Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления

y(t) = g(x (t) u (t) t) + @g(x u t)

x(t) +

@x

+@g(x u t)

u(t) + O2

@u

£¤¥ x(t) = x(t)

;

x

(t) { ®âª«®­¥­¨¥ á®áâ®ï­¨ï ¨á室­®© ¬®¤¥-

«¨ ¯® ®â­®è¥­¨î ª ¢¥ªâ®àã x (t)\ u(t) = u(t);u (t) { ®âª«®­¥-

­¨¥ ¢å®¤­®£® ¯à®æ¥áá ®â u (t), @f@x( ) ,

@f@u( )

, @g@x( )

,

@g@u( )

{ ¬ âà¨æë ç áâ­ëå ¯à®¨§¢®¤­ëå ¢¥ªâ®à-ä㭪権 f( ) g( ) (¬ -

âà¨æë ª®¡¨) ¯® ª®¬¯®­¥­â ¬ ¢¥ªâ®à®¢ x, u, ¢ëç¨á«¥­­ë¥ ¯à¨ §­ 祭¨ïå x(t) x (t) u(t) u (t)\ O2 { ¬ «ë¥ ¢¥«¨ç¨­ë ¢â®- ண® ¯®à浪 ¬ «®á⨠¯® x(t), u(t):

âáî¤ á«¥¤ã¥â ®¡é¨© ¢¨¤ ãà ¢­¥­¨© ¤«ï ¯à¨à 饭¨©:x(t) = A(t) x(t) + B(t) u(t) + f (t) ; x (t) + O2y(t) = C(t) x(t) + D(t) u(t) + O2

£¤¥	@f(x u t)		@f (x u t)
A(t) =	@x	B(t) =	@u
	@g(x u t)		@g(x u t)	;
C(t) =	@x	D(t) =	@u

¬ âà¨æë-ä㭪樨 à §¬¥à®¢ n n n m l n l m (ᮮ⢥âá⢥­-

­®), f (t) = f (x (t) u (t) t):

ਠ¤®áâ â®ç­® ¬ «ëå ®âª«®­¥­¨ïå x(t), u(t) ®â ®¯®à­ëå âà ¥ªâ®à¨© x (t) u (t) ¬ «ë¬¨ ¢¥«¨ç¨­ ¬¨ ¡®«¥¥ ¢ë᮪®£® ¯®à浪 ¬®¦­® ¯à¥­¥¡à¥çì.

®­ªà¥â­ë© ¢¨¤ «¨­¥ ਧ®¢ ­­®© ¬®¤¥«¨ § ¢¨á¨â ®â ¢ë- ¡®à ®¯®à­®£® ¤¢¨¦¥­¨ï x (t) u (t). á­®¢­®© ¨­â¥à¥á ¯à¥¤- áâ ¢«ïîâ á«¥¤ãî騥 ç áâ­ë¥ á«ãç ¨ [23, 47, 72]:

{ ¢ ª ç¥á⢥ ®¯®à­®£® ¢ë¡¨à ¥âáï ­¥ª®â®à®¥ ­¥¢®§¬ã饭- ­®¥ ¤¢¨¦¥­¨¥, ª®£¤ x (t) u (t) 㤮¢«¥â¢®àïîâ ¨á室­®¬ã ãà ¢­¥­¨î (1.7).

í⮬ á«ãç ¥ «¨­¥ ਧ®¢ ­­ ï ¬®¤¥«ì ¨¬¥¥â ¢¨¤
x(t) = A(t) x(t) + B(t) u(t)
y(t) = C (t) x(t) + D(t) u(t)	(1.8)

{ ¢ ª ç¥á⢥ ®¯®à­®£® ¤¢¨¦¥­¨ï ¢ë¡¨à îâáï ­¥¨§¬¥­­ë¥ ¢® ¢à¥¬¥­¨ á®áâ®ï­¨¥ á¨áâ¥¬ë ¨ ¢å®¤­®© ¯à®æ¥áá, â.¥. áç¨- â ¥âáï, çâ® x (t) 0 u (t) 0 x (t) x u (t) u (t): ®£¤

22

«¨­¥ ਧ®¢ ­­ ï ¬®¤¥«ì ¨¬¥¥â ¢¨¤
x(t) = A(t) x(t) + B(t) u(t) + f (x u t)
y(t) = C (t) x(t) + D(t) u(t):	(1.9)

