3. Парабола
Укажем простой прием, с помощью которого можно начертить параболу непрерывным движением.
Укрепим линейку так, чтобы ее край совместился с директрисой; приставим к этой линейке один из катетов угольника; к какой-либо точке другого катета прикрепим нить такой длины, чтобы при натяжении вдоль этого катета она кончалась в вершине С прямого угла; наконец, закрепим второй конец нити в фокусе (черт. 130). Если теперь вести угольник по линейке и вместе с тем натягивать нить острием М карандаша, прижимая ее к свободному катету, то острие это опишет часть параболы (тем большую, чем длиннее свободный катет и нить).
Действительно, очевидно, что все время будет
| MF | = | MС |.
Укажем другой прием, с помощью которого можно начертить параболу непрерывным движением.
Выбрав фокус параболы, построим директрису, Вдоль директрисы расположим линейку и приложим к ней угольник меньшим катетом (см. рис. 12). В конце катета АВ (точка А) закрепим нить, равную длине катета, и второй конец В нити закрепим в фокусе F. Натягивая карандашом нить, будем двигать угольник вдоль линейки. Показать, что в таком сочетании линейка с угольником может служить простейшим прибором для вычерчивания параболы.
Параболоид вращения
Д оказанное свойство касательной к параболе имеет очень важное значение, так как из него следует, что лучи, исходящие из фокуса вогнутого параболического зеркала, т. е. такого зеркала, поверхность которого получается от вращения параболы вокруг ее оси, отражаются параллельным пучком, а именно параллельно оси зеркала (рис).
Это свойство параболических зеркал применяется при устройстве прожекторов, в фарах любого автомобиля, а также в зеркальных телескопах. При этом в последнем случае, обратно, лучи, идущие от небесного светила; почти параллельно, сосредоточиваются около фокуса зеркала телескопа, и так как лучи, идущие от разных точек светила, намного непараллельны, то они сосредоточиваются около фокуса в разных точках, так что около фокуса получается изображение светила, тем большее, чем больше фокусное расстояние параболы. Это изображение уже рассматривается в микроскоп (окуляр телескопа). Строго говоря, только лучи, строго параллельные оси зеркала, собираются в одну точку (в фокус), параллельные же лучи, идущие, под углом к оси зеркала, собираются лишь почти в одну точку, причем, чем дальше эта точка от фокуса, тем изображение более размытое. Эго обстоятельство ограничивает «поле зрения телескопа».
П усть внутренняя поверхность его - зеркальная поверхность- это параболическое зеркало освещается пучком лучей света параллельно оси ОУ. Все лучи, параллельные оси ОУ, после отражения пересекутся в одной точке оси ОУ (фокус F). На этом свойстве основано устройство параболических телескопов. Лучи от далёких звёзд приходят к нам в виде параллельного пучка. Изготовив параболический телескоп и поместив в его фокус фотопластинку, мы получаем возможность, усилить световой сигнал, идущий от звезды.
Этот же принцип лежит в основе создания параболической антенны, позволяющей усилить радиосигналы. Если же поместить в фокусе параболического зеркала источник света, то после отражения от поверхности зеркала лучи, идущие от этого источника, не будут рассеиваться, а соберутся в узкий пучок параллельно оси зеркала. Этот факт находит применение при изготовлении прожекторов и фонарей, различных проекторов, зеркала которых изготавливают в форме параболоидов.
Отмеченным выше оптическим свойством параболического зеркала пользуются при создании зеркальных телескопов, различных солнечных нагревательных установок, а также прожекторов. Поместив в фокусе параболического зеркала мощный точечный источник света, мы получим плотный поток отраженных лучей, параллельных оси зеркала.
П ри вращении параболы вокруг ее оси получается фигура, которую называют параболоидом. Если внутреннюю поверхность параболоида сделать зеркальной и направить на нее пучок лучей, параллельных оси симметрии параболы, то отраженные лучи соберутся в одной точке, которую называют фокусом. В то же время если источник света поместить в фокусе, то отраженные от зеркальной поверхности параболоида лучи окажутся параллельными и не рассеиваются.
