Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления

çâ® ¯¥à¥¤ â®ç­ ï äã­ªæ¨ï ¨­¢ ਠ­â­ ¯® ®â­®è¥­¨î ª ¯à¥- ®¡à §®¢ ­¨î ¡ §¨á ãà ¢­¥­¨© á®áâ®ï­¨ï. ¬¥â¨¬, çâ® ¨§- ¬¥­¥­¨¥ ¡ §¨á ãà ¢­¥­¨© á®áâ®ï­¨ï ᮮ⢥âáâ¢ã¥â áâàãªâãà­ë¬ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï¬ á¨á⥬, § ¤ ­­ëå ¯¥à¥¤ â®ç­ë¬¨

äã­ªæ¨ï¬¨.	~
âà¨æë		= T AT	;1	­ §ë¢ îâáï ¯®¤®¡­ë¬¨. ­¨å
	A ¨ A

¬­®£® ®¡é¨å ᢮©áâ¢. ç áâ­®áâ¨, ¨å å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨¥
		~
¬­®£®ç«¥­ë ᮢ¯ ¤ îâ: det(sIn ; A) det(sIn ; A) á«¥¤®-
¢ ⥫쭮,	ᮢ¯ ¤ îâ ¨ ᮡá⢥­­ë¥ ç¨á« . ¡à â­®¥,		¢®-
		0	1
®¡é¥ £®¢®àï, ­¥ ¢¥à­®. ¯à¨¬¥à, ¬ âà¨æë A1 =		0	0 ¨
0	0
A2 = 0	0 ¨¬¥îâ ®¤¨­ ª®¢ë¥ ᮡá⢥­­ë¥ ç¨á«	s1 2	= 0
­® ­¥ п¢«повбп ¯®¤®¡­л¬¨.

­ «®£¨ç­® ⮬㠪 ª ¯® ª®®à¤¨­ â ¬ ¢¥ªâ®à á®áâ®ï­¨ï ¢

­®¢®¬ ¡ §¨á¥ ¬®¦­® ®¤­®§­ ç­® ¯®«ãç¨âì ¥£® ª®®à¤¨­ âë ¢
		~	¢®ááâ ­®¢¨âì ¬ âà¨æã
¨á室­®¬ ¡ §¨á¥, ¬®¦­® ¯® ¬ âà¨æ¥ A
A = T	;1	~
		AT:

«¥¤ã¥â ¨¬¥âì ¢ ¢¨¤ã, çâ® å®âï ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ ¯®¤®¡¨ï ­¥ ¨§¬¥­ï¥â ¯¥à¥¤ â®ç­®© ä㭪樨, ®¡à â­®¥, ¢®®¡é¥ £®¢®àï,

­¥ ¢¥а­®. ®¦­® ¯а¨¢¥бв¨ ¯а¨¬¥ал, ª®£¤ ®¤­®© ¨ в®© ¦¥ ¯¥- а¥¤ в®з­®© дг­ªж¨¨ ®в¢¥з ов га ¢­¥­¨п б®бв®п­¨п, ª®в®ал¥ ­¥ ¯а¥®¡а §говбп ¤аг£ ¢ ¤аг£ ­¨ ¯а¨ ª ª®© ­¥¢л஦¤¥­­®©

¬ âà¨æ¥ T: ⮠¥­¨¥ á¢ï§ ­® á ¢®§¬®¦­®©						¢ë஦¤¥­­®-
áâìî á¨áâ¥¬ë ¨ ®¡á㦤 ¥âáï ­¨¦¥, ¢ £« ¢¥ 7. á.166.
ਬ¥à. ८¡à §®¢ ­¨¥ ãà ¢­¥­¨© . ãáâì ¨á-
室­ë¥ ãà ¢­¥­¨ï á¨á⥬ë (1.15) (¯.					1.4.2. á.	28) § ¤ ­ë ¢
¢¨¤¥ (1.3) ¨ ¬ âà¨æë
	0	1		0
A = 0 0 B =				Jx;1 C = [1		0]:
		1	1
¤ ¤¨¬ ¬ âà¨æã T = 0			1	(det T = 1): 믮«­¨¬ á í⮩
¬ âà¨æ¥© ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ ¡ §¨á				à áᬠâਢ ¥¬®© á¨á⥬ë.
®«ã稬
~	0	1	~	Jx;1	~
A	= 0 0 B = Jx;1 C = [1					;1]:

"à §¢¥à­ã⮬" ¢¨¤¥ (®â­®á¨â¥«ì­® ®â¤¥«ì­ëå ª®¬¯®­¥­â ¢¥ªâ®à á®áâ®ï­¨ï) ¢ १ã«ìâ ⥠¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï ¯®«ãç ¥¬

62

ãà ¢­¥­¨ï
x~1 (t) = x~2(t) + Jx;1u(t)	y(t) = x~1(t)		x~2(t)	(1.47)
x~2 (t) = Jx;1u(t):		;