¬¥â¨¬, çâ® ¢ ¯à¨¢¥¤¥­­ëå ¢ëè¥ á®®â­®è¥­¨ïå ¢ ª ç¥- á⢥ u(t) u (t) ¬®¦­® а бб¬ ва¨¢ вм ­¥ в®«мª® ¢­¥и­¨¥ ¢®§- ¤¥©бв¢¨п ­ б¨бв¥¬г, ­® ¨ ¥¥ ¯ а ¬¥вал. ®£¤ ¬®¤¥«м, ¯®«г- з¥­­ п ¢ а¥§г«мв в¥ «¨­¥ а¨§ ж¨¨, ¯®§¢®«п¥в ¯а¨¡«¨¦¥­­® бг¤¨вм ® зг¢бв¢¨в¥«м­®бв¨ а¥и¥­¨© б¨бв¥¬л ª ®вª«®­¥­¨о ¯ а ¬¥ва®¢ ®в а бз¥в­ле §­ з¥­¨©, ¯а¨з¥¬ нв¨ ®вª«®­¥­¨п ¯а¥¤бв ¢«повбп ¢ ¢¨¤¥ ¤¤¨в¨¢­ле ¢®§¬гй¥­¨© (в ª ª ª ®­¨ п¢«повбп ª®¬¯®­¥­в ¬¨ "а би¨а¥­­®£®" ¢е®¤­®£® ¯а®ж¥ббu(t)).

ਬ¥à. ¨­¥ ਧ æ¨ï ¬®¤¥«¨ ¬ ïâ­¨ª«ï ¨««îáâà 樨 à áᬮâਬ «¨­¥ ਧ æ¨î ãà ¢­¥­¨© ᢮-

¡®¤­®£® ¤¢¨¦¥­¨ï ¬ ⥬ â¨ç¥áª®£® ¬ ïâ­¨ª									¬ áᮩ m ¨
¤«¨­®© l: «¨ï­¨¥¬ ᨫ â७¨ï ¡ã¤¥¬ ¯à¥­¥¡à¥£ âì.										«ï
				T		£¤¥ '	{ 㣮« ¯®¢®à®â
¢¥ªâ®à á®áâ®ï­¨ï x(t) = ['(t) '(t)]
¬ ïâ­¨ª , ¯®«ã稬 á¨á⥬ã ãà ¢­¥­¨©
	x1(t) = x2(t)									(1.10)
	x2(t) =		;mglJ;1 sin(x1(t)):
¤¥áì J = ml2; ¬®¬¥­â ¨­¥à樨 ¬ ïâ­¨ª , g;								ã᪮७¨¥ ᢮-
¡®¤­®£® ¯ ¤¥­¨ï. ã«¥¢®¬ã §­ 祭¨î 㣫							' ᮮ⢥âáâ¢ã-
¥â ¯®«®¦¥­¨¥ ¬ ïâ­¨ª		"¢¥à⨪ «ì­® ¢­¨§". ïâ­¨ª (1.10)
¨¬¥¥â ¤¢	á®áâ®ï­¨ï à ¢­®¢¥á¨ï:			x1		= 0 ¨ x2		= [ 0]T		: 7 ¨-
				0			0
­¥ ਧ æ¨ï (1.10) ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠íâ¨å á®áâ®ï­¨© ¯à¨¢®¤¨â ª
ãà ¢­¥­¨ï¬ ¢¨¤ (1.3) á ¬ âà¨æ¥©
		0			1
	A = gl;1				0
£¤¥ §­ ª "¬¨­ãá" ᮮ⢥âáâ¢ã¥â				­¨¦­¥¬ã,				§­ ª "¯«îá" {
¢¥àå­¥¬ã á®áâ®ï­¨ï¬ à ¢­®¢¥á¨ï (â.¥. â®çª ¬ x1									¨ x2:	)
								0	0
7 âண® £®¢®àï, ¨¬¥¥âáï ¬­®¦¥á⢮ á®áâ®ï­¨© à ¢­®¢¥á¨ï										x0 =
= [n 0]T	n = : : : ; 2 ;1 0 1 2 : : :			¯®í⮬㠤«ï § ¤ ç ¤ ­­®£® ⨯

¯à®áâà ­á⢮ á®áâ®ï­¨© 㤮¡­¥¥ ®â®¦¤¥á⢫ïâì ­¥ á ¯«®áª®áâìî R2 á ¯®¢¥àå­®áâìî 樫¨­¤à .

