- •Оглавление
- •Вводная часть
- •1.2. Алгебра высказываний. Основные законы математической логики.
- •Операция отрицания, или отрицание высказывания
- •Операция конъюнкции, или конъюнкция высказываний.
- •Операция дизъюнкции, или дизъюнкция высказываний.
- •Операция эквивалентности, или эквивалентность высказываний.
- •Операция импликации, или импликация высказываний.
- •Порядок старшинства операций
- •5. Основные законы математической логики.
- •6. Парадоксы логики (семантические парадоксы), или «правдоподобные» рассуждения, приводящие к противоречивым результатам.
- •7. Основная цель математической логики – обеспечить систему формальных обозначений для рассуждений, встречающихся не только в математике, но и в повседневной жизни.
- •1.3. Числа
- •2. Матрицы. Действия с матрицами
- •2.1. Вычисление определителей
- •2.2. Вычисление обратной матрицы
- •2.3. Решение системы линейных уравнений
- •Решение системы линейных уравнений методом подстановки
- •Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы
- •Решение системы по правилу Крамера
- •Решение системы с помощью обратной матрицы
- •Решение системы линейных уравнений методом Гаусса (последовательного исключения неизвестных)
- •Несовместные системы. Системы с общим решением. Частные решения
- •3. Комплексные числа
- •Понятие комплексного числа
- •Алгебраическая форма комплексного числа. Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел
- •Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа
- •Возведение комплексных чисел в степень
- •Извлечение корней из комплексных чисел
- •4. Математические формулы и графики
- •Для того чтобы успешно решать задачи по высшей математике необходимо:
- •Математические формулы и таблицы
- •Графики и основные свойства элементарных функций
- •Как правильно построить координатные оси?
- •Графики и основные свойства элементарных функций График линейной функции
- •График квадратичной, кубической функции, график многочлена
- •Кубическая парабола
- •График функции
- •График гиперболы
- •График показательной функции
- •График логарифмической функции
- •Графики тригонометрических функций
- •Графики обратных тригонометрических функций
Операция отрицания, или отрицание высказывания
Для каждого высказывания А может быть сформировано новое высказывание (читается «не А», или «не верно, что А») – это отрицание высказывания А. Высказывание истинно, когда А – ложно, и ложно, когда А – истинно.
Таблица истинности для операции отрицания:
-
А
1
0
0
1
Отрицание – одноместная, или унарная, операция.
Последующие операции – двухместные, или бинарные.
Например, если - истинное высказывание, то
- ложное высказывание (отрицание А).
Отметим, что если {в комнате холодно}, то {в комнате не холодно}, но при этом высказывание {в комнате жарко} отрицанием В не является.
Операция конъюнкции, или конъюнкция высказываний.
Высказывание С, составленное из двух высказываний А и В при помощи союза «и», называют конъюнкцией (логическим произведением) этих высказываний: (выражение читается: «А и В»).
Логическое произведение истинно только в том случае, когда и А, и В одновременно истинны.
Таблица истинности для операции конъюнкции:
-
А
В
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
Пусть, например, , . Тогда высказывание С – истинно, т. к. истинно каждое из высказываний А и В, составляющих высказывание С.
Операцию конъюнкции можно определить и для нескольких высказываний, как связку высказываний, объединённых союзом «и». Конъюнкция из n высказываний – новое высказывание, причём высказывание
А = Аi ; где i = 1; 2; …; n
имеет значение «истина», если и А1, и А2, и … Аn одновременно истинны. Во всех других случаях эта конъюнкция имеет значение «ложь».
Пусть, например, А1 , А2 , А3 , А4 . Тогда высказывание
А2 А3 А4 {(8 = 3) и (отец старше сына) и (Мурманск севернее Смоленска)} – ложное, в то время как высказывание
А1 А3 А4 {(5 > 3) и (отец старше сына) и (Мурманск севернее Смоленска)} – истинное.
Операция дизъюнкции, или дизъюнкция высказываний.
Высказывание С, составленное из двух высказываний А, В при помощи союза «или», называют дизъюнкцией (логической суммой) этих высказываний: (выражение читается: «А или В»).
Сумма является истинным высказыванием тогда, когда, по крайней мере, одно из слагаемых истинно.
Таблица истинности для операции дизъюнкции:
-
А
В
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
Пусть, например, , . Тогда высказывание или – истинно, т.к. истинно каждое из высказываний А и В, составляющих высказывание С.
Операцию дизъюнкции можно определить и для нескольких высказываний как связку высказываний, объединённых союзом «или»:
А = Аi ; где i = 1; 2; …; n
В этом случае высказывание А истинно, если истинно хотя бы одно из высказываний, входящих в связку.