- •Оглавление
- •1) Исследователь вносит гипотезу о структуре ящика
- •2) Определение неизвестных коэффициентов a0 и a1 модели
- •3) Проверка
- •Линейная множественная модель
- •Звено первого порядка
- •Звено второго порядка (колебательное звено)
- •1. Линейный коэффициент корреляции
- •3. Коэффициент корреляции двух динамических рядов
- •4. Корреляция внутри динамического ряда
- •5. Поиск периодичности ряда
- •7. Связь двух признаков
- •Аналитический способ решения задачи 1
- •Численный способ решения задачи 1
- •Формально-математический способ
- •Методы Рунге-Кутты третьего и четвертого порядков
- •Метод Эйлера с итерациями
- •Метод Милна
- •Уравнение диффузии
- •Уравнение тепломассопереноса
- •Задача анализа (прямая задача)
- •Задача синтеза (обратная задача)
- •Тренажеры
- •Метод Монте-Карло
- •Моделирование случайного события
- •Моделирование полной группы несовместных событий
- •Метод ступенчатой аппроксимации
- •Метод усечения
- •Метод взятия обратной функции
- •Свойства нормального распределения
- •Табличный метод генерации нормально распределенных чисел
- •Метод генерации нормально распределенных чисел, использующий центральную предельную теорему
- •Метод Мюллера
- •Биномиальное распределение
- •Нормальное распределение
- •Распределение Пуассона
- •Пуассоновский поток
- •Моделирование неординарных потоков событий
- •Моделирование нестационарных потоков событий
- •Анализ временной диаграммы
- •Синтез смо
- •Принцип Δt
- •Особенности реализации принципа Δt
- •Принцип особых состояний
- •Принцип последовательной проводки заявок
- •Объектный принцип моделирования
- •Марковский процесс с дискретным временем
- •Марковские случайные процессы с непрерывным временем
- •Вычисление средних
- •Вычисление геометрии распределения
- •Оценка (по Колмогорову) совпадения эмпирического закона распределения с теоретическим
- •Оценка точности статических характеристик
- •Голосование
- •Ранжирование
- •Точность и доверие к результатам экспертизы. Оценка экспертов
- •Практика № 01. Регрессионные модели
- •1Решение задачи регрессионного анализа
Табличный метод генерации нормально распределенных чисел
Для этого нормальное число можно взять из справочника в таблице функции Лапласа и получить случайное число по методу взятия обратной функции (см. лекцию 24): x = F–1(r), где F — интегральная функция Лапласа.
Технически это означает, что надо разыграть случайное равномерно распределенное число r из интервала [0; 1] стандартным ГСЧ (см. таблицу абсолютно случайных проверенных чисел), найти равное ему число в таблице значений функции Лапласа в столбце F и по строке определить случайную величину x, соответствующую этому числу.
Недостатком метода является необходимость хранения в памяти компьютера всей таблицы чисел функции Лапласа.
Метод генерации нормально распределенных чисел, использующий центральную предельную теорему
Общая идея метода следующая: требуется сложить случайные числа с любым законом распределения, нормализовать их и перевести в нужный диапазон нормального распределения.
Допустим, что нам надо в целях имитации получить ряд случайных чисел x, распределенных по нормальному закону с заданными математическим ожиданием mx и среднеквадратичным отклонением σx.
Сложим n случайных чисел, используя стандартный ГСЧ:
Согласно ЦПТ числа V образуют ряд значений, распределенный по нормальному закону. Эти числа тем лучше описывают нормальный закон, чем больше параметр n. На практике n берут равными 6 или 12. Заметим, что закон распределения чисел V имеет математическое ожидание mV = n/2, σV = sqrt(n/12). Поэтому он является смещенным относительно заданного произвольного.
С помощью формулы z = (V – mV)/σV нормализуем этот ряд. Получим нормализованный закон нормального распределения чисел Z. То есть mz = 0, σz = 1.
