- •Оглавление
- •1) Исследователь вносит гипотезу о структуре ящика
- •2) Определение неизвестных коэффициентов a0 и a1 модели
- •3) Проверка
- •Линейная множественная модель
- •Звено первого порядка
- •Звено второго порядка (колебательное звено)
- •1. Линейный коэффициент корреляции
- •3. Коэффициент корреляции двух динамических рядов
- •4. Корреляция внутри динамического ряда
- •5. Поиск периодичности ряда
- •7. Связь двух признаков
- •Аналитический способ решения задачи 1
- •Численный способ решения задачи 1
- •Формально-математический способ
- •Методы Рунге-Кутты третьего и четвертого порядков
- •Метод Эйлера с итерациями
- •Метод Милна
- •Уравнение диффузии
- •Уравнение тепломассопереноса
- •Задача анализа (прямая задача)
- •Задача синтеза (обратная задача)
- •Тренажеры
- •Метод Монте-Карло
- •Моделирование случайного события
- •Моделирование полной группы несовместных событий
- •Метод ступенчатой аппроксимации
- •Метод усечения
- •Метод взятия обратной функции
- •Свойства нормального распределения
- •Табличный метод генерации нормально распределенных чисел
- •Метод генерации нормально распределенных чисел, использующий центральную предельную теорему
- •Метод Мюллера
- •Биномиальное распределение
- •Нормальное распределение
- •Распределение Пуассона
- •Пуассоновский поток
- •Моделирование неординарных потоков событий
- •Моделирование нестационарных потоков событий
- •Анализ временной диаграммы
- •Синтез смо
- •Принцип Δt
- •Особенности реализации принципа Δt
- •Принцип особых состояний
- •Принцип последовательной проводки заявок
- •Объектный принцип моделирования
- •Марковский процесс с дискретным временем
- •Марковские случайные процессы с непрерывным временем
- •Вычисление средних
- •Вычисление геометрии распределения
- •Оценка (по Колмогорову) совпадения эмпирического закона распределения с теоретическим
- •Оценка точности статических характеристик
- •Голосование
- •Ранжирование
- •Точность и доверие к результатам экспертизы. Оценка экспертов
- •Практика № 01. Регрессионные модели
- •1Решение задачи регрессионного анализа
Моделирование случайного события
Начнем с самого простого. Используем наше умение генерировать случайные числа для имитации выпадения случайных событий.
Случайное событие подразумевает, что у некоторого события есть несколько исходов и то, который из исходов произойдет в очередной раз, определяется только его вероятностью. То есть исход выбирается случайно с учетом его вероятности.
Например, допустим, что нам известна вероятность выпуска бракованных изделий Pб = 0.1. Смоделировать выпадение этого события можно, разыграв равномерно распределенное случайное число из диапазона от 0 до 1 и установив, в какой из двух интервалов (от 0 до 0.1 или от 0.1 до 1) оно попало (см. рис. 23.1). Если число попадает в диапазон (0; 0.1), то выпущен брак, то есть событие произошло, иначе — событие не произошло (выпущено кондиционное изделие). При значительном числе экспериментов частота попадания чисел в интервал от 0 до 0.1 будет приближаться к вероятности P = 0.1, а частота попадания чисел в интервал от 0.1 до 1 будет приближаться к Pк = 0.9.
|
||
Рис. 23.1. Схема использования генератора случайных чисел для имитации случайного события |
Фрагмент алгоритма представлен на рис. 23.2.
|
||
Рис. 23.2. Блок-схема алгоритма имитации случайного события |
Заметим, что не важно, как вы расположите на отрезке [0; 1] интервал Pб — в начале или в конце, поскольку метод Монте-Карло учитывает только частоту попадания случайных точек в интервал, а она зависит только от величины интервала и не зависит от его месторасположения.
Моделирование полной группы несовместных событий
События называются несовместными, если вероятность появления этих событий одновременно равна 0. Отсюда следует, что суммарная вероятность группы несовместных событий равна 1.
Обозначим через a1, a2, …, an события, а через P1, P2, …, Pn — вероятности появления отдельных событий.
Так как события несовместны, то сумма вероятностей их выпадения равна 1: P1 + P2 + … + Pn = 1.
