Построение векторных диаграмм.

Рассмотрим построение векторных диаграмм при последовательном соединении в цепи элементов R, L, С (рис. П4.2.).

Запишем для данной цепи систему уравнений по законам Кирхгофа. В рассматриваемой цепи ток I во всех элементах один и тот же. В схеме узлов нет, поэтому по 1-му закону Кирхгофа мы не можем составить ни одного уравнения.

По 2-му закону Кирхгофа можно записать только одно уравнение

- U + U_R + U_L + U_C = 0,

откуда

U = U_R + U_L + U_C.

Используя закон Ома в комплексной форме для каждого из элементов цепи, получим

U = I*R+I*(jX_L) + I*(jX_c).

Последнее уравнение используем для построения векторной диаграммы цепи (рис.П4.2.). Обозначим оси комплексной плоскости - действительную ось (+1) направим горизонтально вправо, мнимую ось (+j) вертикально вверх (см. рис.П4.3.).

Выберем масштабы для построения тока I и напряжения U. Построение начинаем с вектора тока I.

Когда не известны начальные фазы напряжений и тока в цепи, можно принять начальную фазу тока Ψ_i = 0°. Этому соответствует направление вектора I на комплексной плоскости вправо, по действительной оси (см. рис. П4.3.).

Далее строим напряжения на элементах цепи U_R, U_L, U_C.

По закону Ома напряжение на участке цепи с активным сопротивлением R записывается U_R = U*R. Математически приведенная запись означает, что вектор U_R совпадает по направлению с вектором I, т.к. R - действительное число. На диаграмме вектор U_R будет совпадать по направлению с вектором тока I. Длины каждого из векторов I и U определяются их числовыми значениями (см. табл. 5.1.) и выбранными масштабами для тока и напряжений.

Следующим строим вектор U_R - напряжение на индуктивном элементе "L"

U_L=I*(jX_L).

Здесь X_L - индуктивное сопротивление цепи. Множитель j согласно теории комплексных чисел означает поворот результирующего вектора U относительно исходного вектора I на 90° против часовой стрелки. (Положительные углы откладываются против часовой стрелки). Следовательно, вектор U_L напряжения на индуктивном сопротивлении X_L будет направлена векторной диаграмме вертикально вверх.

Следующим строим вектор U_C - напряжение на емкостном элементе "С"

U_C =I(-jX_C). Здесь Х_C - емкостное сопротивление.

Множитель (-j) означает поворот вектора U_C относительно вектора I на (-90°), т.е. на 90° по часовой стрелке (см. рис. П4.3.).

В соответствии с уравнением, записанным по 2-му закону Кирхгофа, определяем вектор U напряжения на входе цепи. Для этого надо графически сложить три вектора U_R, U_L, U_C. Можно воспользоваться известным правилом параллелограмма. В результате получаем векторную диаграмму, представленную на рис. П4.3.

На этой диаграмме вектор U напряжения на входе цепи опережает вектор тока на некоторый угол φ, что соответствует активно-индуктивному характеру данной цепи ( см. табл. П4.1.).

На рис. П4.6 показан пример построения для рассматриваемой цепи (рис. П4.2.) треугольников сопротивлений и мощностей.

Теперь рассмотрим последовательность построения векторной диаграммы при параллельном включении катушки индуктивности и емкости (см. рис. П4.4.). Катушку индуктивности представляем схемой с последовательно включенными элементами R_K ( активное сопротивление катушки) и (индуктивность катушки, которой соответствует реактивное сопротивление Х_К). Емкости "С" соответствует реактивное сопротивление Х_С .

Опишем схему, представленную на рис. П4.4, системой уравнений, составленных по законам Кирхгофа.

По 1-му закону Кирхгофа для узла "а" получаем уравнение

I - I₁ - I₂ = 0 .

Откуда следует

I = I₁ + I₂.

