- •Оглавление
- •1) Исследователь вносит гипотезу о структуре ящика
- •2) Определение неизвестных коэффициентов a0 и a1 модели
- •3) Проверка
- •Линейная множественная модель
- •Звено первого порядка
- •Звено второго порядка (колебательное звено)
- •1. Линейный коэффициент корреляции
- •3. Коэффициент корреляции двух динамических рядов
- •4. Корреляция внутри динамического ряда
- •5. Поиск периодичности ряда
- •7. Связь двух признаков
- •Аналитический способ решения задачи 1
- •Численный способ решения задачи 1
- •Формально-математический способ
- •Методы Рунге-Кутты третьего и четвертого порядков
- •Метод Эйлера с итерациями
- •Метод Милна
- •Уравнение диффузии
- •Уравнение тепломассопереноса
- •Задача анализа (прямая задача)
- •Задача синтеза (обратная задача)
- •Тренажеры
- •Метод Монте-Карло
- •Моделирование случайного события
- •Моделирование полной группы несовместных событий
- •Метод ступенчатой аппроксимации
- •Метод усечения
- •Метод взятия обратной функции
- •Свойства нормального распределения
- •Табличный метод генерации нормально распределенных чисел
- •Метод генерации нормально распределенных чисел, использующий центральную предельную теорему
- •Метод Мюллера
- •Биномиальное распределение
- •Нормальное распределение
- •Распределение Пуассона
- •Пуассоновский поток
- •Моделирование неординарных потоков событий
- •Моделирование нестационарных потоков событий
- •Анализ временной диаграммы
- •Синтез смо
- •Принцип Δt
- •Особенности реализации принципа Δt
- •Принцип особых состояний
- •Принцип последовательной проводки заявок
- •Объектный принцип моделирования
- •Марковский процесс с дискретным временем
- •Марковские случайные процессы с непрерывным временем
- •Вычисление средних
- •Вычисление геометрии распределения
- •Оценка (по Колмогорову) совпадения эмпирического закона распределения с теоретическим
- •Оценка точности статических характеристик
- •Голосование
- •Ранжирование
- •Точность и доверие к результатам экспертизы. Оценка экспертов
- •Практика № 01. Регрессионные модели
- •1Решение задачи регрессионного анализа
Нормальное распределение
Если изобразить величины P0, P1, P2, P3, …, P10, которые мы подсчитали в примере 3, на графике, то окажется, что их распределение имеет вид, близкий к нормальному закону распределения (см. рис. 27.1) (см. лекцию 25. Моделирование нормально распределенных случайных величин).
|
||
Рис. 27.1. Вид биномиального распределения вероятностей для различных m при p = 0.8, n = 10 |
Биномиальный закон переходит в нормальный, если вероятности появления и непоявления события A примерно одинаковы, то есть, условно можно записать: p ≈ (1 – p). Для примера возьмем n = 10 и p = 0.5 (то есть p = 1 – p = 0.5).
Содержательно к такой задаче мы придем, если, например, захотим теоретически посчитать, сколько будет мальчиков и сколько девочек из 10 родившихся в роддоме в один день детей. Точнее, считать будем не мальчиков и девочек, а вероятность, что родятся только мальчики, что родится 1 мальчик и 9 девочек, что родится 2 мальчика и 8 девочек и так далее. Примем для простоты, что вероятность рождения мальчика и девочки одинакова и равна 0.5 (но на самом деле, если честно, это не так, см. курс «Моделирование систем искусственного интеллекта»).
Ясно, что распределение будет симметричное, так как вероятность рождения 3 мальчиков и 7 девочек равна вероятности рождения 7 мальчиков и 3 девочек. Наибольшая вероятность рождения будет у 5 мальчиков и 5 девочек. Эта вероятность равна 0.25, кстати, не такая уж она и большая по абсолютной величине. Далее, вероятность того, что родится сразу 10 или 9 мальчиков намного меньше, чем вероятность того, что родится 5 ± 1 мальчик из 10 детей. Как раз биномиальное распределение нам поможет сделать этот расчет. Итак.
C100 = 1, C101 = 10, C102 = 45, C103 = 120, C104 = 210, C105 = 252, C106 = 210, C107 = 120, C108 = 45, C109 = 10, C1010 = 1;
P0 = 1 · 0.50 · (1 – 0.5)10 – 0 = 1 · 1 · 0.510 = 0.000977…; P1 = 10 · 0.51 · (1 – 0.5)10 – 1 = 10 · 0.510 = 0.009766…; P2 = 45 · 0.52 · (1 – 0.5)10 – 2 = 45 · 0.510 = 0.043945…; P3 = 120 · 0.53 · (1 – 0.5)10 – 3 = 120 · 0.510 = 0.117188…; P4 = 210 · 0.54 · (1 – 0.5)10 – 4 = 210 · 0.510 = 0.205078…; P5 = 252 · 0.55 · (1 – 0.5)10 – 5 = 252 · 0.510 = 0.246094…; P6 = 210 · 0.56 · (1 – 0.5)10 – 6 = 210 · 0.510 = 0.205078…; P7 = 120 · 0.57 · (1 – 0.5)10 – 7 = 120 · 0.510 = 0.117188…; P8 = 45 · 0.58 · (1 – 0.5)10 – 8 = 45 · 0.510 = 0.043945…; P9 = 10 · 0.59 · (1 – 0.5)10 – 9 = 10 · 0.510 = 0.009766…; P10 = 1 · 0.510 · (1 – 0.5)10 – 10 = 1 · 0.510 = 0.000977…
Разумеется, P0 + P1 + P2 + P3 + P4 + P5 + P6 + P7 + P8 + P9 + P10 = 1.
Отразим на графике величины P0, P1, P2, P3, …, P10 (см. рис. 27.2).
|
||
Рис. 27.2. График биномиального распределения при параметрах p = 0.5 и n = 10, приближающих его к нормальному закону |
Итак, при условиях m ≈ n/2 и p ≈ 1 – p или p ≈ 0.5 вместо биномиального распределения можно использовать нормальное. При больших значениях n график сдвигается вправо и становится все более пологим, так как математическое ожидание и дисперсия возрастают с увеличением n: M = n · p, D = n · p · (1 – p).
Кстати, биномиальный закон стремится к нормальному и при увеличении n, что вполне естественно, согласно центральной предельной теореме (см. лекцию 34. Фиксация и обработка статистических результатов).
Теперь рассмотрим, как изменится биномиальный закон в случае, когда p ≠ q, то есть p –> 0. В этом случае применить гипотезу о нормальности распределения нельзя, и биномиальное распределение переходит в распределение Пуассона.