Первое свойство позволяет получить в фокусе параболоида высокую температуру. Согласно легенде это свойство использовал древнегреческий ученый Архимед (287-212 гг. до н. э.). При защите Сиракуз в войне против римлян он построил систему параболических зеркал, которая позволила сфокусировать отраженные солнечные лучи на кораблях римлян. В результате температура в фокусах параболических зеркал оказалась настолько высокой, что на кораблях вспыхнул пожар и они сгорели.
Второе свойство используется, например, при изготовлении прожекторов и автомобильных фар.
Гипербола
4. Определение гиперболы дает нам простой способ построения ее непрерывным движением: возьмем две нити, разность длин которых равна 2а, и прикрепим по одному концу этих нитей к точкам F' и F. Если держать рукой два других конца соединенными вместе и водить вдоль нитей острием карандаша, заботясь о том, чтобы нити были прижаты к бумаге, натянуты и соприкасались, начиная от чертящего острия до места соединения концов, то острие начертит часть одной из ветвей гиперболы (тем большую, чем длиннее взяты нити) (Рис.).
Поменяв ролями точки F' и F, получим часть другой ветви.
Например, на тему «Кривые 2-го порядка» можно рассмотреть следующую задачу:
Задача. Две железнодорожные станции А и В находятся на расстоянии s км одна от другой. В любую точку М груз можно доставить со станции А либо по прямой автотранспортом (первый путь), либо по железной дороге до станции В, а оттуда автомобилями (второй путь). Железнодорожный тариф (цена перевозки 1 т на 1 км) составляет m рублей, тариф автотранспорта – n рублей, n > m, тариф погрузки-разгрузки - k рублей. Определить область влияния железнодорожной станции В, т.е, ту область, в которую дешевле доставить груз со станции А смешанным путем — по железной дороге, а затем автотранспортом, т.е. определить геометрическое место точек, для которых второй путь выгоднее первого.
Решение. Обозначим AM = r , BM = г , тогда стоимость доставки (перевозки и погрузки-разгрузки) по пути AM равна nr + k, а стоимость доставки по пути АВМ равна ms + 2k + nг . Тогда точки М, для которых обе стоимости равны, удовлетворяют уравнению nr + k = ms+2k+nг , или
ms + k = nr - nг
r - г = = const > О,
следовательно, линия, ограничивающая область, - одна из ветвей гиперболы | r - г | = const. Для всех точек плоскости, лежащих по одну сторону с точкой А от этой гиперболы, более выгоден первый путь, а для точек, лежащих по другую сторону, - второй, поэтому ветвь гиперболы очерчивает область влияния станции В.
Две железнодорожные станции А и В находятся на расстоянии l км одна от другой. В точку М груз можно доставить со станции А либо по прямой автотранспортом, либо по железной дороге до станции В, а оттуда автомобилями (рис. 49). При этом железнодорожный тариф (цена перевозки 1 т на 1 км) составляет m рублей, погрузка — разгрузка обходится в k рублей (за 1 т) и тариф автотранспорта — n рублей (n > m). Определим так называемую зону влияния железнодорожной станции В, т. е., ту зону, в которую дешевле доставлять груз из А смешанным путем: по - железной дороге и затем автотранспортом.
Решение. Стоимость доставки 1 т груза по пути AM составляет r n, где r = AM, а по пути AВМ она будет равна 1m + k + r n. Нам надо решить двойное неравенство r n 1m+ k+ r n и определить, как распределятся точки на плоскости (х, у), в которые дешевле доставлять груз либо первым, либо вторым путем.
Найдем уравнение линии, образующей границу между этими двумя зонами, т. е. геометрическое место точек, для которых оба пути «равно выгодны»:
r n = 1m+ k+ r n
Из этого условия получаем r - r = = const.
