Тема 6. Логика высказываний.

1. Основные принципы логики высказываний. Логика высказываний как совокупность формул (тавтологии, противоречия, нейтральные формулы). Определение логического следования.

2. Табличные определения основных логических связок.

3. Понятие разрешающей процедуры. Правила приведения к нормальной форме.

4. Применение логики высказываний в релейно-контактных схемах.

Литература

Ивин А.А., Никифоров А.Л. Словарь по логике. М., 1998.

Горский Д.П., Ивин А.А., Никифоров А.Л. Краткий словарь по логике. М., 1991.

Гжегочик А. Популярная логика. Общедоступный очерк логики предложений. М., 1979.

Зегет В. Элементарная логика. М., 1985.

Ивин А.А. Логика. М., 2000.

Жоль К.К. Логика в лицах и символах. Научно-популярная книга. М., 1993.

Войшвилло Е.К., Дегтярев М.Г. Логика как часть теории познания и научной методологии (фундаментальный курс). В 2-х книгах. М., 1994. Книга 1.

Пухначев Ю.В., Попов Ю.П. Математика без формул. М., 1995. (Глава «Исчисление высказываний»).

Упражнения

1. Определите значение истинности следующих высказываний:

Луна – планета и 2 + 3 = 5.

Луна – планета или 2 + 3 = 5.

1 – простое число и 2 – простое число.

1 – простое число или 2 – простое число.

Кислород – металл и 2  2 = 5.

Кислород – металл или 2  2 = 5.

Эйфелева башня находится в Париже или она находится в Нью-Йорке.

Либо Эйфелева башня находится в Париже, либо она в Нью-Йорке.

Лев Толстой написал роман «Воскресение» или он написал роман «Анна Каренина».

Либо Лев Толстой написал «Воскресение», либо он написал «Анну Каренину».

Если Солнце всходит на востоке, то оно заходит на западе.

Если Солнце всходит на юге, то оно заходит на западе.

Если Солнце всходит на востоке, то оно заходит на севере.

Если Москва - большой город, то Солнце заходит на юге.

Если Москва – большой город, то Солнце заходит на западе.

Если 2  2 = 5, то Нью-Йорк – маленький город.

Если 2  2 = 5, то Нью-Йорк – большой город.

2. Придумайте по три примера:

Истинной импликации с истинным антецедентом (основанием импликации).

Истинной импликации с ложным антецедентом.

Ложной импликации.

3. Сформулируйте в виде импликаций следующие предложения:

Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны.

Всякий человек должен быть откровенен на исповеди.

Сумма углов треугольника равна 180.

Все новое – только хорошо забытое старое.

4. Пусть а есть высказывание «9 – четное число» и b – высказывание «9 – нечетное число». Определите значения истинности следующих высказываний:

а) a  b, д) ~ a  ~ b, и) ~ a  ~ b,

б) b  a, е) ~ b  a, к) ~ a  b,

в) a  ~ b, ж) ~ b  ~ a, л) a  ~ b,

г) ~ a  b, з) a  b, м) ~ (a  b),

н) ~ (a  b),

о) ~ (~ a  b),

п) ~ (a  ~ b),

р) ~ (~ a  ~ b).

5. Используя таблицы истинности для логических связок, определите истинностное значение приведенных сложных высказываний, предполагая, что а – истинное высказывание.

а) a  a, е) a  ~ a,

б) a  a, ж) ~ (a a),

в) a  a, з) ~ (a  ~ a),

г) a  a, и) ~ (a  ~ a),

д) a  ~ a, к) a  ~ ~ a.

6. Пусть а – истинное высказывание, b – ложное высказывание. Определите истинностное значение следующих сложных высказываний:

а) (a  b)  a, г) a  (a  b),

б) (a  b)  a, д) (a  b)  a,

в) a  (a  b), е) a  (b  a).

7. Определите с помощью таблиц истинности, какие из приведенных формул являются тавтологиями:

а) (a  b)  (b  a), з) (a  b)  ~ (a  ~ b),

б) (a  b)  (b  a), и) (a  b)  (~ a  b),

в) (a  b)  (b  a), к) (a  b)  ~ (~ a  ~ b),

г) (a  b)  ~ b  ~ a, л) (a  b)  ~ (~ a  ~ b),

д) (~ a  ~ b)  (b  a), м) (a  b)  ~ (a  ~b),

е) (a  b)  a  b, н) (a  b)  (b  a)  (a b).

ж) (a  b)  (~ a  b),

8. Определите, какие из приведенных высказываний являются тавтологиями:

Если Иванов здоров, то он здоров и богат.

Если Иванов здоров, то он здоров или богат.

Если Иванов здоров и богат, то он здоров.

Если Иванов здоров или богат, то он здоров.

Неверно, что число делится на 2 и на 3, только если оно не делится на 2 или не делится на 3.

Неверно, что число является простым или четным, если и только если оно не является простым и не является четным.

9. «Два племени».

На острове живут два племени; молодцы, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Путешественник встретил туземца, спросил его, кто он такой, и, когда услышал, что он из племени молодцов, нанял его в услужение. Они пошли и увидели вдали другого туземца, и путешественник послал своего слугу спросить его, к какому племени он принадлежит. Слуга вернулся и сказал, что тот утверждает, что он из племени молодцов. Спрашивается, был ли слуга молодцом или же лгуном.

10. «Турист».

Турист шел к озеру. Он дошел до перекрестка, откуда одна дорога вела вправо, а другая влево; одна шла к озеру, а другая – нет. На перекрестке сидело двое парней, один из них всегда говорил правду, второй всегда лгал. Оба они отвечали на любой вопрос, либо «да», либо «нет». Все это было туристу известно, но он не знал, кто из них говорит правду, кто лжет; он также не знал, какая из дорог ведет к озеру. Тогда он поставил обоим сразу один вопрос, каждый из них дал на него свой ответ. Спрашивается, какой это был вопрос, раз турист по полученным ответам безошибочно решил, какая из дорог ведет к озеру?