Аналитическая геометрия Информационный текст

1. Как приложение метода координат для определения местоположения точки, рассмот­рим такой пример.

Местоположение люка подземного кабеля или водопровода определяют координатами, нанесенными на табличку, укрепленную где-либо на видном месте, считая саму табличку началом координат (рис. 1). Это особенно удобно зимой, когда земля покрыта снегом и найти люк другим путем становится за­труднительно

На практике часто пользуются понятием уклона, для того чтобы охарактери­зовать положение прямой, т.е. степень ее наклона к горизонтальной плоскости. Так, профиль пути (шоссейного или железнодорожного) можно полностью охарак­теризовать указанием величины k и длиною участка, на котором k практически сохраняет постоянное значение. В пределах каждого такого участка путь считаем прямолинейным.

В качестве примера начертим профиль пути, определенный такими данными: к=0,12 на участке 0 — 2,0 км »

к=0,2 2,0-- 3,2 км

к=0,05 3,2-5,3-

к=0 5,3 км 7,2 км

к=-0,17 7,2-12,4 –

к=0,16 12,4 км - 15,0 км

Для того чтобы изобразить первый участок, т. е. провести прямую с уклоном откладываем от начала координат по оси х 100 произвольных единиц, в конце этого отрезка восставляем перпендикуляр высотою в 12 таких же единиц и полученную точку соединяем с началом. Другими словами, мы должны построить прямоугольный треугольник с катетами 100 и 12. Тогда его гипотенуза будет иметь уклон k = 0,12 по отношению к катету 100. Остальные участки строим аналогично. Весь профиль пути изображен на рис. 17, причем положитель­ным значениям k соответствуют подъемы, а отрицательным k — спуски. При k = 0 путь идет горизонтально.

Упражнения

1. Определить k, если известно, что точка, которая продвинулась на 500 м, получила превышение над начальной точкой, равное 7, —5 и 13,2 м.

2. Вычертить профиль пути, для которого

k = 0,18 на участке 0— 2 км

k = 0 » » 2—3 км

k = —0,13 » » 3—5 км

k = 0 » » 5 — 8 км

k = 0,07 » » 8— 12км

3. Угловой коэффициент показывает, что ежедневный доход увеличивается на 100 при росте объёма продаж на 1 единицу товара в день.

2. Построение эллипса. Применение эллипса в технике

Рассмотрим некоторые, наиболее простые способы построения эллипса.

Способ садовников. Закрепим в точках F и F две булавки и набро­сим на них петлю из нерастяжимой нити (рис.). Если теперь, натягивая нить при помощи карандаша, перемещать его, то нить принудит карандаш пройти только через те точки плоскости, сумма расстояний которых от двух задан­ных точек F и F постоянна (суммарная длина нити 2с постоянна, но расстояние 2с не изменяется, так что г + г = const).

С ледовательно, карандаш, замкнув свой путь, вычертит на бумаге эллипс. Этим способом обычно пользуются садовники при вычерчивании эллипсовидных клумб, откуда и произошло его название.

Два эллипса с равными полуосями (а' = а"; b' = b") посажены на оси, прохо­дящие соответственно через фокусы F' и F " первого и второго эллипсов. Совме­стное вращение двух тел возможно лишь в том случае, если сумма расстояний от осей вращения точек, которым надлежит войти в соприкосновение, постоянна и равна расстоянию между осями F' F " Если эта сумма больше F' F ", произойдет заклинение, если же она меньше F' F ", не насту­пит сцепление.

Это условие выполняется для двух кругов любых радиусов и, как легко убедиться, для двух одинаковых эллиптических колес а' = а"; b' = b", для которых в любой мо­мент вращения r' + r" = 2а' = 2а" = const. Но при вращении эллиптических колес, если увеличивается r' , то r" уменьшается, и наоборот. Так что, приведя в равномер­ное вращение колесо I, получим периодически ускоряющееся и замедляющееся вра­щение колеса II. Этим свойством эллиптических колес пользуются в станках (или других устройствах), где необходим медленный, но мощный рабочий ход и ус­коренный холостой ход, как, например, в строгальных и долбежных станках, в прессах и т. д.

Таким образом, определяется определённая роль эллиптических колес в строгальных станках, дыропробивочных прессах, формовочных машинах и дру­гих подобных механизмах.

Э ллиптический циркуль. На указанном принципе основан при­бор, называемый эллиптическим циркулем. В металлической доске (рис.) сделаны два прореза под прямым углом. В этих про резах ходят ползуны, к которым прикреплена шарнирами А и В линейка АВ. На линейке в любом ее месте при помощи муфты М может быть закреплен карандаш. Из предшествующих рассуждений следует, что при непрерывном передвижении линейки АВ острие карандаша будет описывать эллипс.

Патрон Леонардо-да-Винчи. Устройство патрона или станочка Леонардо-да-Винчи основано на обращении действии эллиптического циркуля: точки А, В и М закрепляются неподвижно, а крестовине вместе с прикрепленным к ней патpoном, в который закре­пляют обтачиваемую деталь, кидается движение; тогда, если в точке М закрепить резец, он будет обтачивать по эллипсу. Так точат эллиптические ко­леса, необходимые для неко­торых машин.

Практическое устройство патрона в основном следую­щее (черт. 146). На шпиндель токарного станка крепко наса­живается ползун А, а на не­которой горизонтальной оси, параллельной оси шпинделя, насаживается ползун В. При вращении шпинделя происходит вращение ползуна А и скольжение его в прорезе, отчего приходит в движение диск с прорезами, к которому с другой его стороны при помощи винтового зажима прикрепляется обта­чиваемая деталь С. Резец М зажат неподвижно в обычном супорте. Диск с прорезами и ползунами А и В и дополнительной осью, на которой наса­жен ползун В, и образует патрон Леонардо-да-Винчи. На практике, в целях уменьшения трения, ползун В заменяют двумя ползунами, связанными осо­бым кольцом.

Построение эллипса по фокусам и большой оси. В чертежную доску втыкаются в фокусах эллипса две кнопки, к этим кнопкам прикрепляются концы нитки. Тогда, если оттянуть ее кончиком карандаша и передвигать карандаш, держа все время нитку натянутой, то получится эллипс с данными фокусами, длина большой оси которого равна длине нитки. Конечно, если длина нитки равна расстоянию между фокусами (а не больше его, как мы неявно предполагали), то кончик карандаша опишет только отрезок между фокусами.