Задание 1.

Даны данные о кредитах Y(t) от коммерческих банков на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года.

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Y(t)	41	52	62	40	44	56	68	41	47	60	71	44	52	64	77	47

Требуется:

1. Построить адоптивную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметр сглаживания α₁=0,3; α₂=0,6; α₃=0,3.

2. Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.

3. Оценить адекватность построенной модели на основании исследования:

а) случайной остаточной компоненты по критерию пиков;

б) независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d₁=1,10;d₂=1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r=0,32;

в) нормальному закону распределения остаточной компоненты по R/S- критерию с критическим значениями от 3 до 4,21.

4. Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е на 1 год.

5. Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

Решение.

1. Для построения модели Хольта-Уинтерса необходимо рассчитать следующие параметры:

Y_p(t+k)= [a(t)+k*b(t)] * F(t+k-L)

a(t) = α1 * Y(t)/F(t-L) + (1-α1) * [a(t-1)+b(t-1)]

b(t) = α3 * [a(t)-a(t-1)]+(1-α3) * b(t-1)

F(t) = α2 * Y(t)/a(t) + (1-α2) * F(t-L)

Для построения модели необходимо найти начальные значения a(0) и b(0), для этого применим линейную модель и по первым 8 значения определим необходимые значения a(0) и b(0).

i	ti	yi	ti-t	yi-y	(ti-t)(yi-y)	(ti-t)^2	Yp
1	1	41	-3,50	-9,50	33,25	12,25	47,75
2	2	52	-2,50	1,50	-3,75	6,25	48,54
3	3	62	-1,50	11,50	-17,25	2,25	49,32
4	4	40	-0,50	-10,50	5,25	0,25	50,11
5	5	44	0,50	-6,50	-3,25	0,25	50,89
6	6	56	1,50	5,50	8,25	2,25	51,68
7	7	68	2,50	17,50	43,75	6,25	52,46
8	8	41	3,50	-9,50	-33,25	12,25	53,25
Σ	36	404			33,00	42,00	404,00
Σср	4,50	50,50

,

a(0) = Y_ср - b(0) * t_ср=50,50-0,786*4,5=46,964

Уравнение имеет вид Yp(t)=46,964+0,786*t

Найдем коэффициенты сезонности для 1,2,3,4 кварталов

F(-3)=[Y(1)/Yp(1)+Y(5)/Yp(5)]/2=[(41/47,75)+(44/50,89)]= 0,862

F(-2)=[Y(2)/Yp(2)+Y(6)/Yp(6)]/2=[(52/48,54)+(56/51,68)]= 1,077

F(-1)=[Y(3)/Yp(3)+Y(7)/Yp(7)]/2=[(62/49,32)+(68/52,46)]= 1,277

F(0)=[Y(4)/Yp(4)+Y(8)/Yp(8)]/2=[(40/50,11)+(41/53,25)] = 0,784

Имея все необходимые данные, построим модель Хольта-Уинтерса

t	yt	Yp(t)	a(t)	b(t)	F(t)	Et	E отн
-3					0,862
-2					1,077
-1					1,277
0			46,964	0,786	0,784
1	41	41,141	47,701	0,771	0,860	-0,141	0,345
2	52	52,228	48,408	0,752	0,989	-0,228	0,439
3	62	62,757	48,982	0,698	1,155	-0,757	1,221
4	40	38,956	50,080	0,818	0,941	1,044	2,611
5	44	43,791	50,971	0,840	0,862	0,209	0,475
6	56	51,224	53,261	1,275	1,026	4,776	8,528
7	68	62,985	55,839	1,666	1,193	5,015	7,375
8	41	54,123	53,321	0,411	0,838	-13,123	32,008
9	47	46,322	53,969	0,482	0,867	0,678	1,443
10	60	55,883	55,654	0,843	1,057	4,117	6,861
11	71	67,380	57,407	1,116	1,219	3,620	5,098
12	44	49,032	56,721	0,575	0,801	-5,032	11,437
13	52	49,696	58,093	0,814	0,884	2,304	4,430
14	64	62,288	59,393	0,960	1,069	1,712	2,675
15	77	73,578	61,195	1,213	1,243	3,422	4,444
16	47	49,962	61,298	0,880	0,780	-2,962	6,302