По 2-му закону Кирхгофа следует составить два уравнения. Выберем два независимых контура - левый контур , включающий источник и катушку индуктивности (R_K, L_K), и внешний большой контур, включающий источник и емкость (С). Запишем соответствующие уравнения:

Получили, что U = U_K = U_C. Т.е. напряжения на параллельно включенных элементах одинаковые. Эти уравнения используем для построения векторной диаграммы цепи (рис. П4.5.).

Обозначим оси комплексной плоскости (+1; +j ). Выберем масштабы для построения векторов токов и напряжений.

При параллельном включении элементов построение векторной диаграммы удобнее начать с вектора напряжения U, т.к. напряжение является одинаковым для параллельно включенных элементов схемы. Начальная фаза вектора напряжения не известна, поэтому примем ее равной нулю Ψ_u = 0°. Этому соответствует направление вектора U на комплексной плоскости вправо, по действительной оси (см. рис. П4.5.).

Затем строим токи и I₂. Начнем построение с тока I₂, проходящего в ветви с емкостью "С". Емкость - чисто реактивный элемент. В соответствии с табл. П4.1 ток в ветви с емкостью опережает напряжение на емкости на 90°.

Т.к. вектор U мы направили вправо по действительной оси, вектор I₂ необходимо направить вертикально вверх и длину его отложить в соответствии с экспериментальными данными (табл. 5.2.) и выбранным масштабом для токов.

Следующим строим ток I₁. Поскольку катушка индуктивности имеет активное R_K и индуктивное X_K (реактивное) сопротивления, то в соответствии с табл. П4.1 ток в катушке I₁ будет отставать от напряжения на катушке U на угол больше 0°, но меньше 90°. На векторной диаграмме (рис. П4.5.) он I₁ будет направлен вниз и вправо.

Точное направление тока I₁ мы можем построить используя его проекции на направление, совпадающее с направлением вектора U (активная составляющая тока I_1A), и направление, перпендикулярное вектору U (реактивная составляющая тока I_1Р). Эти составляющие вычисляются по соответствующим формулам

I_1A = U*G_k; I_1P = U B_k.

Их значения записаны в правой части табл. 5.2. Следовательно для построения тока I₁ необходимо построить I_1A и I_1P.

I_1A направляем на векторной диаграмме по направлению U и величину вектора I_1P определяем в соответствии с его числовым значением (см. табл. 5.2.) и принятым масштабом для токов.

Реактивная составляющая тока в катушке индуктивности I_1P отстает от вектора U на 90° и направлена в нашем случае вертикально вниз. Т.к. I₁ = I_1A + I_1P, складывая их по правилу параллелограмма, получаем ток.

Осталось построить ток I в неразветвленной части цепи (рис. П4.4.). Из первого закона Кирхгофа следует, что I = I₁ + I₂

По правилу параллелограмма складываем токи I₁ и I₂ и получаем ток I (см. рис. П4.5.).

Угол φ между общим током I и напряжением U говорит об общем характере цепи. В нашем примере (рис. П4.4) ток опережает напряжение на угол меньше 90°. Следовательно, в соответствии с табл. П4.1, характер цепи активно-емкостной.

На рис. П4.7 показан пример построения для рассматриваемой цепи (рис. П4.4.) треугольников проводимостей и мощностей.

В случае, если ток I и напряжение U на входе цепи совпадают по фазе (по направлению - на векторной диаграмме), получаем активный характер цепи, что соответствует режиму резонанса.

При последовательном соединении элементов R, L, С возможен резонанс напряжений. При этом U_L = U_C. cosφ = 1, ток имеет максимальное значение.

При параллельном соединении катушки индуктивности (R_k,L_k) и емкости (С) в цепи возможен резонанс токов. При этом I_1P = I₂, cosφ = 1 , ток в неразветвленной части цепи принимает минимальное значение.

Таблица П4.1.

Рис. П4.2. Рис. П4.4.

Рис. П4.5. Рис. П4.3.

Рис. П4.6. Рис. П4.7.