П4. Методические указания к л.Р.З, л.Р.4 и л.Р.3-4.

В однофазных электрических цепях в большинстве случаев действуют ЭДС, изменяющиеся по синусоидальному закону, поэтому в линейных однофазных цепях токи и напряжения также синусоидальны.

Мгновенное значение синусоидально изменяющейся в функции времени величины a(t) выражают аналитически ввиде зависимости:

где А_m - амплитудное значение; ω - угловая частота; ψ_A – начальная фаза.

Аналогично записываются выражения для мгновенных значений

Эдс е = E_m-Sin (ωt + ψ_Е),

напряжения u = U_m Sin (ωt + ψu),

тока i = I_m * Sin (ωt + ψ_I,).

Наиболее рационально расчет синусоидальных величин вести в комплексном исчислении, при этом возможно иметь две формы записи комплексного числа:

Рис. П4.1

алгебраическая форма A = A₁ + j A₂,

где А₁ = A*Cos ψ_A, А₂ = A*Sinψ_A,

А = A_m/√2 - действующее значение синусоидальной величины;

показательная форма А = А е^jψ2. Следует иметь ввиду, что сложение и вычитание комплексных чисел целесообразно осуществлять в алгебраической форме записи, а умножение и деление - в показательной форме записи. Например:

Переход от показательной формы записи к алгебраической выполняется по формулам для А₁ и А₂, а обратный переход - по формулам

Комплексные числа графически представляются векторами на комплексной плоскости. Таким образом, алгебраические действия над синусоидальными величинами заменяются действиями над комплексными величинами или векторами и поэтому алгебра комплексных чисел является основным математическим аппаратом при расчете цепей однофазного синусоидального тока, а векторная алгебра - наглядным средством изображения синусоидально изменяющихся величин.

При расчете цепей синусоидального тока, в отличие от расчета цепей постоянного тока, необходимо учитывать не один, а три пассивных элемента: резистивный, индуктивный и емкостной, которые характеризуются соответственно активным сопротивлением R, индуктивностью L (индуктивным сопротивлением X_L = ω*L ) и емкостью С (емкостным сопротивлением Х_С = 1/(ω*С)), где ω - угловая частота.

Индуктивное Х_L и емкостное Х_C сопротивления определяют не только значения токов в цепи, но и сдвиг фаз между напряжениями и токами.

При включении в цепь индуктивности L часто говорят об индуктивном сопротивлении, индуктивном падении напряжения или индуктивной составляющей напряжения. Однако в действительности в этих понятиях есть условность. При включении в цепь катушки, обладающей активным сопротивлением R и индуктивностью L, на переменное синусоидальное напряжение уравнение по второму закону Кирхгофа записывается в виде

u = R*i + е. Это объясняется тем, что часть напряжения и падает на сопротивлении R, (т.е. R*i), а остальная часть расходуется на компенсацию возникающей в индуктивности эдс самоиндукции (е). Численно значение эдс самоиндукции определяется из выражения

е = ± L*di/dt. Знак (-) принимается для случая, когда направление ЭДС выбирается по току i, а знак (+), когда направление эдс принимается против тока. Так как величина X_L выражается в Омах, то X_L = ω*L называют реактивным индуктивным сопротивлением, а произведение X_L*I индуктивным падением напряжения (по аналогии с произведением R*I), где I - действующее значение тока. Аналогично Х_С =1/(ω*С) называют емкостным сопротивлением, а Х_С*I – емкостным падением напряжения.

При расчете цепей синусоидального тока все законы и методы расчета цепей постоянного тока справедливы в комплексной форме:

- первый закон Кирхгофа ∑±I ⁼ 0;

- второй закон Кирхгофа ∑± Е = ± U;

- эквивалентное комплексное сопротивление Z_Э при последовательном соединении R, L и С: Z_Э = Z₁ + Z₂ + ... + Zn = (R₁, + R₂ + ... + Rn) + j( ±X₁, ± X₂ + ... + Xn ), где n - число последовательно соединенных элементов (знак + соответствует Х_L, знак - соответствует Х_C);

- эквивалентная комплексная проводимость Y_Э при параллельном соединении n ветвей Y_Э = Y_l + У₂ + ... + Yn.

При смешанном соединении используют расчетные формулы последовательного и параллельного соединений для комплексных сопротивлений.