15. Строение теоремы. Простые и составные теоремы. Взаимно обратные и взаимно противоположные теоремы. Необходимые и достаточные условия.
В математике
утверждения, выводимые из аксиом,
определений и ранее доказанных
утверждений, называются теоремами. В
алгебре высказываний теоремой
называют истинное высказывание вида
.
В теореме
высказывание
называется условием
теоремы, высказывание
- заключением
теоремы.
Различают простые и составные теоремы. Теорема называется простой, если высказывания и являются простыми. Теорема называется составной, если хотя бы одно из высказываний или является составным. Поскольку понятие простого (составного) высказывания является относительным, то и понятие простой (составной) теоремы является относительным.
Иногда доказательство составной теоремы можно свести к доказательству нескольких простых теорем.
Теорема 4.
Пусть
- теорема и
.
Тогда
.
Доказательство.
Используя равносильные преобразования
формул АВ,
получим
.
Теорема доказана.
Теорема 5.
Пусть
- теорема и
.
Тогда
.
Доказательство.
Используя равносильные преобразования
формул АВ,
получим
.
Теорема доказана.
Взаимно обратные и взаимно противоположные теоремы
Если в теореме
условие
заменить на заключение
,
то получим утверждение, которое называется
утверждением, обратным
теореме
,
и обозначается
,
т.е.
.
Если утверждение
является теоремой, то она называется
теоремой,
обратной теореме
.
Пусть - теорема. Если в теореме условие заменить на заключение , то получим теорему , т.е. теорема является обратной теореме . Поэтому теоремы и называют взаимно обратными теоремами.
Если в теореме
условие
заменить его отрицанием
,
а заключение
заменить отрицанием
,
то получим утверждение, которое называется
утверждением, противоположным
теореме
,
и обозначается
,
т.е.
.
Если утверждение
является теоремой, то она называется
теоремой,
противоположной теореме
.
Пусть - теорема. Если в теореме условие заменить его отрицанием , а заключение заменить отрицанием , то получим теорему , т.е. теорема является противоположной теореме . Поэтому теоремы и называют взаимно противоположными теоремами.
Рассмотрим утверждения, обратное противоположному и противоположное обратному:
;
.
Таким образом,
.
Замечание
1. Поскольку
,
т.е. утверждения
и
равносильны, то утверждение, обратное
противоположному теореме
,
всегда является истинным.
Замечание
2. Поскольку
,
то утверждение, обратное теореме
,
является истинным тогда и только тогда,
когда утверждение, противоположное
теореме
,
является истинным.
Необходимые и достаточные условия в теореме
В теореме
высказывание
называется достаточным
условием
для
,
поскольку выполнимость
влечет выполнимость
(из
и
следует
).
Высказывание
в теореме
называется
необходимым
условием
для
,
поскольку невыполнимость
влечет невыполнимость
(из
и
следует
).
Пример 1. Сформулируем теорему «Если целое число a делится на 9, то число а делится на 3» с использованием слов «необходимо» и «достаточно»:
- «Для того, чтобы целое число а делилось на 3, достаточно, чтобы число а делилось на 9»;
- «Для того, чтобы целое число а делилось на 9, необходимо, чтобы число а делилось на 3».
Замечание 3. Если утверждение является теоремой, то в теореме высказывание также является и необходимым условием для (а является достаточным условием для ), т.е. - необходимое и достаточное условие для (а также, - необходимое и достаточное условие для ). Высказывание в этом случае называют критерием (для ).