ª ¢¨¤­®, ãà ¢­¥­¨ï á®áâ®ï­¨ï (1.47) ®â«¨ç îâáï ®â ¨á- 室­ëå (1.15), ®¤­ ª® ¯à¨ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ­ ç «ì­ëå ãá«®- ¢¨ïå ¤ ­­ë¥ á¨áâ¥¬ë ¡ã¤ãâ ¨¬¥âì ®¤¨­ ª®¢ë¥ ॠªæ¨¨ ­ ¢å®¤­®¥ ¢®§¤¥©á⢨¥ { ¨å ¯¥à¥¤ â®ç­ë¥ ä㭪樨 ᮢ¯ ¤ îâ.¬¥â¨¬ â ª¦¥, çâ® ­¥ ¢á¥£¤ ª®¬¯®­¥­â ¬ ¢¥ªâ®à á®áâ®ï­¨ï 㤠¥âáï ¯à¨¯¨á âì ®¯à¥¤¥«¥­­ë© 䨧¨ç¥áª¨© á¬ëá«. ᫨ ª®¬¯®­¥­âë ¢¥ªâ®à x(t) ¢ ¨á室­®¬ ¡ §¨á¥ ᮯ®áâ ¢«ï«¨áì á ä §®¢ë¬¨ ª®®à¤¨­ â ¬¨ { 㣫®¬ ¨ 㣫®¢®© ᪮à®áâìî, â® ¯®á«¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï âà㤭® ¤ âì 䨧¨ç¥áªãî ¨­â¥à¯à¥â - æ¨î ¯®«ã祭­ë¬ ¯¥à¥¬¥­­ë¬ á®áâ®ï­¨ï. âàãªâãà­ë¥ áå¥- ¬ë, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¨á室­ë¬ (1.15) ¨ ¯à¥®¡à §®¢ ­­ë¬ (1.47) ãà ¢­¥­¨ï¬ á®áâ®ï­¨ï, ¯à¨¢¥¤¥­ë ­ à¨á. 1.14

¨á. 1.14. âàãªâãà­ë¥ á奬ë á¨á⥬ (1.15) ( ) ¨ (1.47) (¡).

áᬮâ७­ë© ¯à¨¬¥à ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® §­ 祭¨ï ¯¥à¥¬¥­- ­ëå á®áâ®ï­¨ï ¬®£ãâ ᮮ⢥âá⢮¢ âì §­ 祭¨ï¬ ­¥ª®â®àëå 䨧¨ç¥áª¨å ¯¥à¥¬¥­­ëå, ­® ¬®£ãâ ¨ ¯à¥¤áâ ¢«ïâì ᮡ®© ­¥ª®- â®àë¥ ¡áâà ªâ­ë¥ ¢¥«¨ç¨­ë. í⮩ á¢ï§¨ ¢®§­¨ª ¥â ¢®¯à®á ® à §¬¥à­®áâïå ¯¥à¥¬¥­­ëå, ¢å®¤ïé¨å ¢ ãà ¢­¥­¨ï á®áâ®ï- ­¨ï. ®-¢¨¤¨¬®¬ã, ¡®«¥¥ 㤮¡­® áç¨â âì í⨠¢¥«¨ç¨­ë ¡¥§- à §¬¥à­ë¬¨ (¢¥é¥á⢥­­ë¬¨) ç¨á« ¬¨. ਠá®áâ ¢«¥­¨¨ ¬ -

⥬ â¨ç¥áª®© ¬®¤¥«¨ á¨áâ¥¬ë ¨ ®¯à¥¤¥«¥­¨¨ ¥¥ ¯ à ¬¥â஢, â ª¦¥ ­ ç «ì­ëå ãá«®¢¨©, 䨧¨ç¥áª ï à §¬¥à­®áâì ãç¨âë- ¢ ¥âáï. «¥¥ ¬®¤¥«ì ¯®¤¢¥à£ ¥âáï ¨áá«¥¤®¢ ­¨ï¬ (ª®â®àë¥ ¬®£ãâ ¢ª«îç âì ¨ ®¯¥à 樨 ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï ¡ §¨á ), ¨¬¥î- 騬 ¡áâà ªâ­ë© å à ªâ¥à. «ï ¨­â¥à¯à¥â 樨 ¯®«ã祭­ëå १ã«ìâ ⮢ ¢ â¥à¬¨­ å ¨á室­®© § ¤ ç¨ ¢ë¯®«­ï¥âáï ®¡à â-

­®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥.

63

1.9. ¤ ç¨ ¨ ã¯à ¦­¥­¨ï

1. ¬¥îâáï ç¥âëॠç ᮢëå ãáâனá⢠, ¯®ª §ë¢ îé¨å ¢à¥- ¬ï xi (i = 1 2 3 4), ª®â®àë¥ à ¡®â îâ á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬

[174].

á⥭­ë¥ ç áë ®¯ §¤ë¢ îâ ª ¦¤ë© ç á ­ ç¥âëॠ¬¨- ­ãâë. á⮫ì­ë¥ ç áë ®¯¥à¥¦ îâ ­ á⥭­ë¥ ç áë ­ ¤¢¥ ¬¨­ãâë ¢ ç á. 㤨«ì­¨ª ®âá⠥⠮⠭ á⮫ì­ëå ç ᮢ ­ ¤¢¥ ¬¨­ãâë ¢ ç á. ª®­¥æ, ­ àãç­ë¥ ç áë ®¯¥à¥¦ îâ ¡ã- ¤¨«ì­¨ª ­ ¤¢¥ ¬¨­ãâë ¢ ç á.