Формулой (сдвиг на mx и масштабирование на σx) преобразуем ряд Z в ряд x: x = z · σx + mx.
Пример. Смоделировать поток заготовок для обработки их на станке. Известно, что длина заготовки колеблется случайным образом. Средняя длина заготовки составляет 35 см, а среднеквадратичное отклонение реальной длины от средней составляет 10 см. То есть по условиям задачи mx = 35, σx = 10. Тогда значение случайной величины будет рассчитываться по формуле: V = r1 + r2 + r3 + r4 + r5 + r6, где r — случайные числа из ГСЧрр [0; 1], n = 6. X = σx · (sqrt(12/n) · (V – n/2)) + mx = 10 · sqrt(2) · (V – 3) + 35 или X = 10 · sqrt(2) · ((r1 + r2 + r3 + r4 + r5 + r6) – 3) + 35.
Метод Мюллера
Совсем простым методом получения нормальных чисел является метод Мюллера, использующий формулы: Z = √(–2 · Ln(r1)) · cos(2π · r2), где r1 и r2 — случайные числа из ГСЧрр [0; 1].
Можно также воспользоваться аналогичной формулой Z = √(–2 · Ln(r1)) · sin(2π · r2), где r1 и r2 — случайные числа из ГСЧрр [0; 1].
Пример. Материал поступает в цех один раз в сутки по 10 штук сразу. Расход материала из цеха случайный по нормальному закону с математическим ожиданием m = 10 и среднеквадратичным отклонением σ = 3.5. Вычислить вероятность дефицита на складе при запасе материала в начальный момент времени 20 штук.
При реализации в среде моделирования Stratum решение задачи будет выглядеть следующим образом.
|
|
Лекция 26. Моделирование системы случайных величин
Часто на практике встречаются системы случайных величин, то есть такие две (и более) различные случайные величины X, Y (и другие), которые зависят друг от друга. Например, если произошло событие X и приняло какое-то случайное значение, то событие Y происходит хотя и случайно, но с учетом того, что X уже приняло какое-то значение.
Например, если в качестве X выпало большое число, то Y должно выпасть тоже достаточно большое число (если корреляция положительна). Весьма вероятно, что если человек имеет большой вес, то он, скорее всего, будет и большого роста. Хотя это НЕ ОБЯЗАТЕЛЬНО, это НЕ ЗАКОНОМЕРНОСТЬ, а корреляция случайных величин. Так как бывают, хотя и редко, люди с большим весом, но небольшого роста или с маленьким весом и высокие. И все таки основная масса тучных людей — высоки, а низких людей — имеют малый вес.
По определению, если случайные величины независимы, то f(x) = f(x1) · f(x2) · … · f(xn).
|
Если случайные величины зависимы, то f(x) = f(x1) · f(x2 | x1) · f(x3 | x2, x1) · … · f(xn | xn – 1, xn – 2, …, x2, x1).
|
Пусть, к примеру, имеется два зависимых события — X и Y, распределенных по нормальному закону. X имеет математическое ожидание mx и среднеквадратическое отклонение σx. Y имеет математическое ожидание my и среднеквадратическое отклонение σy. Коэффициент корреляции — q — показывает, насколько тесно связаны события X и Y. Если коэффициент корреляции равен единице, то зависимость событий X и Y взаимно однозначная: одному значению X соответствует одно значение Y (см. рис. 26.1).
|
||
Рис. 26.1. Вид зависимости двух случайных величин при положительном коэффициенте корреляции (q=1) |
При q близких к единице возникает картина, показанная на рис. 26.2, то есть одному значению X могут соответствовать уже несколько значений Y (точнее, одно из нескольких значений Y, определяемое случайным образом); в этом случае события X и Y менее коррелированы, менее зависимы друг от друга.
|
||
Рис. 26.2. Вид зависимости двух случайных величин при положительном коэффициенте корреляции (0 < q < 1) |
И, наконец, когда коэффициент корреляции стремится к нулю, возникает ситуация, при которой любому значению X может соответствовать любое значение Y, то есть события X и Y не зависят или почти не зависят друг от друга, не коррелируют друг с другом (см. рис. 26.3).
