Теоремы сложения и умножения вероятностей

СуммойА + В событий называется событие, состоящее в том, что в результате опыта наступит или событие А, или событие В, или оба вместе. ( Другими словами, суммойА+В событий А и В называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий):

Если событияА и В несовместны, то А + В - это событие А, или событие В. Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Произведением АВ событийА и В называется событие, состоящее в совместном появлении и события А, и события В.

Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в их совместном появлении.

Событием, противоположным событиюА, называется событие, обозначаемое A и состоящее в том, что в результате опыта событие А не наступит.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

P(A + B) = P(A) + P(B)

Следствие1.Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А1 + А2+ ...+ Аn) = P(A1) + P(A2) + Р(А3) + ...+ P(An).

Следствие 2. Если события А1, A2, A3, ..An образуют полную группу событий, то сумма их вероятностей равна единице:

P(A1) + P(A2) + P(A3) + ...+ P(An) = 1.

Следствие 3.Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

P(A) + P( ) = 1.

СобытиеА называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет.

Несколько событий называются независимыми в совокупности, если любое из них не зависит от любой совокупности остальных.

СобытиеА называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло это событие В или нет.

Вероятность события А, вычисляемая при условии, что событие В произошло, называется условной вероятностью события а и обозначается

Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий равна произведению одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое из них произошло:

Следствие 1. Если событиеА не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А.

Следствие 2. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Для вычисления вероятности совместного появления большего числа событий, например, четырех, используют формулу:

Для нескольких независимых в совокупности событий вероятность их произведения равна произведению их вероятностей:

Следствие 3. Вероятность появления хотя бы одного из событий А1,А2,…,Аn., независимых в совокупности, равна разности единицы и произведения вероятностей противоположных событий :

Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.

Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB).

Примеры

Задача 1. По мишени стреляют три стрелка. Вероятности попадания соответственно равны 0,7; 0,8 и 0,9. Найти вероятность того, что попадут все три.

Решение:

Пусть событие А- попал 1-й, В- 2-й и С-3-й. Эти события независимые, тогда применяя соответствующую теорему, получим, что вероятность совместного появления всех трех событий равна:

Р(АВС)=Р(А)Р(В)Р(С)=0,7·0,8·0,9=0,504.

Задача 2. В урне находятся 3 белых, 2 черных и 4 синих шара. Какова вероятность того, что первым будет вынут белый шар, вторым- синий, третьим- черный. Шары не возвращаются.

Решение:

Пусть события: А- вынут белый шар, В- вынут синий, С- черный. Вероятность, что первым вынут белый равна

 

Событие В происходит после события А, при этом условия меняются- общее количество шаров уменьшилось и стало равно 8, поэтому события А и В зависимые и речь идет об условной вероятности события В:

Р_А(В)=4/8=1/2.

Событие С происходит после событий А и В, поэтому вероятность его тоже условная Р_АВ(С)=2/7. Вероятность же их совместного появления :

Задача 3. В группе 20 студентов. Из них двое курят, 12 – в очках, 6 – курят и носят очки. Найти вероятность того, что студент курит, если он носит очки.

Решение. Пусть событие - студент курит; - студент носит очки.

Тогда

.

Заметим, что условная и безусловная вероятности события в данной задаче различны: .

 

События называются независимыми, если появление одного из них не влияет на вероятность появления другого: .

 

Если события независимые, то теорема умножения вероятностей принимает вид:

- критерий независимости событий.

В рассмотренном примере события и - зависимы, поскольку

.

Задача 4. Бросают три монетки и игральную кость. Событие - выпал герб, событие - выпало число очков, равное 6. Пространством элементарных исходов опыта является множество . Тогда , , . Таким образом, , т.е. события и - независимы.

Задача 5. Три грани треугольной пирамиды окрашены соответственно в белый, зеленый, желтый цвета. На последней грани присутствуют все три цвета. Случайным образом выбирают грань. Найти вероятности событий: =«на грани есть желтый цвет»;

=«на грани есть белый цвет»;

=«на грани есть зеленый цвет»;

Решение. Желтый цвет имеется на двух гранях из четырех, т.о. ; аналогично: . Вероятность того, что на выпавшей грани есть два цвета - , т.е. . Таким образом,

,

Т.е. все события попарно независимы. Однако события не являются независимыми в совокупности:

Задача 6.Из полной колоды карт (52 шт.) одновременно вынимают четыре карты. Найти вероятность того, что среди этих четырех карт будет хотя бы одна бубновая карта.

Решение. Пусть событие означает «среди четырех вынутых карт есть хотя бы одна бубновая карта». Тогда . Событие означает, что все четыре карты не бубновой масти. Вероятность того, что случайно взятая из колоды карта не бубновая - и , тогда ,

Задача 7 Вероятность хотя бы одного попадания в мишень стрелком при трех выстрелах равна 0,875. Найти вероятность попадания в мишень при одном выстреле.