- •Оглавление
- •Вводная часть
- •1.2. Алгебра высказываний. Основные законы математической логики.
- •Операция отрицания, или отрицание высказывания
- •Операция конъюнкции, или конъюнкция высказываний.
- •Операция дизъюнкции, или дизъюнкция высказываний.
- •Операция эквивалентности, или эквивалентность высказываний.
- •Операция импликации, или импликация высказываний.
- •Порядок старшинства операций
- •5. Основные законы математической логики.
- •6. Парадоксы логики (семантические парадоксы), или «правдоподобные» рассуждения, приводящие к противоречивым результатам.
- •7. Основная цель математической логики – обеспечить систему формальных обозначений для рассуждений, встречающихся не только в математике, но и в повседневной жизни.
- •1.3. Числа
- •2. Матрицы. Действия с матрицами
- •2.1. Вычисление определителей
- •2.2. Вычисление обратной матрицы
- •2.3. Решение системы линейных уравнений
- •Решение системы линейных уравнений методом подстановки
- •Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы
- •Решение системы по правилу Крамера
- •Решение системы с помощью обратной матрицы
- •Решение системы линейных уравнений методом Гаусса (последовательного исключения неизвестных)
- •Несовместные системы. Системы с общим решением. Частные решения
- •3. Комплексные числа
- •Понятие комплексного числа
- •Алгебраическая форма комплексного числа. Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел
- •Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа
- •Возведение комплексных чисел в степень
- •Извлечение корней из комплексных чисел
- •4. Математические формулы и графики
- •Для того чтобы успешно решать задачи по высшей математике необходимо:
- •Математические формулы и таблицы
- •Графики и основные свойства элементарных функций
- •Как правильно построить координатные оси?
- •Графики и основные свойства элементарных функций График линейной функции
- •График квадратичной, кубической функции, график многочлена
- •Кубическая парабола
- •График функции
- •График гиперболы
- •График показательной функции
- •График логарифмической функции
- •Графики тригонометрических функций
- •Графики обратных тригонометрических функций
Операция эквивалентности, или эквивалентность высказываний.
Высказывание С, составленное из двух высказываний А, В при помощи слов «тогда и только тогда, когда…», называют эквивалентностью высказываний А и В: .
Для эквивалентности используют знак (или ).
Эквивалентность представляет собой истинное высказывание, когда высказывания и А, и В оба истинны или оба ложны.
Таблица истинности для операции эквивалентности:
-
А
В
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
Пусть {число 3n является чётным}, {число n является чётным}.
Высказывание {число 3n является чётным тогда и только тогда, когда n – чётное число} есть эквивалентность высказываний А и В: .
Операция импликации, или импликация высказываний.
Высказывание С, составленное из двух высказываний А, В при помощи слов «если…, то…», называют импликацией высказываний А и В: (выражение читается «из А следует В», или «если А, то В»).
Импликация ложна только в том случае, когда А – истинное высказывание, а В – ложное. Во всех других случаях импликация имеет значение «истина».
Таблица истинности для операции импликации:
-
А
В
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
Первый член импликации – высказывание А – называется посылкой, или условием, второй член В – заключением.
Обратите внимание, что таблица истинности для импликации, в отличии от таблиц для конъюнкции, дизъюнкции и эквивалентности, изменяется при перестановке столбцов для А и В.
Отметим также, что импликация не полностью соответствует обычному пониманию слов «если…, то…» и «следует». Из третьей и четвёртой строк таблицы истинности для импликации вытекает, что если А – ложно, то, каково бы ни было В, высказывание считается истинным. Таким образом, из неверного утверждения следует всё что угодно.
Например, утверждения «если 6 – простое число, то » или «если , то существуют ведьмы» являются истинными. Истинным является и рассмотренное ранее высказывание: «если слон – насекомое, то Антарктида покрыта тропическими лесами».
Для иллюстрации содержательного смысла импликации рассмотрим ещё один пример.
Пусть {папа завтра получит премию},
{папа завтра купит сыну велосипед}.
Импликация может быть сформулирована так:
«если папа завтра получит премию, то купит сыну велосипед».
Пусть А и В – истинны. Тогда папа, получив премию, покупает сыну велосипед. Естественно считать это истинным высказыванием.
Если же папа, получив премию (А – истинно), не купит сыну велосипед (В – ложно), то это, можно сказать, – не логичный поступок, и импликация имеет значение «ложь».
Если папа не получит премию (А – ложно), но купит велосипед (В – истинно), то результат положителен (импликация истинна).
Наконец, в том случае, если, не получив премии (А – ложно), папа не купит велосипед (В – ложно), то обещание не нарушено, импликация истинна.
Задача 1. Даны два высказывания и . В чём заключаются высказывания , , , ? Какие из этих высказываний истинны и какие ложны?
Решение.
1) Высказывание , очевидно, ложно. Для того чтобы произведение двух высказываний было истинным, нужно чтобы оба высказывания были истинными.
2) Высказывание истинно, т.к. одно из слагаемых является истинным высказыванием.
Высказывание можно записать в виде одного верного нестрогого неравенства .
3) Эквивалентность ( тогда и только тогда, когда ) представляет собой ложное высказывание, т.к. А – ложно, а В – истинно.
4) Импликация то является истинным высказыванием.
В самом деле, импликация согласно определению ложна только тогда, когда А – истинно, а В – ложно.