві задані точки і , пряма лежить на координатній площині:

;

Канонічне рівняння прямої, що проходить через дві задані точки і , пряма розташована в координатному просторі:

.

Гіперпрямою в п-вимірному просторі , яка визначається двома точками і зветься множина розв’язків рівняння

.

Теорема (про пряму лінію).

Нехай задані точки і , які належать . Тоді пряму лінію, яка проходить через , складають точки вигляду: .

Тепер згадаємо операцію скалярного множення векторів. Одним з означень цієї операції є таке: скалярним добутком двох векторів називається число, що дорівнює добуткові довжин цих векторів на косинус кута між ними. Це означення стосується „звичайних” векторів, тобто векторів на площині або в просторі. Безпосередньо з цього означення випливає критерій ортогональності (перпендикулярності) двох векторів: два вектори є ортогональними тоді і тільки тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює нулю. Завдяки цьому критерію на скалярний добуток в аналітичній геометрії покладена „місія” „відповідати за ортогональність векторів”. Узагальнення поняття скалярного добутку для п-вимірних векторів здійснюється через посередництво правила обчислення скалярного добутку через координати векторів – правило координатного подання: скалярний добуток двох векторів дорівнює сумі добутків відповідних (одноіменних) координат. Саме це правило береться за означення скалярного добутку п-вимірних векторів, і тепер ми можемо вже говорити про ортогональність п-вимірних векторів. Але скалярний добуток п-вимірних векторів дозволяє виконати ще більш тонке узагальнення, а саме ввести поняття кута між двома п-вимірними векторами. Для коректного (в математичному розумінні) здійснення такого узагальнення потрібна теорема:

Теорема. (Нерівність Коші-Буняковського).

Для будь-яких п-вимірних векторів і має місце нерівність

(або, в розгорнутому вигляді),

Д о в е д е н н я.

Нехай є довільні п-вимірні вектори і . Позначимо через змінну числову (скалярну) величину і розглянемо скалярний квадрат (тобто, за означенням, скалярний добуток вектора самого на себе):

.

Це є скалярна (числова) змінна.

Розкриваючи дужки і користуючись при цьому властивостями скалярного добутку, отримуємо алгебраїчний вираз:

Скалярний квадрат будь-якого п-вимірного вектора, тобто скалярний добуток вектора самого на себе, за означенням скалярного добутку („сума добутків відповідних координат”), є невід’ємне число (воно дорівнює 0 тоді і тільки тоді, коли це скалярний квадрат 0-вимірного вектора, що має лише нульові координати). Отже, ми отримали квадратний тричлен , який при будь-яких значеннях набуває лише невід’ємних значень. Це можливо тоді і тільки тоді, коли дискримінант цього квадратного тричлена , тобто:

Нерівність трикутника – це те, що „пересічні громадяни” чи не найчастіше застосовують у повсякденному житті: кожного разу, як ми „зрізаємо кути” і прокладаємо стежки по газонах, ми спираємось на нерівність трикутника, тому що найкоротший шлях є шлях по прямій. Звернімось до векторної алгебри для аналізу цього постулату.

У виконаних перетвореннях ми скористалися нерівністю Коші-Буняковського , яка є справедливою для векторів будь-якої розмірності. Корисно ще згадати „правило трикутника”, за яким визначається сума двох векторів, і тоді ми отримуємо векторну форму нерівності трикутника:

.

Її називають нерівністю трикутника у п-вимірних просторах (пам’ятаємо: п-вимірні вектори = точки п-вимірного простору):

ℝ^п .

Визначимо кут між п-вимірними векторами через посередництво тригонометричної функції косинуса. В аналітичній геометрії ми встановили такий вираз щодо скалярного добутку („звичайних”) векторів: , де – кут між векторами і . Для –вимірних векторів скалярний добуток вже введений, а поняття кута, природньо, ні. Нерівність Коші-Буняковського дозволяє коректно ввести поняття кута через посередництво косинуса:

ℝ^п .

Тепер ми, наприклад, маємо всі підстави казати: п-вимірні вектори а і b ортогональні тоді і тільки тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює 0. Також тепер коректним буде стверджувати, що коефіцієнти у рівнянні гіперплощини у п-вимірному просторі є координатами нормального (п-вимірного) вектора цієї гіперплощини (тобто, вектора, ортогонального до гіперплощини):

.