Вводная часть

Наш курс не отвечает на вопрос: ЗАЧЕМ НУЖНА ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА? Действительно, большинству из вас она никогда не потребуется. Это факт. Но изучение высшей математики предусмотрено учебными планами практически всех ВУЗов, и появляются задания, контрольные работы, которые необходимо сдавать. Тоже факт. Предлагаемый курс отвечает на вопрос: КАК ЭТО РЕШАТЬ?

Лекции носят сугубо практическую направленность, и при изучении той или иной темы мы даже не всегда вам расскажем, ЧТО ЭТО ТАКОЕ и не всегда дадим строгие математические определения.

Но на глобальный вопрос ответим. Один раз. Так ЗАЧЕМ ЖЕ НУЖНА ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА? Изучение высшей математики очень хорошо развивает интеллект, как «фитнес для ума». Если Вы освоили высшую математику, то сможете разобраться в любом предмете, в любой профессиональной деятельности. А может, и станете олигархом, или председателем кабинета министров, как Сергей Юльевич Витте, который имел математическое высшее образование.

Что самое трудное в математике?

Самым трудным при решении математических задач бывает правильно сформулировать вопрос. Правильно поставленный вопрос - это больше чем половина решения, часто это единственное, для чего требуется находчивость, тогда как для получения ответа требуются лишь общеизвестные способы вычисления, которыми тоже должен владеть студент. Кроме изобретения способов вычисления, математики заменили длинные описания определений короткими формулами. Математика является мощным орудием науки и техники. Изучая ее, можно увидеть, какие плоды она приносит.

Нужны ли способности?

Способности человека всегда можно распознать по одному надежному правилу: человеку интересно то, к чему он имеет способности. Нельзя отрицать, что в математике (как и во всех областях труда, науки и искусства) существует нечто непостижимое, что называется талантом. Но опыт показывает, что крупица таланта есть у каждого. Для изучения же математики не требуется никаких особых способностей, например поразительной памяти, главное - это интерес, его нужно поддержать.

Что такое абстракция?

Конкретные вещи мы видим, осязаем. Абстрактные понятия (например, свобода) требуют соответствующего определения. Нужно знать и понимать определения математических абстрактных понятий.

Попробуем разобраться, что же такое абстракция в математике. Например, само вычисление есть уже определенный вид абстракции, обычный для мышления примитивных людей, хотя они не отдают себе в этом отчета. Пастух, пересчитывающий стадо, заботится только о том, сколько овец в наличии. Ему безразлично, каковы овцы - молодые или старые, белые или черные, действует принцип «штука, как штука».

Именно в этом существо абстракции: обращаем внимание только на некоторые особенности наблюдаемых предметов, отвлекаясь (абстрагируясь) от остальных. Математика безучастна к особенным свойствам предметов и изучает только их пространственные формы (геометрия) и количественные соотношения (анализ), т.е. то, что неизменно в самых различных областях. При изучении математических объектов обнаруживается родство между явлениями, на первый взгляд, совершенно различными.

Не затрудняет ли абстракция изучение математики?

Этот вопрос обсуждается во всем мире. Некоторые ученые сомневаются, что абстрактный подход возбудит у молодых интерес к математике. Но большинство считает, что в математику лучше проникнуть через абстрактные понятия.

Основой всех современных вычислительных методов являются отвлеченные обобщения. Вначале изучают определения, затем основные отвлеченные понятия, описываемые основными положениями, которые называются аксиомами. Исходя из них, выводят (доказывают) теоремы. Таким образом, каждый раздел математики основывается на нескольких аксиомах и главных теоремах.

Цели и ожидаемые результаты курса

Цель курса – изучение основных понятий и методов высшей математики, применяемых в дальнейшем для математического моделирования и для математической и статистической обработки социально-экономической информации.

Курс высшей математики является необходимым элементом подготовки высококвалифицированного управленца, экономиста или юриста, призванным:

- обеспечить основу для понимания математических моделей и методов статистического анализа данных, прогноза бизнес-процессов и оптимизации управления;

- дать представление о принципах рассуждений, основных концепциях и фундаментальных понятиях линейной алгебры, математического анализа и теории вероятностей, развить навыки построения и анализа количественных моделей;

- изучить фундаментальные концепции математики и их взаимосвязи для понимания и сознательного использования на практике математических методов и моделей, применяемых в экономике и управлении, и для того, чтобы воспринимать и использовать новые идеи, концепции, компьютерные программы, непрерывно возникающие в этих быстро развивающихся областях.

Связь с другими дисциплинами

Математика широко внедряется в другие науки. Если в период классической физики математика служила преимущественно для обработки экспериментальных физических данных, то к концу XIX века математические вычисления стали предварять физические гипотезы и открытия. В наше время физик, химик, и даже биолог-теоретик - это, прежде всего, математик.

Математика обладает чудесной способностью давать правильное описание (отображение) физических процессов, что позволяет ей все более широко применяться в специальных науках. МАТЕМАТИКА, ПРЕЖДЕ ВСЕГО – ЭТО ЯЗЫК НАУКИ.