) ¯¨á âì ãà ¢­¥­¨ï á®áâ®ï­¨ï, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¯à¨- ¢¥¤¥­­ë¬ ã⢥ত¥­¨ï¬, ¢ ¯à®áâà ­á⢥ x 2 X = R4 ¢ ¢¨¤¥

Ex[k + 1] = Rx[k] + r k = 0 1 2 3 : : :

á ­¥ª®â®à묨 ¬ âà¨æ ¬¨ E R ¨ ¢¥ªâ®à®¬ r ¯®« £ ï ¢à¥¬ï ¤¨áªà¥â­ë¬ á ¨­â¥à¢ «®¬ ª¢ ­â®¢ ­¨ï ¢ ®¤¨­ ç á.

¡) ਢ¥á⨠ãà ¢­¥­¨ï á®áâ®ï­¨ï ª áâ ­¤ àâ­®¬ã ¢¨¤ã x[k + 1] = Ax[k] + g:

ª § ­ ¨ ¥ . ç¥áâì, çâ®

(In ; B);1 = I+ B + B2 + + Bk +

¤«ï «î¡®© ¬ âà¨æë B â ª®©, çâ® àï¤ ¢ ¯à ¢®© ç á⨠á室¨â- áï.

¢) ãáâì ¢ ¯®«­®çì (¢ ¬®¬¥­â k = 0) ¢á¥ ç áë ãáâ ­®¢«¥­ë ¯à ¢¨«ì­®. ¯¨á âì ®¡éãî ä®à¬ã«ã ¤«ï x[k]: â® ¯®ª ¦ãâ

­àãç­ë¥ ç áë ¢ 7.00 ãâà (â.¥. ¯à¨ k = 7)?

2.¥è¨âì ¯à¥¤ë¤ãéãî § ¤ ç㠯ਠ᫥¤ãî饬 ®¯¨á ­¨¨ 室 ç ᮢ.

á⥭­ë¥ ç áë ®¯ §¤ë¢ îâ ª ¦¤ë© ç á ­	¤¢¥ ¬¨­ãâë.
á⮫ì­ë¥ ç áë ®¯¥à¥¦ îâ ­ á⥭­ë¥ ç áë ­	¤¢¥ ¬¨­ã-

âë ¢ ª ¦¤ë© ç á, ª®â®àë© à¥£¨áâà¨àãîâ ­ á⥭­ë¥ ç áë.㤨«ì­¨ª ®âá⠥⠮⠭ á⮫ì­ëå ç ᮢ ­ ¤¢¥ ¬¨­ãâë ¢ ª - ¦¤ë© ç á, ॣ¨áâà¨àã¥¬ë© ­ á⮫ì­ë¬¨ ç á ¬¨. àãç­ë¥ ç áë ®¯¥à¥¦ î⠡㤨«ì­¨ª ­ ¤¢¥ ¬¨­ãâë ¢ ç á, ॣ¨áâà¨- àã¥¬ë© ¡ã¤¨«ì­¨ª®¬.

¬¥¥âáï ­¥«¨­¥©­ ï á¨á⥬

x1(t) = x2(t)

x2(t) = 2x1 (t)3 ; u(t)x2(t):

64

) ãáâì x1(1) = 1 x2(1) = ;1 ¨ ¢å®¤­®¥ ¢®§¤¥©á⢨¥ u(t) 0: ©â¨ x(t): ( ª § ­ ¨ ¥ . áᬮâà¥âì á⥯¥­¨ t).

¡) ᯮ«ì§ãï ¯à®æ¥¤ãàã «¨­¥ ਧ 樨 (á¬. ¯. 1.3.), ­ ©â¨ ãà ¢­¥­¨ï ­¥áâ 樮­ à­®© «¨­¥©­®© ¬®¤¥«¨, ®¯¨áë¢ î饩 ¯®¢¥¤¥­¨¥ à áᬠâਢ ¥¬®© á¨áâ¥¬ë ¯à¨ ¬ «ëå ®âª«®­¥­¨ïå ®â ¯®«ã祭­®£® à¥è¥­¨ï.

¢) ©â¨ ¯à¨¡«¨¦¥­­®¥ à¥è¥­¨¥ ¨á室­®£® ãà ¢­¥­¨ï ¯à¨ x1(1) = 1:5 x2 (1) = 0:5 u(t) 0:5.

4. á室­ë¥ ãà ¢­¥­¨ï á¨áâ¥¬ë ¬®£ãâ ­¥ ¨¬¥âì áâ ­¤ àâ- ­®£® ¢¨¤ . ®«¥¥ ®¡é¥© ä®à¬®© (1.5) ï¥âáï ®¡®¡é¥­­®¥ ãà ¢­¥­¨¥ á®áâ®ï­¨ï [174]

Ex[k + 1] = Ax[k] + Bu[k]

(1.48)

á n n-¬ âà¨æ ¬¨ A E ¨ n m-¬ âà¨æ¥© B ª®â®à®¥ ­ §ë¢ ¥â- áï â ª¦¥ ãà ¢­¥­¨¥¬ ¢ ¤¥áªà¨¯â®à­®© ä®à¬¥. ᫨ det E = 0

¤ ­­ ï á¨á⥬ ᮤ¥à¦¨â áâ â¨ç¥áª¨¥ ¨ ¤¨­ ¬¨ç¥áª¨¥ á®®â- ­®è¥­¨ï, ¢ ­¥ª®â®à®¬ á¬ëá«¥ áâ â¨ç¥áª¨¥ ãà ¢­¥­¨ï "¢áâà®- ¥­ë" ¢ ¤¨­ ¬¨ç¥áªãî ¬®¤¥«ì. ਠ¤®áâ â®ç­® ®¡é¨å ãá«®- ¢¨ïå ¤ ­­ ï á¨á⥬ ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à¨¢¥¤¥­ ª ãà ¢­¥­¨ï¬,