|
||
Рис. 26.3. Вид зависимости двух случайных величин при коэффициенте корреляции близком к нулю (q –> 0) |
На всех графиках корреляция была принята положительной величиной. Если q < 0, то графики будут выглядеть так, как показано на рис. 26.4.
|
||
Рис. 26.4. Вид зависимости двух случайных величин при отрицательном коэффициенте корреляции a) q = –1; б) –1 < q < 0; в) q –> 0 |
На самом деле случайные события (X и Y) не могут принимать с равной вероятностью любые значения, как это имеет место на рис. 26.2. К примеру, в группе студентов не может быть людей сверхмалого или сверхбольшого роста; в основном, люди обладают неким средним ростом и разбросом вокруг этого среднего роста. Поэтому на одних участках оси X количество событий расположено гуще, на других — реже. (Плотность случайных событий, количество точек на графиках больше вблизи величин mx). То же самое верно и для Y. И тогда рис. 26.2 можно изобразить более точно, так, как показано на рис. 26.5.
|
||
Рис. 26.5. Иллюстрация системы случайных зависимых величин |
Для примера возьмем нормальное распределение, как самое распространенное. Математическое ожидание указывает на самые вероятные события, здесь число событий больше и график событий гуще. Положительная корреляция указывает (см. рис. 26.2), что большие случайные величины X вызывают к генерации большие Y. Отрицательная корреляция указывает (см. рис. 26.4), что большие случайные величины X стимулируют к генерации меньшие случайные величины Y. Нулевая и близкая к нулю корреляция показывает (см. рис. 26.3), что величина случайной величины X никак не связана с определенным значением случайной величины Y. Легко понять сказанное, если представить себе сначала распределения f(X) и f(Y) отдельно, а потом связать их в систему (см. рис. 26.6, рис. 26.7 и рис. 26.8).
|
||
Рис. 26.6. Генерация системы случайных величин при положительном коэффициенте корреляции |
|
||
Рис. 26.7. Генерация системы случайных величин при отрицательном коэффициенте корреляции |
|
||
Рис. 26.8. |
Пример реализации алгоритма моделирования двух зависимых случайных событий X и Y. Условие: допустим, что X и Y распределены по нормальному закону с соответствующими значениями mx, σx и my, σy. Задан коэффициент корреляции двух случайных событий q, то есть случайные величины X и Y зависимы друг от друга, Y не совсем случайно.
Тогда возможный алгоритм реализации модели будет следующим.
Разыгрывается шесть случайных равномерно распределенных на интервале [0; 1] чисел b1, b2, b3, b4, b5, b6; находится их сумма S: S = b1 + b2 + b3 + b4 + b5 + b6. Находится нормально распределенное случайное число x по следующей формуле: x = sqrt(2) · σx · (S – 3) + mx, см. лекцию 25.
По формуле my/x = my + q · σy/σx · (x – mx) находится математическое ожидание my/x (знак y/x означает, что y будет принимать случайные значения с учетом условия, что x уже принял какие-то определенные значения).
По формуле σy/x = σy · sqrt(1 – q2) находится среднеквадратическое отклонение σy/x (знак y/x означает, что y будет принимать случайные значения с учетом условия, что x уже принял какие-то определенные значения).
Разыгрывается шесть случайных равномерно распределенных на интервале [0; 1] чисел r1, r2, r3, r4, r5, r6; находится их сумма k: k = r1 + r2 + r3 + r4 + r5 + r6. Находится нормально распределенное случайное число y по следующей формуле: y = sqrt(2) · σy/x · (k – 3) + my/x
Лекция 27. Распределение Пуассона
Наиболее общим случаем различного рода вероятностных распределений является биномиальное распределение. Воспользуемся его универсальностью для определения наиболее часто встречающихся на практике частных видов распределений.