14.Регрессионный анализ

Важной задачей статистического измерения связей явл определение зависимости средней величины рез-та под значение фактора.

Эта зависимость наз корреляционной, а ур-е связи наз ур-ем регрессии.

y_x=f(x1, x2…..x_n)

y_x=a0+a1*x

Для того чтобы построить это ур-е регрессии нужно определить коэф-ты регрессии а0 и а1

Для этого используются метод наименьших квадратов.

x1, x2,…x_n

y1, y2,…x_n

Z =∑( a0+a1*x-y)² → min

Для того чтобы определить коэф-т а0 и а1 мы дифференцируем

∂Z/∂a0 =∑ 2( a0+a1*x-y)=0

∂Z/∂a1=∑ 2( a0+a1*x-y)^2-1*x=0

a0*n+a1*∑x=∑y

a0*∑x +a1*∑x²=∑yx

y_x­=a₀^*+a₁^**x

Если рез-т зависит от нескольких факторов, то тогда Ур-е регрессии может быть представлено в виде линейного множественного Ур-я.

y_x­=a₀^*+a₁^**x1+a2*x2+…+a_n*x_n­

Для определения коэф-тов регрессии используют метод наименьших квадратов

Z =∑( a0+a1*x1+…+ a_n*x_n­-y)² → min

Берутся производные по всем коэф-м регрессии = 0 и на основании этого условия формируется система нормальных Ур-й.

a0*n+a1*∑x1+a2*∑₂+…+a_n∑x_n=∑y

a0*∑x 1+a1*∑x²₁+ a2*∑x1*x2+ +a_n∑x1*x_n=∑y1x1

a_n∑x_n+a₁∑x1*x_n+ a2*∑x1*x_n+… a_n∑x_n²= =∑y x_n

В рез-те решения системы нормальных ур-й получаются коэф-ты а0, а1, ….а_n и получается ур-е :

y_x=a0+a1*x1+а2*х2+…+ a_n*x_n­

На ряду с линейными уравнения регрессии широкое распространение имеют нелинейные Ур-я регрессии. Множественное нелинейное Ур-е регрессии может быть предоставлено следующим образом:

Y_x= a0*x₁^a1*x2^a2*….x_n^An

Для того чтобы определить коэф-ты регрессии, то нелинейное Ур-е прологарифмируем.

lny_x=lna0+a1*lnx1+а2*lnх2+…+ a_n*lnx_n

_­ y_x'=a0'+a1*x1'+а2*х2'+…+ a_n*x_n­' – свели нелинейное Ур-е к линейному. И теперь воспользуемся методом наименьших квадратов и определим:

a0', а1, а2…..а_n

a0=е ^а0'

x=a0*k^a1*L^a2

y_x= a0*х^a1*х^a2

U=a0+a1*x – линейное Ур-е.