¯®à冷ª ª®â®àëå ¬¥­ìè¥ ¯®à浪								¨á室­®© á¨á⥬ë.		á-
ᬮва¨¬ б«¥¤гойго § ¤ зг.
ãáâì á¨á⥬					®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢­¥­¨ï¬¨
					T		C	u[k]
					0 x[k + 1] = D x[k] + v[k]
£¤¥ x[k]	2R	n T C { m n-¬ âà¨æë, D { ¬ âà¨æ							à §¬¥à	(n	;
			m	v[k]2R		n;m
m) n u[k]2R							:		DT ¢ë¯®«-
।¯®« £ ï ­¥¢ë஦¤¥­­®áâì n n-¬ âà¨æë
­¨âì á«¥¤ãî騥 ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï ¤«ï ¯à¨¢¥¤¥­¨ï á¨áâ¥¬ë ª
áâ ­¤ àâ­®¬ã ¢¨¤ã (1.5):
							¨, ¨á¯®«ì§ãï ¤ ­­®¥ ®¯à¥¤¥«¥­¨¥
) ¢¥á⨠¢¥ªâ®à x~ = T x

¨ ­¨¦­¨© ¡«®ª ãà ¢­¥­¨© á¨á⥬ë, § ¯¨á âì x[k] ª ª x[k] = Hx~[k] ; Gv[k]:

ਢ¥á⨠®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ ¤«ï G ¨ H:

¡) ®ª § âì, çâ® ¢¥àå­¨© ¡«®ª ¨á室­®© á¨áâ¥¬ë ¬®¦¥â ¡ëâì § ¯¨á ­ ãà ¢­¥­¨ï¬¨ á®áâ®ï­¨ï ¢¨¤

x~[k + 1] = Rx~[k] + Bv[k] + u[k]:

65

®«ãç¨âì ¢ëà ¦¥­¨ï ¤«ï R ¨ B: ( ¬¥â¨¬, çâ® x[k] ¬®¦­® ¢®ááâ ­®¢¨âì ¯® x~[k] ¨á¯®«ì§ãï ¯ã­ªâ )

5. ¬ãí«ìá®­®¬ [174, 188] ¯à¥¤«®¦¥­ á«¥¤ãîé ï ¬®¤¥«ì ­ 樮­ «ì­®© íª®­®¬¨ª¨. 樮­ «ì­ë© ¤®å®¤ Y [k] à ¢¥­ á㬬¥ ¯®âॡ«¥­¨ï C[k] ¨­¢¥áâ¨æ¨© I [k] ¨ ¯à ¢¨â¥«ìá⢥­- ­ëå à á室®¢ G[k]: ®âॡ«¥­¨¥ ¯à®¯®à樮­ «ì­® ­ 樮­ «ì- ­®¬ã ¤®å®¤ã § ¯à¥¤ë¤ã騩 £®¤, ¨­¢¥áâ¨æ¨¨ ¯à®¯®à樮- ­ «ì­ë à®áâã à á室®¢ ­ ¯®âॡ«¥­¨¥ ¬¥¦¤ã ¤ ­­ë¬ £®¤®¬ ¨ ¯à¥¤ë¤ã騬. ⨠¯à¥¤¯®«®¦¥­¨ï ¯à¨¢®¤ïâ ª ãà ¢­¥­¨ï¬

Y [k] = C[k] + I[k] + G[k]

				C[k + 1] = mY [k]
				I [k + 1] = ;C[k + 1] ; C[k]
¨«¨ ª ãà ¢­¥­¨ï¬ ¢ ¬ âà¨ç­®© ä®à¬¥ (1.48) á ¬ âà¨æ ¬¨
	2 1				03			2 0			0	3		2 1 3
	4	0	0		0	5		4	1	1	;1			4	0	5
												5
E =		0	1		0		A =		0	0	m		B =		0
			;							;

¨ ¢¥ªâ®à®¬ á®áâ®ï­¨ï x = colfI C Y g:

ᯮ«ì§ãï १ã«ìâ â ã¯à ¦­¥­¨ï 4, ¯à¨¢¥á⨠¤ ­­ë¥ ãà ¢- ­¥­¨ï ª áâ ­¤ àâ­ë¬ à §­®áâ­ë¬ ãà ¢­¥­¨ï¬ ¢¨¤ (1.5) ¢â®- ண® ¯®à浪 .

6. à ¢­¥­¨ï 㣫®¢®£® ¤¢¨¦¥­¨ï ¨áªãáá⢥­­®£® á¯ãâ- ­¨ª ¥¬«¨ ¯à¨ ¤¥©á⢨¨ ã¯à ¢«ïî饣® ¬®¬¥­â ®â­®á¨-

⥫쭮 £« ¢­ëå ®á¥© ¨­¥à樨 § ¤ îâáï ãà ¢­¥­¨ï¬¨ ©«¥à ([19, 23, 94], á¬. â ª¦¥ á. 28) ¨ ¨¬¥îâ ¢¨¤

	>	!x(t) = Jz ; Jy !y!z + Mx(t)
				Jx			Jx
	8		;
		!y(t) =		Jx ; Jz	!z!x	+	My(t)
	<						Jy
			;	Jy
		!z(t) =		Jy ; Jx	!x!y	+ Mz(t)
	>		;
				Jz			Jz
£¤¥	Ji Mi !i (i:= x y z) { ᮮ⢥âá⢥­­® á®áâ ¢«ïî騥 ¬®-

¬¥­â ¨­¥à樨, ã¯à ¢«ïî饣® ¬®¬¥­â ¨ 㣫®¢®© ᪮à®á⨠®â­®á¨â¥«ì­® ®á¥© á¢ï§ ­­®© á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨­ â (x y z):

®« £ ï Jy = Jz = J ¯®«ãç¨âì ®¯®à­ãî âà ¥ªâ®à¨î ¤¢¨-

¦¥­¨ï ¯à¨ Mi(t) 0 (i = x y z).