23

áᬮâਬ ⥯¥àì ¢ ª ç¥á⢥ ®¯®à­®© âà ¥ªâ®à¨¨ ¯à®-

	æ¥áá x (t), ã ª®â®à®£® x (t) =					cos( t) x	(t) =			sin( t) £¤¥
					2			;2
		p	1			2
				T
	=		gl;1	: ¬¥â¨¬, çâ® â ª®© ¯à®æ¥áá ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯®¢¥-

¤¥­¨î ¬®¤¥«¨, ¯®«ã祭­®© «¨­¥ ਧ 樥© ®â­®á¨â¥«ì­® á®-

áâ®ï­¨ï x1 ¯à¨ x(0) = [

0] . ®£¤ äã­ªæ¨ï

0

2

T

f = h;2

sin( t)

;mglJ;1 sin(

2 cos( t))i

:

á¢®î ®ç¥à¥¤ì x (t) = [

sin( t)

;

2 cos( t)]T ®âªã¤

;

2

2

¯®«ãç ¥¬ ãà ¢­¥­¨ï ¢ ®âª«®­¥­¨ïå x(t) = x(t) ; x

(t) :

8

x1

(t) = x2(t)

x2

(t) =

mglJ;1 cos(

cos( t)) x1(t)

(1.11)

;

;1

2

2

;

:

; mglJ

sin(2 cos( t)) + 2

cos( t):

<

à ¢­¥­¨ï (1.11) ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®© á¨á⥬㠫¨­¥©­ëå ­¥- ®¤­®à®¤­ëå ­¥áâ 樮­ à­ëå ãà ¢­¥­¨© ¨ ¤ îâ ¡®«¥¥ â®ç­®¥ ¯à¨¡«¨¦¥­¨¥ ª ª®«¥¡ ⥫쭮¬ã ¯à®æ¥ááã ¢ ¨á室­®© ­¥«¨- ­¥©­®© á¨á⥬¥ (1.10), 祬 «¨­¥ ਧ æ¨ï ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠á®-

áâ®ï­¨ï x01 . ⬥⨬, çâ® (1.11) ¨¬¥îâ ¢¨¤ (1.2) á® ¢å®¤­ë¬

¯à®æ¥áᮬ v(t) =

;

mglJ;1 sin(

cos( t))+

2 cos( t) ¨ ¬ âà¨-

æ ¬¨

2

2

;

A(t) =

0

1

B =

0

:

mglJ;1 cos(

cos( t))

0

1

2

а¨¢¥¤¥­­ п §¤¥бм ¯а®ж¥¤га «¨­¥ а¨§ ж¨¨ ¬®¦¥в ¯а¨¬¥- ­пвмбп (б ®з¥¢¨¤­®© § ¬¥­®© ®¡®§­ з¥­¨© ¨ а£г¬¥­в®¢) ¨ ¤«п ¤¨бªа¥в­ле б¨бв¥¬. «п «¨­¥ а¨§ ж¨¨ ª®«¥¡ в¥«м­ле ¯а®ж¥бб®¢ в ª¦¥ ¨§¢¥бв¥­ ¨ и¨а®ª® ¨б¯®«м§г¥вбп в ª ­ §л- ¢ ¥¬л© ¬¥â®¤ £ ମ­¨ç¥áª®£® ¡ « ­á (£ ମ­¨ç¥áª®© «¨­¥ - ਧ 樨) [15, 76, 93, 94, 95, 113] (á¬. ­¨¦¥ ¯. 11.3. á. 247).

1.4. ਬ¥àë ãà ¢­¥­¨© á®áâ®ï­¨ï á¨á⥬

áᬮâਬ ­¥áª®«ìª® ¯à¨¬¥à®¢ ¬®¤¥«¥© «¨­¥©­ëå á¨á⥬ ¢ ¢¨¤¥ ãà ¢­¥­¨© á®áâ®ï­¨ï.

1.4.1. «¥ªâà®â¥å­¨ç¥áª¨¥ ãáâனáâ¢

ਬ¥à 1. RC-楯ì. áᬮâਬ á¨á⥬ã, á®áâ®ïéãî ¨§ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮 ᮥ¤¨­¥­­ëå ¥¬ª®áâ­®£® í«¥¬¥­â C ¨ १¨- áâ®à á ᮯà®â¨¢«¥­¨¥¬ R (à¨á. 1.3, ). 室­ë¬ ¯à®æ¥áᮬ

24

áç¨â ¥¬ ­ ¯à殮­¨¥ u(t) ®â ¢­¥è­¥£® ¨áâ®ç­¨ª , ¯à¨«®¦¥­- ­®¥ ª § ¦¨¬ ¬ 楯¨. áᬮâਬ á«¥¤ãî騥 ¤¢ á«ãç ï.

