17. Кванторы общности и существования.
Над предикатами выполняют также особые операции, которые не имеют аналогов среди операций над высказываниями. Это кванторные операции, или иначе, операции квантификации. Рассмотрим кванторные операции над одноместными предикатами.
Определение
26. Операцией
связывания квантором общности одноместных
предикатов
называется операция на множестве всех
одноместных предикатов, которая каждому
предикату
ставит в соответствие высказывание,
обозначаемое
(читается “для любого
имеет место
”),
которое истинно
- тождественно истинный предикат, то
есть
= |
если - тождественно истинный предикат, |
если - опровержимый предикат. |
Символ
называется квантором
общности по переменной
.
Пример 1.
1)
:
на R
– опровержимый предикат
:
“Для любого
R
имеет место
”-
ложное высказывание.
2)
:
на R
–
тождественно истинный предикат
:
“Для
любого
R
имеет место
”
– истинное высказывание.
Определение
27. Операцией
связывания квантором существования
одноместных предикатов
называется операция на множестве всех
одноместных предикатов, которая каждому
предикату
ставит в соответствие высказывание,
обозначаемое
(читается “существует
такой, что имеет место
”),
которое ложно
- тождественно ложный предикат, то есть
= |
если - тождественно ложный предикат, |
если - выполнимый предикат. |
Символ
называется квантором существования по
переменной
.
Пример 2.
1) : на R – выполнимый предикат : “существует такое R, что имеет место ” – истинное высказывание.
2)
:
“
”
на R
– тождественно ложный предикат
:
“существует такое
R,
что имеет место
”
– ложное высказывание.