믮«­¨âì «¨­¥ ਧ æ¨î ãà ¢­¥­¨© ¤¢¨¦¥­¨ï á¯ãâ­¨ª ®â­®á¨â¥«ì­® ¤ ­­®© âà ¥ªâ®à¨¨.

66

2.-

¢¨¤ã ⮣®, çâ® ¨¬¥¥âáï ¬­®¦¥á⢮ íª¢¨¢ «¥­â­ëå (á â®ç- ª¨ §à¥­¨ï ¢å®¤®-¢ë室­ëå ᮮ⭮襭¨©) ᯮᮡ®¢ ¯à¥¤áâ - ¢«¥­¨ï ãà ¢­¥­¨© á®áâ®ï­¨ï á¨á⥬ë, ¬®¦­® ¢ë¡à âì ¨§ ­¨å "­ ¨«ãç訥" { ­ ¨¡®«¥¥ 㤮¡­ë¥ ¤«ï ¨á¯®«ì§®¢ ­¨ï ¢ à á- ᬠâਢ ¥¬®© § ¤ ç¥. ª¨¥ ä®à¬ë § ¯¨á¨ ãà ¢­¥­¨© ­ - §ë¢ îâáï ª ­®­¨ç¥áª¨¬¨. ®бª®«мªг ¬®¦¥в ¡лвм ¬­®£® а §- «¨з­ле ¯а¨«®¦¥­¨©, ¨§¢¥бв­® ¨ ¬­®£® ª ­®­¨з¥бª¨е д®а¬.бᬮва¨¬ ­¥ª®в®ал¥, ­ ¨¡®«¥¥ а б¯а®бва ­¥­­л¥ ¨§ ­¨е.б­®¢­®¥ ¢­¨¬ ­¨¥ ¡г¤¥в г¤¥«пвмбп б¨бв¥¬ ¬ б ®¤­¨¬ ¢е®- ¤®¬ ¨ ¢л室®¬.

2.1. ¨ £®­ «ì­ ï ¨ ¦®à¤ ­®¢ ä®à¬ë

ãáâì ᮡá⢥­­ë¥ ç¨á« ¬ âà¨æë A ¢ (1.3) § ¤ ­ë ¨ à ¢­ë si i = 1 2 : : : n : áᬮâਬ á«¥¤ãî騥 á«ãç ¨.

2.1.1.à®áâë¥ ¢¥é¥á⢥­­ë¥ ᮡá⢥­­ë¥ ç¨á«

ãáâì si { ¯à®áâë¥, â.¥.	si	= sj	¯à¨ i = j	i j = 1 2 : : : n
		6	6		1
¨, ªà®¬¥ ⮣®, ®­¨ ¢¥é¥á⢥­­ë¥: Imsi = 0: í⮬ á«ãç ¥

«î¡ãî ¬ âà¨æã n n ¬®¦­® ¯à¨¢¥áâ¨ á ¯®¬®éìî ­¥ª®â®à®- £® ­¥¢ë஦¤¥­­®£® ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï ª ¤¨ £®­ «ì­®© ¬ âà¨æ¥ A = diagfs1 s2 : : : sng [53, 115] ¨«¨, ¡®«¥¥ ¯®¤à®¡­®, ª ¬ âà¨æ¥ ¢¨¤

	2	s1	0	0	: : :	0	0	3
		0	s2	0	: : :	0	0
A =		0	0	s3	: : :	0	0		:	(2.1)
		.			...		.
	4							5
	6	0	0	0	: : :	sn;1	0
		0	0	0	: : :	0	sn 7

ª ­¥âà㤭® ã¡¥¤¨âìáï, ¬­®¦¥á⢮ fsig ¤¥©á⢨⥫쭮 ®¡à - §ã¥â ᯥªâà ¬ âà¨æë (2.1). «ï í⮣® ­ ©¤¥¬ å à ªâ¥à¨áâ¨-

1 «¥¤г¥в ¨¬¥вм ¢ ¢¨¤г, зв® ®вбгвбв¢¨¥ ªа в­ле б®¡бв¢¥­­ле з¨б¥« п¢«п¥вбп ¤®бв в®з­л¬, ­¥ ­¥®¡е®¤¨¬л¬ гб«®¢¨¥¬ ¢®§¬®¦­®бв¨ ¯а¥- ®¡а §®¢ ­¨п ¬ ва¨жл ª ¢¨¤г (2.1) ¨«¨ (2.4). а¨ ¢л¯®«­¥­¨¨ ­¥ª®в®але гб«®¢¨© в ª®¥ ¯а¥®¡а §®¢ ­¨¥ ¢л¯®«­¨¬® ¨ ¯а¨ ­ «¨з¨¨ ªа в­ле б®¡- бв¢¥­­ле з¨б¥«. ®«¥¥ ¯®¤а®¡­® нв®в ¢®¯а®б ®¡б㦤 ¥вбп ¢ б«¥¤гой¥¬ ¯. 2.1.3. ¨ ¢ «¨в¥а вга¥ ¯® в¥®а¨¨ ¬ ва¨ж (б¬., ­ ¯а¨¬¥а, [53, 66, 115]).