Снова используем для имитации выпадения одного из событий генератор случайных чисел, значение которых также всегда находится в диапазоне от 0 до 1. Отложим на единичном интервале [0; 1] отрезки P1, P2, …, Pn. Понятно, что в сумме отрезки составят точно единичный интервал. Точка, соответствующая выпавшему числу из ГСЧ на этом интервале, укажет на один из отрезков. Соответственно в большие отрезки случайные числа будут попадать чаще (вероятность появления этих событий больше!), в меньшие отрезки — реже (см. рис. 23.3).
|
||
Рис. 23.3. Схема генерации несовместных случайных событий с помощью генератора случайных чисел |
На рис. 23.4 показана блок-схема, которая реализует описанный алгоритм. Алгоритм определяет с помощью фильтра, построенного в виде последовательности условных операций (IF), в какой из интервалов — от 0 до P1, от P1 до (P1 + P2), от (P1 + P2) до (P1 + P2 + P3) и так далее — попало число, сгенерированное генератором случайных чисел. Если число попало в какой-то из интервалов (что произойдет всегда и обязательно), то это соответствует выпадению связанного с ним события.
|
||
Рис. 23.4. Блок-схема алгоритма имитации случайных несовместных событий |
Пример с возможным исходом четырех несовместных случайных событий.
Промоделируем выпадение последовательности событий — будем выбирать из колоды карт наугад карту (определять ее масть). Карты в колоду возвращать не будем.
В колоде 36 карт четырех мастей по 9 карт каждой масти. Интервал от 0 до 1 разделим на равные четыре части: [0.00—0.25], [0.25—0.50], [0.50—0.75], [0.75—1.00]. Первая часть будет соответствовать картам масти червей (Ч), вторая — картам масти пик (П), третья — картам масти виней (В), четвертая — бубей (Б).
Взять случайное равномерно распределенное число в интервале от 0 до 1 из таблицы случайных чисел или стандартного ГСЧ. Пусть, например, это будет число 0.597. Данное число попадает в третий интервал, соответствующий масти В. Произошло случайное событие: «Масть выпавшей карты — В».
Поскольку теперь в колоде 9 карт масти Ч, 9 карт масти П, 8 карт масти В, 9 карт масти Б, то интервал от 0 до 1 будет разбит на отрезки длиной: 9/35, 9/35, 8/35, 9/35, то есть [0.000—0.257], [0.257—0.514], [0.514—0.743], [0.743—1.000]. Разыграем случайное равномерно распределенное число в интервале от 0 до 1. Например, 0.321. Данное число попадает во второй интервал, соответствующий масти П.
Продолжая процесс, можно получить (в зависимости от конкретных случайных чисел), например, такую последовательность: В—П—В—Ч—Б—П—Ч—… (в качестве иллюстрации см. рис. 23.5).
|
||
Рис. 23.5. Иллюстрация работы генератора случайных чисел на примере выбора карт из колоды |
Лекция 24. Моделирование случайной величины с заданным законом распределения
Большей информативностью, по сравнению с такими статистическими характеристиками как математическое ожидание, дисперсия, для инженера обладает закон распределения вероятности случайной величины X. Представим, что X принимает случайные значения из некоторого диапазона. Например, X — диаметр вытачиваемой детали. Диаметр может отклоняться от запланированного идеального значения под влиянием различных факторов, которые нельзя учесть, поэтому он является случайной слабо предсказуемой величиной. Но в результате длительного наблюдения за выпускаемыми деталями можно отметить, сколько деталей из 1000 имели диаметр X1 (обозначим NX1), сколько деталей имели диаметр X2 (обозначим NX2) и так далее. В итоге можно построить гистограмму частости диаметров, откладывая для X1 величину NX1/1000, для X2 величину NX2/1000 и так далее. (Обратите внимание, если быть точным, NX1 — это число деталей, диаметр которых не просто равен X1, а находится в диапазоне от X1 – Δ/2 до X1 + Δ/2, где Δ = X1 – X2). Важно, что сумма всех частостей будет равна 1 (суммарная площадь гистограммы неизменна). Если X меняется непрерывно, опытов проведено очень много, то в пределе N –> ∞ гистограмма превращается в график распределения вероятности случайной величины. На рис. 24.1, а показан пример гистограммы дискретного распределения, а на рис. 24.1, б показан вариант непрерывного распределения случайной величины.
|
||
Рис. 24.1. Сравнение дискретного и непрерывного законов распределения случайной величины |
В нашем примере закон распределения вероятности случайной величины показывает насколько вероятно то или иное значение диаметра выпускаемых деталей. Случайной величиной является диаметр детали.
В производстве и технике часто такие законы распределения заданы по условию задачи. Наша задача сейчас состоит в том, чтобы научиться имитировать появление конкретных случайных событий согласно вероятностям такого распределения.