¨á. 1.3. «¥ªâà®â¥å­¨ç¥áª¨¥ ãáâனáâ¢

1.	ë室 á¨á⥬ë { ­ ¯à殮­¨¥ uC(t) ­	§ ¦¨¬ å ¥¬-
ª®áâ­®£® í«¥¬¥­â .
RC-æ¥¯ì ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢­¥­¨¥¬
	RCduC(t) + uC(t) = u(t):	(1.12)
	dt
¢¥¤¥¬
	T = RC { ¯®áâ®ï­­ãî ¢à¥¬¥­¨ 楯¨ ¨ ¯à¨¬¥¬ x(t) =

uC(t): ëà §¨¢ ¨§ (1.12) §­ 祭¨¥ x(t), ¯®«ã稬 ãà ¢­¥­¨¥ á®- áâ®ï­¨ï ¢¨¤ (1.3), ¢ ª®â®à®¬ n = 1 A = T ;1 B = T ;1 C = 1:

;

ва¨жл ¯®ап¤ª 1 1 ®¡лз­® ®в®¦¤¥бв¢«повбп б® бª «па-

­ë¬¨ í«¥¬¥­â ¬¨, ¯®í⮬㠯ਠ¨å § ¯¨á¨ ª¢ ¤à â­ë¥ ᪮¡ª¨ ®¯ã᪠îâáï. ©¤¥­­ë¥ ãà ¢­¥­¨ï ᮮ⢥âáâ¢ãîâ ᮡá⢥­- ­®© á¨á⥬¥.

2. ë室 á¨á⥬ë { ­ ¯à殮­¨¥ uR(t) ­ § ¦¨¬ å १¨- áâ®à .

à ¢­¥­¨¥ á®áâ®ï­¨ï (¤«ï x(t)) ¨¬¥¥â â®â ¦¥ ¢¨¤. §-

¬¥­ï¥âáï ãà ¢­¥­¨¥ ¢ë室 , â ª ª ª ⥯¥àì y(t) = uR(t) u(t); uC(t) u(t); x(t): ®í⮬㠤 ­­ ï á¨á⥬ ­¥ ®â­®á¨â- áï ª áâண® ॠ«¨§ã¥¬ë¬ ¨ ¨¬¥¥â ¬ âà¨æë A = ;T;1 B =

T ;1 C = ;1 D = 1:

25

ਬ¥à 2. ®«¥¡ ⥫ì­ë© ª®­âãà (RLC-楯ì). ¯¨è¥¬ ⥯¥àì ãà ¢­¥­¨ï á®áâ®ï­¨ï ª®«¥¡ ⥫쭮£® ª®­âãà , ¢ª«î-

ç î饣® ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮 ᮥ¤¨­¥­­ë¥ R, L, C-í«¥¬¥­âë (à¨á. 1.3, ¡). ë室­ë¬ ᨣ­ «®¬ y(t) ¡ã¤¥¬ áç¨â âì ­ ¯à殮­¨¥ ­ § ¦¨¬ å ¨­¤ãªâ¨¢­®£® í«¥¬¥­â uL (t) ¢å®¤®¬, ª ª ¨ ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 á«ãç ¥, { ¯ ¤¥­¨¥ ­ ¯à殮­¨ï ­ ¢á¥© 楯¨ u(t):

ª ¨§¢¥áâ­® ¨§ í«¥ªâà®â¥å­¨ª¨, ¢ë¯®«­¥­ë ᮮ⭮襭¨ï

Ldi(t) = uL(t)	CduC(t) = i(t)
dt	dt

uR(t) = Ri(t) u(t) = uL(t)+uC (t)+uR(t) £¤¥ i(t) { ᨫ ⮪ ¢ æ¥-
¯¨, uC(t) { ­ ¯à殮­¨¥ ­	§ ¦¨¬ å ¥¬ª®áâ­®£® í«¥¬¥­â , uR(t)
{ ¯ ¤¥­¨¥ ­ ¯à殮­¨ï ­		ªâ¨¢­®¬ ᮯà®â¨¢«¥­¨¨. ¯à¥¤¥-
						T	¨ ¢ë室
«¨¢ ¢¥ªâ®à á®áâ®ï­¨ï x(t) = [i(t) uC (t)]								y(t) = uL(t)
¯®«гз¨¬ б«¥¤гойго б¨бв¥¬г га ¢­¥­¨©:
x1(t) = (u(t)		;	Rx1(t)	;	x2		(t))L;1	(1.13)
;1
x2(t) = C	x1(t)
y(t) = u(t) ; Rx1(t) ; x2(t):

«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ à áᬠâਢ ¥¬®¬ ¯à¨¬¥à¥ n = 2 m = l = 1 ¨ ãà ¢­¥­¨ï á®áâ®ï­¨ï (1.2) ᮤ¥à¦ â ¬ âà¨æë

RL;1	L;1	B =	L;1	C = [;R ;1] D = 1:
A = ;C;1	; 0		0
ਬ¥à 3.	¢¨£ â¥«ì ¯®áâ®ï­­®£® ⮪ á ­¥§ ¢¨á¨-