67

ç¥áªãî ¬ âà¨æã sIn ; A, ª®â®à ï ⮦¥ ®ª §ë¢ ¥âáï ¤¨ £®- ­ «ì­®©, sIn ; A = diagfs; sig: à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨© ¬­®£®- ç«¥­ ¥áâì ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì ¤ ­­®© ¬ âà¨æë, ¤«ï ¤¨ £®­ «ì­®©

¬ âà¨æë ®­ à ¢¥­ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨î í«¥¬¥­â®¢ £« ¢­®© ¤¨ £®­ -
		Q
«¨ [53]. «¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®«ãç	¥¬ A(s) =	in=1 (s ; si)	®âªã¤
­¥¯®á।á⢥­­® á«¥¤ã¥â ¢ëáª	§ ­­®¥ ã⢥ত¥­¨¥.

ª®© ¡ §¨á 㤮¡¥­ ⥬, çâ® ¢ ­¥¬ ãà ¢­¥­¨ï á¨á⥬ë à á- ¯ ¤ îâáï ­ ãà ¢­¥­¨ï n ­¥§ ¢¨á¨¬ëå ¯®¤á¨á⥬ ¯¥à¢®£® ¯®- à浪 . ।¯®« £ ï ¤«ï ¯à®áâ®âë § ¯¨á¨, çâ® u(t) 2R (m = 1) ¯à¨¢¥¤¥¬ ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ãà ¢­¥­¨ï á®áâ®ï­¨ï "¢ à §- ¢¥à­ã⮬ ¢¨¤¥", â.¥. ¢ ¢¨¤¥ á¨á⥬ë ãà ¢­¥­¨© ¯¥à¢®£® ¯®-

à浪

®â­®á¨â¥«ì­® ª®¬¯®­¥­â®¢ ¢¥ªâ®à x: ®«ã稬

>

x1(t) = s1x1(t) + b1u(t)

<

(t)

=

s2x2(t) + b2u(t)

(2.2)

8 x2

.

> xn(t) = snxn(t) + bnu(t):

¨¤­®, çâ® §¤¥áì:xi(t) ­¥ § ¢¨áïâ ®â xj (t) (¯à¨ i = j): «¥¤®¢ -

⥫쭮, ¯à®¨á室¨â

6

¢ëá®-

¤¥ª®¬¯®§¨æ¨ï á¨á⥬ë { á¨á⥬

ª®£® (n-£®) ¯®à浪 à ᯠ¤ ¥âáï ­

n ­¥§ ¢¨á¨¬ëå ¯®¤á¨á⥬

¬¥­ì襣® (¯¥à¢®£®) ¯®à浪 . á«¥¤á⢨¥ í⮣® ã¯à®é ¥âáï

à áç¥â ¯à®æ¥áᮢ ¢ á¨á⥬¥.

®á¬®âਬ, ª ª ï áâàãªâãà

á¨á⥬ë ᮮ⢥âáâ¢ã¥â â -

ª®© ä®à¬¥ ¬ âà¨æë A á â®çª¨ §à¥­¨ï ¯¥à¥¤ â®ç­ëå ä㭪権.

ãáâì

l =

m = 1 { á¨á⥬

¨¬¥¥â ®¤¨­ ¢å®¤ ¨ ®¤¨­ ¢ë室,

B =

b1 b2

: : : bn

bi

C

=

c1 c2

: : : cn

: § (2.2) áà §ã ¯®«ã-

T

ç ¥¬, çâ® ¯¥à¥¤ â®ç­ë¥ ä㭪樨 ª xi ®¯а¥¤¥«повбп ¢ла ¦¥-

­¨ï¬¨ Wi(s) =

i = 1 2 : : : n

: ç¨âë¢ ï ãà ¢­¥­¨¥

s

; si

P

n

¢ë室

y(t) = Cx(t)

i=1 cixi(t)

¯®«ã稬, çâ® ¯¥à¥¤ â®ç­ ï

äã­ªæ¨ï ¢á¥© á¨áâ¥¬ë ¨¬¥¥â ¢¨¤

n

;

X

W(s) =

Ki

£¤¥ Ki = cibi:

i=1

s

si

ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤¨ £®­ «ì­ ï ä®à¬ ¬ âà¨æë A ᮮ⢥âáâ¢ã- ¥â á¨á⥬¥, á®áâ®ï饩 ¨§ ¯ à ««¥«ì­® ᮥ¤¨­¥­­ëå ¯®¤á¨- á⥬ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 ( ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨å ¨«¨ ¨­â¥£à¨àãîé¨å

§¢¥­ì¥¢).