Естественно, что процесс математизации не в одинаковой степени охватил все науки, например, общественные, но в настоящее время математика широко используется при исследовании проблем демографии и структурной лингвистики.

Наиболее значительным является внедрение математических методов в экономическую науку и в науку оптимизации и управления бизнес-процессами: прогнозирование, изучение спроса на товары и услуги, планирование транспортных перевозок, планирование работ и т. д.

План изучения курса

№ раздела/темы	Наименование разделов и тем (I семестр)
01.	ВВОДНАЯ ЧАСТЬ
1.	РАЗДЕЛ I. Алгебра высказываний
1.1.	Аксиоматический метод и его понятийный аппарат
1.2.	Основные законы математической логики
2.	РАЗДЕЛ II. Алгебра матриц
2.1.	Вычисление определителей
2.2.	Вычисление обратной матрицы
2.3.	Решение системы линейных уравнений
3.	РАЗДЕЛ III. Алгебра комплексных чисел
3.1.	Понятие комплексного числа
3.2.	Алгебраическая форма комплексного числа
3.3.	Тригонометрическая форма комплексного числа
3.4.	Возведение комплексных чисел в степень
3.5.	Извлечение корней из комплексных чисел
4.	РАЗДЕЛ IV. Математические формулы и графики
4.1.	Математические формулы и таблицы
4.2.	Графики и свойства элементарных функций
4.3.	Построение графиков функций.	К.р. №2
№ раздела/темы	Наименование разделов и тем (II семестр)	Задание по теме	Срок сдачи работы
5.	РАЗДЕЛ V. Пределы функций
5.1.	Вычисление пределов	К.р. №3
5.2.	Первый замечательный предел	К.р. №4
5.3.	Второй замечательный предел
6.	РАЗДЕЛ VI. Производная и дифференциал
6.1.	Вычисление производных
6.2.	Производная сложной функции
6.3.	Логарифмическая производная и производная степенно-показательной функции
6.4.	Производная функции, заданной неявно
6.5.	Частные производные
6.6.	Абсолютная и относительная погрешности вычислений
6.7.	Приближённые вычисления с помощью дифференциалов функций одной и двух переменных
7.	РАЗДЕЛ VII. Интегралы.
7.1.	Неопределённый интеграл
7.2.	Определённый интеграл
7.3.	Несобственные интегралы
7.4.	Эффективные методы вычисления определенных и несобственных интегралов
7.5.	Приближенные формулы трапеций и метод Симпсона
8.	РАЗДЕЛ VIII. Элементы теории вероятностей
8.1.	Основные понятия теории множеств
8.2.	Структуры на множестве. Элементы комбинаторики.
8.3.	Случайные события и их вероятности.
8.4.	Случайные величины и их характеристики.
8.5.	Законы больших чисел
8.6.	Применение теории вероятности в статистике

График прохождения контрольных мероприятий:

	Недели прохождения контрольных этапов и сдачи заданий
Вид работы	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
КР							1				2		3			4

Все контрольные работы выполняются полностью. Для самоконтроля даются ответы. Контрольные работы должны быть представлены в электронном виде.

ЛИТЕРАТУРА

Основной список

1. Красс М. С., Чупрынов Б. П. «Математика для экономистов». – СПб., 2007.

Дополнительный список

2. Общий курс высшей математики под ред. Ермакова. - М., 2004.

3. Кремер Н.Ш. «Математика». - М., 2003.

4. Шипачев В.С. «Высшая математика». - М., 2003.

5. Шипачев В.С. «Высшая математика». Задачник. - М., 2003.

6. http://mathprofi.ru/matematicheskie_formuly.html

1. Алгебра высказываний

1.1. Аксиоматический метод и его понятийный аппарат

Основные понятия. Определение. Аксиома. Аксиоматический метод. Теорема. Доказательство. Основные методы доказательств

Определение.

В любой науке, в математике тоже, существуют некоторые понятия, которые мы принимаем за исходные, или начальные понятия. Это так называемые основные понятия, определить которые достаточно сложно (именно потому, что они основные) и содержание которых можно выяснить только из опыта. Таковы, например, понятия: точки в геометрии, прямой в планиметрии, плоскости в стереометрии, материи в физике, информации в информатике.

Все остальные понятия мы объясняем, выражая их через начальные понятия. Такие объяснения называются определениями. Таким образом, каждое математическое определение опирается либо непосредственно на начальные понятия, либо на понятия, определённые прежде.

Однако здесь невозможно обеспечить всеобщего согласия. Дело в том, что одно и то же, например, геометрическое понятие можно определять различно. Диаметр окружности, например, можно определить как хорду, проходящую через центр, или как хорду наибольшей длины. Приняв за определение одно из этих свойств, можно доказать другое. Отметим, что обычно за определение берут простейшее свойство.

Аксиома. Аксиоматический метод.

При построении любой теории выделяется некоторый набор высказываний, истинность которых постулируется. Такие принимаемые без доказательства высказывания, называются аксиомами. В физике аксиомы называют постулатами, которые являются обобщением опытных данных.