¬ë¬ ¢®§¡ã¦¤¥­¨¥¬. áᬮâਬ «¨­¥ ਧ®¢ ­­ë¥ ãà ¢­¥- ­¨ï í«¥ªâà¨ç¥áª®£® ¤¢¨£ â¥«ï ¯®áâ®ï­­®£® ⮪ á ­¥§ ¢¨á¨- ¬ë¬ ¢®§¡ã¦¤¥­¨¥¬ (à¨á. 1.3, ¢). ãáâì ®¡¬®âª ¢®§¡ã¦¤¥­¨ï ¤¢¨£ ⥫ï ᮧ¤ ¥â ¯®áâ®ï­­ë© ¬ £­¨â­ë© ¯®â®ª, ã¯à ¢«¥­¨¥ ®áãé¥á⢫ï¥âáï ¨§¬¥­¥­¨¥¬ í«¥ªâத¢¨¦ã饩 á¨«ë ¨áâ®ç­¨- ª ¢ 类୮© 楯¨ e(t). ­ãâ७­¨¬ ᮯà®â¨¢«¥­¨¥¬ ¨áâ®ç-

­¨ª ¯à¥­¥¡à¥£ ¥¬. 室­ë¬¨ ¢®§¤¥©á⢨ﬨ áç¨â ¥¬ e(t) ¨ ¯à¨¢¥¤¥­­ë© ¬®¬¥­â ­ £à㧪¨ ­ ¢ «ã ¤¢¨£ ⥫ï M(t): ë- 室 ¬¨ á¨á⥬ë áç¨â ¥¬ 㣮« ¯®¢®à®â à®â®à (t) ¨ ⮪ ¢ 类୮© ®¡¬®âª¥ i(t). ¨­ ¬¨ªã á¨áâ¥¬ë ¬®¦­® ®¯¨á âì á«¥- ¤ãî騬¨ ãà ¢­¥­¨ï¬¨ [15, 76]:

8				d (t)	= !(t)
		di(t)		dt
	L		+ Ri(t) = e(t)				Ce!(t)	(1.14)
		dt
>						;
				d!(t)
<					= CM i(t) ; M(t):
>			J	dt
:					26

¤¥áì ®¡®§­ 祭ë: L, R { ¨­¤ãªâ¨¢­®áâì ¨ ªâ¨¢­®¥ ᮯà®â¨- ¢«¥­¨¥ 类୮© 楯¨, J { ¯à¨¢¥¤¥­­ë© ¬®¬¥­â ¨­¥à樨 à®â®-

à, Ce CM { ¯®áâ®ï­­ë¥, § ¢¨áï騥 ®â ª®­áâàãªâ¨¢­ëå ¯ -

ଥâ஢ ¤¢¨£ â¥«ï ¨ ¢¥«¨ç¨­ë ¯®â®ª ¢®§¡ã¦¤¥­¨ï.

¤ ­­®¬ ¯à¨¬¥à¥ n = 3 m = l = 2: ¢¥¤¥¬ ¢¥ªâ®à á®áâ®- ï­¨ï â ª, çâ®¡ë ¥£® ª®¬¯®­¥­âë ᮮ⢥âá⢮¢ «¨ §­ 祭¨ï¬

				T		3	:		­ «®£¨ç­® ®¯à¥-
(t) i(t) !(t) : x(t) = [ (t) i(t)				!(t)]
				T2R				2	¨ ¢¥ªâ®à ¢ë室
¤¥«¨¬ ¢¥ªâ®à ¢å®¤ u(t) = [e(t)				M(t)]	2 R
		T
y(t) = [ (t)	i(t)]		2R2: ª «¥£ª® ã¡¥¤¨âìáï, ãà ¢­¥­¨ï (1.14)
¯à¨­¨¬ îâ ¢¨¤ (1.3), ¢ ª®â®àëå

	2		;		;1	;		3		2			;1 3
		0	0	0			1	5		4	0	0	5
	41			0
A =		0 RL;1					CeL;1		B =		L;1	0
		0	CM J				0				0	;J
C = 0			1	0 :

1.4.2.¥â ⥫ì­ë¥ ¯¯ à âë

ਬ¥à 1. £«®¢®¥ ¤¢¨¦¥­¨¥ ¨áªãáá⢥­­®£® á¯ãâ­¨- ª ¥¬«¨. áᬮâਬ ã¯à®é¥­­ãî ¬®¤¥«ì 㣫®¢®£® ¤¢¨- ¦¥­¨ï ¨áªãáá⢥­­®£® á¯ãâ­¨ª ¥¬«¨ ( ) ®â­®á¨â¥«ì­®

¯à®¤®«ì­®© ®á¨ [19], à¨á. 1.4.

¨á. 1.4. áªãáá⢥­­ë© á¯ãâ­¨ª ¥¬«¨.