68

2.1.2. à®áâë¥ ¬­¨¬ë¥ ᮡá⢥­­ë¥ ç¨á«

®«¥¥ á«®¦­ë¬ á«ãç ¥¬ ï¥âáï ­ «¨ç¨¥ ã ¬ âà¨æë A ­¥- ¢¥é¥á⢥­­ëå ª®à­¥©. 2 ª ¨ ¢ëè¥, ¯à¨ ¯à®áâëå ᮡá⢥­-

­ëå ç¨á« å, ¬ âà¨æ A â ª¦¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à¨¢¥¤¥­ ­¥¢ë- ஦¤¥­­ë¬ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥¬ ª ¤¨ £®­ «ì­®¬ã ¢¨¤ã (2.1), ®¤- ­ ª® â ª ï ¬ âà¨æ ¡ã¤¥â ᮤ¥à¦ âì ­ ¤¨ £®­ «¨ ¬­¨¬ë¥ í«¥¬¥­âë. â® ­¥ã¤®¡­® ¤«ï ¤ «ì­¥©è¥£® ¥¥ ¨á¯®«ì§®¢ ­¨ï.«ï ãáâà ­¥­¨ï 㪠§ ­­®© âà㤭®á⨠¨á¯®«ì§ã¥âáï ª¢ §¨¤¨ -

£®­ «ì­ ï (¡«®ç­®-¤¨ £®­ «ì­ ï) ä®à¬

[53, 115].

ਠ⠪®¬

¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¨ ¬­¨¬ë¬ ª®à­ï¬ si i+1

= i i| å à ªâ¥à¨áâ¨-

ç¥áª®£® ¬­®£®ç«¥­ ᮮ⢥âáâ¢ãîâ

¡«®ª¨ (ª«¥âª¨) ¢¨¤

i

i

:

Ai = ; i

i

(2.3)

à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨© ¬­®£®ç«¥­ ¤ ­­®© ¬ âà¨æë Ai(s) = (s

i)2+ i2 = s2;2 is+ 2i

+ i2: ®à­¨ í⮣® ¬­®£®ç«¥­

si i+1 = ;i

| i ᮢ¯ ¤ îâ á § ¤ ­­ë¬¨. ª®­ç ⥫쭮 ¬ âà¨æ A ¨¬¥¥â

б«¥¤гойго ¡«®з­го бвагªвгаг (®¯а¥¤¥«¥­­го б в®з­®бвмо

¤® ¯®à浪 á«¥¤®¢ ­¨ï ¡«®ª®¢):

2

s1

0

0

0

: : :

0

3

0

s2

0

0

: : :

0

.

. ..

: : :

.

0

: : :

0 sq

0

: : :

0

A =

0

: : :

0

1

1

: : :

0

:

(2.4)

0

: : :

0 ; 1

1 : : :

0

6

.

.. . ...

.

7

0

: : :

0

r

r

0

: : :

0

;

r r

4

5

¥é¥á⢥­­ë¬ ª®à­ï¬ s1

: : : sq å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®£® ¬­®£®-

ç«¥­

ᮮ⢥âáâ¢ãîâ

¡«®ª¨ à §¬¥à

1 1 ¬­¨¬ë¬ ª®à­ï¬

sq+2i;1 q+2i = i | i

i

= 1

2 : : : r

ᮮ⢥âáâ¢ãîâ ¡«®ª¨

à §¬¥à

2 2 ¢¨¤

(2.3).

2 ®áª®«ìªã

à áᬠâਢ îâáï

ãà ¢­¥­¨ï

á ¢¥é¥á⢥­­ë¬¨ ª®íä-

ä¨æ¨¥­â ¬¨, ¬­¨¬ë¥ ª®à­¨

å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®£® ¬­®£®ç«¥­ ¡ã¤ãâ

ª®¬¯«¥ªá­®-ᮯà殮­­ë¬¨, si i+1 = i |i

(|2 = ;1)

i = Resi i+1

i =

jImsi i+1j:

69

ëç¨á«ïï å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨© ¬­®£®ç«¥­ ¬ âà¨æë (2.4), ­ «®£¨ç­® ¯. 2.1.1. á. 67, ¯®«ã稬

	q		r
det(sIn ; A) =	Y	(s ; si)	Y	(s2	; 2 js + j2 + j2):
	i=1		j=1
ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ âà¨æ		A ¨¬¥¥â § ¤ ­­ë¥ ᮡá⢥­­ë¥ ç¨-

á« si. ᫨ á­®¢ § ¯¨á âì ãà ¢­¥­¨ï á®áâ®ï­¨ï ¤«ï ª ¦¤®© ª®¬¯®­¥­âë ¢¥ªâ®à x â® ã¡¥¦¤ ¥¬áï, çâ® á¨á⥬ "à ᯠ- ¤ ¥âáï" ­ q + r ­¥§ ¢¨á¨¬ëå ¯®¤á¨á⥬ ¯¥à¢®£® ¨ ¢â®à®£® ¯®à浪®¢. ਠm = l = 1 ¯¥à¥¤ â®ç­ ï äã­ªæ¨ï á¨áâ¥¬ë ¯à¨­¨¬ ¥â ¢¨¤

		q+r
W(s) =		X		Wi(s)		£¤¥					(2.5)
		i=1
Wi(s) = 8						Ki				i = 1 : : : q
					d0 s	+ dsj ; si
		>			j			j = i	;	q i = q + 1 : : : q	+ r:
					; 2 js + j + j
		> s
		<		2		2	2
«¥¤®¢ ⥫쭮,:					â ª®© ä®à¬¥ ãà ¢­¥­¨© á®áâ®ï­¨ï ᮮ⢥â-
áâ¢ã¥â à §«®¦¥­¨¥ ¯¥à¥¤ â®ç­®© ä㭪樨 á¨áâ¥¬ë ­ á« £ -
¥¬ë¥ ¯¥à¢®£® ¨ ¢â®à®£® ¯®à浪®¢, çâ® ¨««îáâà¨àã¥âáï à¨á.
2.1.	3