Следовательно, линия раздела гипербола. Для всех внешних точек этой гиперболы более выгоден первый путь, а для внутренних — второй. Поэтому гипербола и очертит зону влияния станции В. Вторая ветвь гиперболы очертит зону влияния станции А (груз доставляется со станции В). Найдем параметры нашей гиперболы. Ее большая ось 2а = , а расстояние между фокусами (которыми являются станции А и В) в данном случае 2с = l.
Таким образом, условие возможности этой задачи, определяемое соотношением a < с, будет
или , n m
Данная задача связывает абстрактное геометрическое понятие гиперболы с транспортно-экономической задачей.
Искомое геометрическое место точек есть множество точек, лежащих внутри правой ветви гиперболы, содержащей точку В.
6. В курсе «Сельхозмашин» важными эксплуатационными характеристиками работающего на склоне трактора, показывающими его устойчивость, являются угол продольного наклона и угол поперечного крена.
Будем рассматривать для простоты колесный трактор. Поверхность, на которой работает трактор (по крайней мере, ее достаточно малую часть), можно считать плоскостью (плоскость движения). Продольной осью трактора называется проекция прямой, соединяющей середины передней и задней оси, на плоскость движения. Углом поперечного крена называется угол, образованный с горизонтальной плоскостью прямой, перпендикулярной продольной оси и лежащей в плоскости движения.
При изучении в курсе математики темы «Прямые и плоскости в пространстве» рассматриваем задачи:
а) Найти угол продольного наклона трактора, движущегося по склону, если известен угол подъема склона и угол отклонения траектории трактора от продольного направления.
б) Предельным углом поперечного крена трактора называется наибольший допустимый угол наклона склона, поперек которого может стоять трактор, не опрокидываясь. Какие параметры трактора достаточно знать для определения предельного угла поперечного крена; как найти этот угол?
7 . Наличие прямолинейных образующих используется в строительной технике. Основоположником практического применения этого факта является известный русский инженер Владимир Григорьевич Шухов (1853—1939). В. Г. Шухов осуществил конструкции мачт, башен и опор, составленных из металлических балок, располагающихся по прямолинейным образующим однополостного гиперболоида вращения. Высокая прочность таких конструкций в соединении с легкостью, невысокой стоимостью изготовления и изяществом обеспечивает широкое распространение их в современном строительстве.
8. ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ СВОБОДНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
Для свободного тела равно возможны все виды движения, но это еще не значит, что движение свободного тела является беспорядочным, не подчиняющимся никаким законам; наоборот, поступательное движение твердого тела независимо от его внешней формы стесняется законом о центре массы и сводится к движению одной точки, а вращательное— так называемыми главными осями инерции или эллипсоидом инерции. Так, палка, брошенная в свободное пространство, или зерно, вылетающее из сортировки и т. д., движется поступательно, как одна точка (центр масс), а в то же время вращается около центра массы. Вообще при поступательном движении всякое твердое тело независимо от его формы или сложную машину можно заменить одной точкой (центром массы), а при вращательном — эллипсоидом инерции, радиусы-векторы которого равны ——, где / — момент инерции этого тела относительно осей, проходящих через центр эллипсоида.
Если момент инерции тела во время вращения почему-либо изменяется, то соответственно будет изменяться и скорость вращения. Например, во время прыжка через голову акробаты сжимаются в комок, отчего момент инерции тела уменьшается, а скорость вращения увеличивается, что и нужно для успеха прыжка. Точно так же, поскользнувшись, люди вытягивают руки в стороны, отчего момент инерции увеличивается, а скорость вращения уменьшается. Точно так же переменным является момент инерции грабли жнеи около вертикальной оси во время ее поворота около горизонтальной оси.
Пример. Повозка. Зависимость усилия, скорости и времени.
Очень часто заставляют работать лошадей рысью, усиленно погоняя их. С другой стороны, люди, у которых не хватает силы протащить спокойно какой-либо груз на некоторое расстояние, инстинктивно ускоряют свой шаг. Величина всей работы по пути остается одна и та же, но требуется повышенная работоспособность и на короткое время, так что сокращается время напряжения усилия.