27

¡®§­ 稬 ç¥à¥§ (t) !x(t) { 㣮« ¨ 㣫®¢ãî ᪮à®áâì ªà¥- ­ \ Jx { ¬®¬¥­â ¨­¥à樨 ®â­®á¨â¥«ì­® ¯à®¤®«ì- ­®© ®á¨ x\ Mx(t) { ã¯à ¢«ïî騩 ¬®¬¥­â ®â­®á¨â¥«ì­® í⮩

®á¨, à §¢¨¢ ¥¬ë©, ­ ¯à¨¬¥à, ॠªâ¨¢­ë¬¨ ¤¢¨£ ⥫ﬨ. - ¯¨è¥¬ ãà ¢­¥­¨¥ ¤¨­ ¬¨ª¨ ¢à é ⥫쭮£® ¤¢¨¦¥­¨ï ¨ ª¨­¥- ¬ â¨ç¥áª®¥ ᮮ⭮襭¨¥, á¢ï§ë¢ î饥 㣮« ¨ 㣫®¢ãî ᪮- à®áâì. ®«ã稬

	d (t)	=	!x (t)	(1.15)
	dt		Mx(t)
8 d!x(t)
<	dt	=	Jx	:
«ï ¤ ­­®© á¨á⥬ë:	n = 2	m = 1: áâ¥á⢥­­ë¬ ®¡à §®¬

¬®¦­® ®¯à¥¤¥«¨âì ¢¥ªâ®à á®áâ®ï­¨ï, ᮯ®áâ ¢¨¢ ¥£® ª®¬¯®-

			T
­¥­â ¬ §­ 祭¨ï 㣫 ¨ 㣫®¢®© ᪮à®áâ¨: x(t) = [ (t) !x(t)] :
­®¢ ¯®«ãç ¥¬ ãà ¢­¥­¨ï ¢¨¤		(1.3), ¢ ª®â®àëå ¬ âà¨æë
0	1	0
A = 0	0 B = Jx;1 :

¨¤ ¬ âà¨æë C ®¯а¥¤¥«п¥вбп в¥¬, ª ª¨¥ ¯¥а¥¬¥­­л¥ ¨§¬¥- аповбп ¨«¨ ®в­®б¨в¥«м­® ª ª¨е ¨§ ­¨е д®а¬г«¨аг¥вбп ж¥«м г¯а ¢«¥­¨п. ¯а¨¬¥а, ¥б«¨ ¨§¬¥ап¥вбп в®«мª® г£®« ªа¥­ ,

â® l = 1 ¨ C = [1					0]: б«¨ ¨§¬¥аповбп ®¡¥ ¯¥а¥¬¥­­л¥, в®
l = 2		C = I2 :		8
ਬ¥à 2.				த®«ì­®¥ ¤¢¨¦¥­¨¥ «¥â ⥫쭮£®				¯¯-
à â		¢	⬮áä¥à¥.			ª ¨§¢¥áâ­®, ãà ¢­¥­¨ï ¯à®¤®«ì­®£®
¤¢¨¦¥­¨ï «¥â ⥫쭮£®						¯¯ à â ( ) ¢ ⬮áä¥à¥ (à¨á. 1.5)
¬®£ãâ ¡ëâì § ¯¨á ­ë ¢ ¢¨¤¥ [19, 23, 98]
	mV_ (t)=;mg sin + P cos ; qS (cx cos + cy sin )
8 mV _(t)=;mg cos + P sin + qS (;cx sin + cy cos )
>	Jz!z		=qSbmz			(1.16)
	#_(t)=!z
< x(t)=V cos cos
	_
> H (t)=V sin
£¤:¥ #, ,			{ 㣫ë â ­£ ¦ , ­ ª«®­ ¨ ¯®¢®à®â âà ¥ªâ®à¨¨\
= #		;	{ 㣮«		â ª¨\ V { §¥¬­ ï ᪮à®áâì \ mg { á¨-
«	â殮áâ¨\ S b { å à ªâ¥à­ ï ¯«®é ¤ì ¨ «¨­¥©­ë© à §¬¥à
8	¤¥áì ¨ ¤ «¥¥ ç¥à¥§ In ®¡®§­ 祭 ¥¤¨­¨ç­ ï ¬ âà¨æ ¯®à浪							n:
­®£¤		¨­¤¥ªá n		¢ § ¯¨á¨ ¡ã¤¥â ®¯ã᪠âìáï.
						28

¨á. 1.5. ¬®«¥â ¨ ¥£® ¯à®¤®«ì­ë¥ 㣫®¢ë¥ ª®®à¤¨­ âë.