áᬮâ७­ë¥ ¢ëè¥ ª ­®­¨ç¥áª¨¥ ä®à¬ë ¬ âà¨æë A (2.1)

¨(2.4) ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®© ç áâ­ë¥ á«ãç ¨ â ª ­ §ë¢ ¥¬®©

¢¥é¥á⢥­­®© ä®à¬ë ®à¤ ­ . ª ï ä®à¬ ¬®¦¥â ¡ëâì ¯®- «ã祭 , ¥á«¨ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨© ¬­®£®ç«¥­ ¬ âà¨æë A ­¥ ¨¬¥¥â ªà â­ëå ª®à­¥©. ¨¦¥ ¯à¨¢¥¤¥­ ®¡é¨© ¢¨¤ ¢¥é¥á⢥­- ­®© ¦®à¤ ­®¢®© ä®à¬ë ¯à¨ ­ «¨ç¨¨ ã ¬ âà¨æë A ªà â­ëå

ᮡá⢥­­ëå ç¨á¥« (á¬. á­®áªã 1 ­ á. 67).

3¤¥áì (¨ ¤ «¥¥ ¢ ª­¨£¥) áâàãªâãà­ë¥ áå¥¬ë «¨­¥©­ëå á¨á⥬ ᮤ¥à-

¦â ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨© §¢¥­ì¥¢ (¯®¤á¨á⥬) ¢ ¢¨¤¥ ¨å ¯¥à¥¤ â®ç- ­ëå ä㭪権. ­®£¤ , çâ®¡ë ¯®¤ç¥àª­ãâì ®â«¨ç¨¥ ¬¥¦¤ã ॠ«ì­ë¬¨ ¯à®æ¥áá ¬¨ ¨ ¨å ¨§®¡à ¦¥­¨ï¬¨ ¢ ª®¬¯«¥ªá­®© ®¡« á⨠[76, 95, 66], ­ áâàãªâãà­ëå á奬 å ¨á¯®«ì§ãîâ á¯¥æ¨ «ì­ë¥ ®¡®§­ 祭¨ï ¤«ï ®¯¥à â®-

஢ ¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨ï ¨ ᤢ¨£ ¢¯¥à¥¤ [76]. ë í⮣® ¤¥« âì ­¥ ¡ã¤¥¬, à áᬠâਢ ï ¯¥à¥¤ â®ç­ãî äã­ªæ¨î ¯à®áâ® ª ª ª®¬¯ ªâ­ãî ä®à¬ã § - ¯¨á¨ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ãà ¢­¥­¨©.

70

¨á. 2.1. âàãªâãà­ ï á奬 , ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï ¦®à¤ ­®¢®© ä®à¬¥ (2.4).

2.1.3.	¡é¨© á«ãç ©. ¥é¥á⢥­­ ï ä®à¬ ®à¤ ­
ãáâì ¬ âà¨æ A ¯®à浪				n ¨¬¥¥â ªà â­ë¥ ᮡá⢥­­ë¥ ç¨-
á« : s1	{ ªà â­®á⨠l1	s2		{ ªà â­®á⨠l2 : : : sp { ªà â­®áâ¨
lp: 믮«­¥­® ãá«®¢¨¥		P	ip=1 li = n: ਠ­ «¨ç¨¨ ªà â­ëå ª®à-
­¥© ­¥ ¢áïª ï ¬ âà¨æ		¬®¦¥â ¡ëâì ­¥¢ë஦¤¥­­ë¬ ¯à¥®¡à -

§®¢ ­¨¥¬ ¯à¨¢¥¤¥­ ª ¤¨ £®­ «ì­®© ¨«¨ ¡«®ç­®-¤¨ £®­ «ì- ­®© ä®à¬¥ (2.1), (2.4). ¤­ ª® ¨§¢¥á⥭ ¡®«¥¥ ®¡é¨© ¡«®ç­®- ¤¨ £®­ «ì­ë© ª ­®­¨ç¥áª¨© ¢¨¤ ¬ âà¨æë A, ª®â®àë© ¬®¦¥â ¡ëâì ¯®«ã祭 ¨ ¤«ï ªà â­ëå ᮡá⢥­­ëå ç¨á¥« ¯à¨ «î¡®© ¨á室­®© ¬ âà¨æ¥ [53, 66, 115]. í⮩ ä®à¬¥ ¬ âà¨æ A ¨¬¥¥в б«¥¤гойго ¡«®з­го бвагªвгаг: 4

A = 2	J1		0	: : :	0	3
	0		J2	: : :	0			(2.6)
6	.		: : : . .. .
	0		: : :	0	Jr 7
4						5
£¤¥ Ji i = 1 2 : : : r { ª«¥âª¨ (ï騪¨) ®à¤ ­ , ¨¬¥î騥 ¢¨¤:
4 í⮬ á«ãç ¥ â ª¦¥ £®¢®àïâ, çâ® ¬ âà¨æ							A ¯à¥¤áâ ¢«¥­	¢ ᮡ-

á⢥­­®¬ ¡ §¨á¥.

71