Аксиомы также возникли из опыта, и опыт же проверяет истинность аксиом в их совокупности.

Аксиоматический метод – это способ построения научной (математической) теории, основу которого составляют некоторые исходные положения (аксиомы), а все остальные положения теории получаются как логические следствия аксиом.

Доказательство. Теорема.

Последовательность высказываний рассматриваемой теории, каждое из которых либо является аксиомой, либо выводится из одного или более предыдущих высказываний этой последовательности по логическим правилам вывода, называется доказательством.

Высказывание, которое можно доказать, называется теоремой. Как было указано выше, опыт проверяет истинность аксиом в их совокупности. Проверка состоит в том, что все теоремы математики оказываются согласными с опытом. Этого не случилось бы, если бы система аксиом была ложной.

Каждая теорема может быть выражена в формализованной математической форме вида:

(читается: «для любого элемента х из А(х) следует В(х), где х принадлежит множеству М»).

Посылка А называется условием теоремы, а следствие В – заключением. Теорема верна, если выражающая её логическая связка, в данном случае это импликация (читается: «из А следует В», или «если А, то В»), обеспечивает истинное высказывание.

Рассмотрим примеры:

Теорема 1. Если сумма цифр натурального числа делится на 3, то и само число делится на 3.

Теорема 2. Если четырёхугольник является прямоугольником, то его диагонали конгруэнтны.

Теорема 3. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

Из-за краткости формулировки теоремы 3 о диагоналях ромба может показаться, что эта теорема не имеет формы . На самом деле это не так. Полная формулировка этой теоремы такова (напомним, что ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны): «Для любого параллелограмма верно утверждение: если параллелограмм – ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны».

Особенность аксиоматического метода.

Ни одно математическое высказывание (или свойство), взятое в отдельности, не является аксиомой, так как его всегда можно доказать на основании других высказываний (свойств). Например, в геометрии обычно принимается за аксиому следующее свойство параллельных прямых линий: «Через одну и ту же точку нельзя провести две различные прямые, параллельные одной и той же прямой» (аксиома параллельности). На основании этой аксиомы (и ряда других) доказывается такое свойство треугольника, как: «Сумма углов треугольника равна 180^о». Между тем, можно было бы это свойство принять за аксиому вместо аксиомы параллельности (оставив остальные аксиомы прежними). Тогда свойство параллельности прямых линий можно доказать, и оно станет теоремой.

Таким образом, систему аксиом можно выбирать различными способами. Нужно только, чтобы взятых аксиом было достаточно для вывода всех прочих высказываний.

Отметим, что при построении доказательств число аксиом стремятся, по возможности, уменьшить.

Основные методы доказательств.

Метод цепочек импликаций состоит в том, что из посылки А выстраивается цепочка из n импликаций, последним высказыванием в которой является заключение теоремы В, т.е.

.

В основе этого метода лежит закон цепного высказывания, или закон силлогизма:

.

Символ означает логический союз «и», а выражение читается, как «А и В».

Метод от противного.

Этот метод основан на законе контрапозиций, который имеет вид:

.

Символ ( ) соответствует логическому союзу «не»,

выражение читается, как: «не А», или «не верно, что А».

Символ ( ) соответствует любому из трёх логических высказываний:

1) «необходимо и достаточно»,

2) «тогда и только тогда»

3) «эквивалентно»

Метод необходимого и достаточного.

Например, теорема формулируется так: «Чтобы имело место А, необходимо и достаточно выполнение В».

Доказательство такого вида теоремы распадается на две части: сначала доказывается, что если имеет место А, то справедливо В (В необходимо для А), затем доказывается, что если имеет место В, то имеет место и А (В достаточно для А).

Доказательство таким методом базируется на законе тавтологии:

.

Упражнения для самостоятельного анализа к Разделу 1:

Упражнение 1.

Установите правильное соответствие между математическим утверждением и его формулировкой.

1. «В любой треугольник можно вписать окружность».	А. Определение B. Аксиома C. Теорема
2. «Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник».
3. «Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна».

Упражнение 2.

Выберите правильный ответ. К неопределяемым понятиям аксиоматического построения геометрии на плоскости относятся …

1) фигура, плоскость, луч	2) луч, треугольник, плоскость
3) точка, прямая, плоскость	4) точка, отрезок, плоскость

Упражнение 3.

Среди предложенных математических утверждений евклидовой геометрии аксиомой является…

1) Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

2) Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.

3) Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

4) Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Упражнение 4.

Установите правильное соответствие между математическим утверждением и его формулировкой.

1. «Трапецией называется четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – не параллельны».	А. Определение B. Аксиома C. Теорема
2. «На каждой прямой и в каждой плоскости имеются, по крайней мере, две точки».
3. «Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны».

Упражнение 5.

Среди предложенных математических утверждений аксиомой является…

1) Через любые две точки плоскости можно провести прямую, и притом только одну.

2) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

3) Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

4) Вертикальные углы равны.