\ Jz { ¬®¬¥­â ¨­¥à樨 ®â­®á¨â¥«ì­® ¡®ª®¢®© ®á¨\ q { ᪮à®áâ­®© ­ ¯®à\ x H { §¥¬­ë¥ ª®®à¤¨­ âë 業âà ¬ áá\ P { ᨫ â ¤¢¨£ ⥫ï\ cx cy mz { ª®íää¨æ¨¥­âë «®-

¡®¢®£® ᮯà®â¨¢«¥­¨ï, ¯®¤ê¥¬­®© á¨«ë ¨ ¬®¬¥­â â ­£ ¦ .­ 祭¨ï íâ¨å ª®íää¨æ¨¥­â®¢ á«®¦­ë¬ ®¡à §®¬ § ¢¨áïâ ®â ᪮à®á⨠, 㣫®¢ â ª¨ ¨ ®âª«®­¥­¨ï àã«¥¢ëå ®à£ ­®¢,

⪦¥ ®â ¢ëá®âë ¨ ᪮à®á⨠¯®«¥â .

१ã«ìâ ⥠«¨­¥ ਧ 樨, ãà ¢­¥­¨ï (1.16) ¢ ®âª«®­¥­¨- ïå ®â § ¤ ­­®© "®¯®à­®©" âà ¥ªâ®à¨¨ ¯à¨¢®¤ïâáï ª ãà ¢­¥-

­¨ï¬ á®áâ®ï­¨ï (1.3) á ¬ âà¨æ ¬¨ [23]

	2		aV			a	+ a		0	a	0	aH	3
			x			x		x		x		x
			;aV			;a	+ a		0	;a	0	;aH
			; Vy			; y		y	!z	; y	0	; Hy
A =			;amz			amz			;amz	;amz		;amz
	6		0				0		1	0	0	0	7
		cos cos			;	V sin cos			0	0	0	0
			sin			V cos			0	0	0	0
	4 a ¤		a ¢										5
	2	x	x	3
		a ¤	;a ¢
		y¤	y ¢
B =	6	amz	;amz	7								(1.17)
		0	0
		0	0

00

£¤¥	4	5		: ª ç¥á⢥ ¢¥ªâ®-
		{ ®¯®à­ë¥ §­ 祭¨ï 㣫®¢
à	á®áâ®ï­¨ï ¢§ïâ ¢¥ªâ®à ®âª«®­¥­¨© ª®®à¤¨­ â ¤¢¨¦¥­¨ï
á¨áâ¥¬ë ®â ®¯®à­ëå:				T
			x = [ V !z # x H] : ¥ªâ®à
			T	{ ᨣ­ «ë ã¯à ¢«¥­¨ï
ã¯à ¢«¥­¨ï u = [ ¤ ¢ ] £¤¥ ¤ ¢
			29

¤¢¨£ ⥫¥¬ ¨ àã«¥¬ ¢ëá®âë. 9

¨¤ ¬ âà¨æ C ¨ D § ¢¨б¨в ®в в®£®, ª ª¨¥ ¯¥а¥¬¥­­л¥ ¨§¬¥- аповбп ¤ вз¨ª ¬¨ ¨«¨ ¨б¯®«м§говбп ¯а¨ § ¯¨б¨ ж¥«¨ г¯а -

¢«¥­¨ï.

1.4.3.¥å ­¨ç¥áª¨¥ ª®­áâàãªæ¨¨

ਬ¥à 1. ¢¨¦¥­¨¥ ¯¥à¥¢¥à­ã⮣® ¬ ïâ­¨ª ­ â¥-

«¥¦ª¥. áᬮâਬ ¯¥à¥¢¥à­ãâë© ("®¡à 饭­ë©") ¬ ïâ­¨ª (à¨á. 1.6), ®áì ª®â®à®£® ᬮ­â¨à®¢ ­ ­ ⥫¥¦ª¥, ª®â®à ï ¬®¦¥â ¯¥à¥¬¥é âìáï ¢ £®à¨§®­â «ì­®¬ ­ ¯à ¢«¥­¨¨. â¥- «¥¦ªã ¢¤®«ì ­ ¯à ¢«¥­¨ï ¯¥à¥¬¥é¥­¨ï ¤¥©áâ¢ã¥â ¢­¥è­ïï ᨫ F (t): ¡®§­ 稬: m ¨ M { ¬ ááë ¬ ïâ­¨ª ¨ ⥫¥¦ª¨\ L { à ááâ®ï­¨¥ ¬¥¦¤ã ®áìî ¢à 饭¨ï ¬ ïâ­¨ª ¨ ¥£® 業- â஬ â殮áâ¨\ J { ¬®¬¥­â ¨­¥à樨 ¬ ïâ­¨ª ®â­®á¨â¥«ì­® ®á¨ ¢à 饭¨ï\ k { ª®íää¨æ¨¥­â "¢ï§ª®£®" â७¨ï\ g { ã᪮- ७¨¥ ᢮¡®¤­®£® ¯ ¤¥­¨ï. ­ã«¥¢ãî â®çªã ®âáç¥â 㣫 ®âª«®­¥­¨ï ¬ ïâ­¨ª '(t) ¯à¨¬¥¬ ­ ¯à ¢«¥­¨¥ "¢¥à⨪ «ì­®

¢¢¥àå". ¥à¥§ s(t) ®¡®§­ 稬 ¯¥à¥¬¥é¥­¨¥ ⥫¥¦ª¨ ®â­®á¨- ⥫쭮 ¢ë¡à ­­®£® ­ ç «ì­®£® (­ã«¥¢®£®) ¯®«®¦¥­¨ï.

¨á. 1.6. ¥à¥¢¥à­ãâë© ¬ ïâ­¨ª.

á室­ ï ¬ ⥬ â¨ç¥áª ï ¬®¤¥«ì á¨á⥬ë áâநâáï ®¤- ­¨¬ ¨§ ¬¥â®¤®¢ ⥮à¥â¨ç¥áª®© ¬¥å ­¨ª¨, á¬. [62], ­ ¯à¨- ¬¥à, ¢ ¢¨¤¥ ãà ¢­¥­¨© £à ­¦ ¢â®à®£® த . ª ¯®- ª § ­®, ­ ¯à¨¬¥à, ¢ [47], ã¯à®é¥­­ ï «¨­¥ ਧ®¢ ­­ ï ¬®-

¤¥«ì ¤ ­­®© á¨áâ¥¬ë ®â­®á¨â¥«ì­® ¢¥ªâ®à á®áâ®ï­¨ï x(t) =

9 «ï ªà ⪮á⨠§ ¯¨á¨ «¨­¥ ਧ®¢ ­­ëå ãà ¢­¥­¨© ᨬ¢®« ®¡ëç- ­® ®¯ã᪠¥âáï.

30

[s s s+L0' s+L0']T ¨ ¢å®¤					u(t) = F (t) ¬®¦¥â ¡ëâì § ¯¨á ­
¢ ¢¨¤¥ ãà ¢­¥­¨© (1.3) á ¬ âà¨æ ¬¨
6 ;	0		1		0	0	7	6	0	7
A = 2	0		;kM;1		0	03		B = 2 M;1		3	(1.18)
4	0		0		0	1	5	4	0	5
	gL1;1		0		gL1;1	0			0
£¤¥ ç¥à¥§ L1	= J		2			íä䥪⨢­ ï ¤«¨­					¬ ïâ-
			+ mL ®¡®§­ 祭
­¨ª .			mL
ª ¨ ¢ëè¥, ¢¨¤ ¬ âà¨æ C D ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ãá«®¢¨ï¬¨ ¨§-
¬¥à¥­¨ï.
ਬ¥à 2. ¢¨¦¥­¨¥ âà ­á¯®àâ­®£® á।áâ¢											¯® ­¥-
஢­®© ¯®¢¥àå­®áâ¨. áᬮâਬ ¤¢¨¦¥­¨¥ ¤¢ãå¬ áᮢ®©
á¨á⥬ë, á®áâ®ï饩 ¨§ á¢ï§ ­­ëå à¥áá®à ¬¨ ª®à¯ãá										¬ áᮩ
m1 ¨ ª®«¥á	¬ áᮩ m2 ¯¥à¥¬¥é î饩áï ¯® ­¥à®¢­®© ¯®-
¢¥àå­®á⨠[126] (à¨á. 1.7).					ç¨â	¥¬, çâ® á¨á⥬ à ¡®â ¥â

¨á. 1.7. à ­á¯®àâ­ ï á¨á⥬ .

¢ ®¡« á⨠«¨­¥©­ëå ã¯àã£¨å ¤¥ä®à¬ 権 ¨ ª®íää¨æ¨¥­âë

¦¥á⪮á⨠à¥áá®àë ¨ ª®«¥á à ¢­ë k1 k2: ¡®§­ 稢 ç¥à¥§
h1(t) h2(t) h3	(t) ᮮ⢥âá⢥­­® ¢¥à⨪ «ì­®¥ ¯¥à¥¬¥é¥­¨¥
ª®à¯ãá , ª®«¥á	¨ ¢ëá®âã ¯®¢¥àå­®á⨠(®â­®á¨â¥«ì­® ­¥ª®â®-
ண® ã஢­ï), ¤«ï ¢¥ªâ®à			_	_	T
		x(t) = [h1 (t)	h1(t) h2(t)	h2	(t)] ¨

¢å®¤­®£® ¢®§¤¥©á⢨ï u(t) = h3(t) ¯®«ã稬 ãà ¢­¥­¨ï á®áâ®ï- 31