Шпора по физике [1 семестр]4

19 Теорема Штейнера: Момент инерции тонкого стержня dJ=dmx^2 =m/ L – линейная плотность dm=dx dJ= x^2dx Моменты инерции тел: 1) Материальная точка J=mR^2 2) Обруч J=mR^2 3) Диск (цилиндр) J=1/2mR^2 4) Шар J=2/5mR^2 5) Тонкий стержень J=1/12mL^2 6) Полый цилиндр J=1/2(R1^2+R2^2) Если известен момент инерции относительно оси, проходящей через центр инерции J0 , то момент инерции J относительно другой оси, параллельной первой, можно вычислить по формуле J=J0 + md^2 Первое начало термодинамики или первый закон термодинамики. dQ = dU + dA ; Теплота, подводимая к термодинамической системе идет на изменение внутренней энергии и на совершение работы. Внутренняя энергия U определяется только состоянием термодинамической системы, а Q и A являются характеристиками процесса при котором система переходит из одного состояния в другое. Переход системы из одного состояния в другое может осуществляться различными путями, поэтому Q и A зависят от способа перехода системы из одного состояния в другое, в то время, как внутренняя энергия U определяется только состоянием системы и не зависит от того, каким путем система перешла в это состояние.

20 Амплитуда, круговая частота, фаза гармонических колебаний. ν = 1/T – частота ; Циклическая частота – ω = 2ПИ / t = 2ПИv ; S(t)=S(t+T) ; Гармонические колебания – это колебания по закону sin или cos. S(t)=A sin(wt + φ0); φ0 – фаза колебаний ; скорость v = Awcos(wt+φ0) ; u = -Aw(ст.2) sin(wt+φ0) = - w (ст.2) A sin(wt + φ0) = - w (ст.2) S; d2 S / dt (ст.2) = - w (ст.2) S ; d2 S / dt (ст.2) + w (ст.2) S = 0 ; Это дифференциальное уравнение описывает гармонические колебания. Общим решением этого уравнения является S= A1 sinwt+ A2 coswt; A2=S(0) dS / dt = A1 w coswt + A2 w sinwt ; A1 = (1/w)(dS/dt) при t=0 ; Общее решение можно привести к виду: S = A sin (wt + φ0), где A = корень A1(ст.2) + A2(ст.2) ; амплитуда. φ0 = arctg (A2/A1) Комплексная форма представления колебания. S=Asin(wt + φ0) = Acos(wt + φ1); φ1 = φ0 – ПИ/2 ; Согласно формуле Эйлера: e (ст. iφ) = cosφ + i sinφ; (i – мнимая единица), поэтому гармонические колебания можно записать в экспоненциальной форме: S = N e (ст. iwt) = A e (ст. i (wt + φ)) = cos(wt + φ1) + i Asin(wt + φ1) Сложение гармонических колебаний. Векторная диаграмма. Графически гармонические колебания можно изобразить с помощью вращающегося вектора на плоскости: (рисунок – оси OX, OY, вектор, угол между ним и OX равен wt + φ0; под графиком подпись S = A sin (wt + φ0)). Графическое представление гармонических колебаний посредством вращающегося вектора амплитуды A называется методом векторных диаграмм. Рассмотрим с помощью этого метода сложение 2х одинаково направленных гармонических колебаний, одинаковой частоты w. S1 = A1 cos (w0 t + φ1); S2 = A2 cos (w0 t + φ2); S = S1+ S2 = A cos (w0 t + φ) Используя теорему косинусов можно получить: A(ст.2)=A1(ст.2) + A2(ст.2) + 2A1 A2 cos (φ2 – φ1) ; tg φ = (A1 sin φ1 + A2 sin φ2) / (A1 cos φ1 + A2 cos φ2) 1) φ2 – φ1 = + - 2ПИn, n = 0,1,2… A=A1+A2; MAX; 2) φ2 – φ1 = + - (2n +1)ПИ ; A= |A1 – A2|; MIN – это когерентные волны Введенная ранее средняя квадратичная скорость характеризует среднюю интенсивность движения, ясно, что при хаотическом движении молекулы движутся с различными скоростями. Очевидно, что число молекул с очень маленькими скоростями, как и число молекул со скоростями сравнительно невелико. Основное количество молекул имеет скорости близкие к КВ Распределение по скоростям установил Максвелл. Для этого он ввел функцию распределения f(). Физический смысл этой функции заключается в том, что она позволяет вычислить число молекул dN движущихся со скоростями в интервале (,+d) dN = f()d В конечном интервале (1,2): Графическая зависимость функции распределения от скорости имеет вид: Аналитический вид: (N–общее число молекул) (m0 – масса одной молекулы) -наиболее вероятная скорость - средняя арифметическая скорость - средняя квадратичная скорость. При увеличении температуры интенсивность движения возрастает

26 1)Фигуры Лиссажу Фигуры Лиссажу - замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей гармонические колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Фигуры Лиссажу можно наблюдать с помощью осциллографа, подавая одновременно на вход X и вход Y (горизонтальные и вертикальные отклоняющие пластины) переменные напряжения кратных частот. Рассмотрим фигуру: где - угол сдвига фаз колебаний, - круговая частота колебаний. Введем новые переменные , получаем Исключая время t, получаем кривую в координатах (x,y) . Из первого уравнения найдем и подставим во второе: . Возведем обе его части в квадрат, тогда окончательно получаем: - уравнение эллипса. В зависимости от значения получаем различно ориентированные эллипсы, в частности: Если = (t), то фигуры будут двигаться на экране осциллографа. В случае кратных частот колебаний получаем соответствующие фигуры Лиссажу: б) при кратности частот получаем фигуру Лиссажу типа короны с тремя пиками: в) при кратности частот получаем кардиоиду:

21 1) 23 Момент силы. 2-й закон Ньютона для вращательного движения. Опыт показывает, что одна и та же сила оказывает разное вращательное действие. M=FRsinα Fτ=Fsinα M=FτR Действие касательной силы на материальную точку может привести к движению с тангенсальным ускорением: F=ma a=R F= mR FR=mR^2 M=J M=F R J=mR^2 - момент инерции – угловое ускорение §5.3 Момент импульса точки. 2-й закон Ньютона для вращательного движения (в другой форме). - Момент импульса - в импульсной форме Действие момента силы равно скорости изменения момента импульса (Если M –const) (при М -const) L=J=mR^2=mR^2/R=mR момент импульса и импульс точки связаны между собой Момент импульса можно определить и относительно начала координат L=mrsin Закон сохранения момента импульса. Из основного закона динамики вращательного движения следует: если результирующий момент сил равен нулю, соответственно dL/dt=0, то означает суммарный момент импульса остаётся постоянным. Таким образом, если на систему не действуют ни ускорение, ни тормозящие моменты сил, то величина и направление момента импульса остаются постоянными. J11= J22, если J1 >J2 2 >1 L1=L2 2) Явление переноса в газах. Постоянное тепловое хаотическое движение приводит к непрерывному перемещению молекул. При этом если в газе возникают какая либо неоднородность то со временем все неоднородности выравниваются. Эти процессы выравнивания не являются хаотическими, а характеризуются определенной направленностью. Это связано с перемещением характеристик газа от областей с избытком к областям с недостатком. Существует 3 типа неоднородностей: 1)Неоднородность плотности (концентрации); 2)Неоднородность температуры (энергии); 3)Неоднородность импульса (перемещения) отдельных слоев движения газа; Теплопроводность Теплопроводность – явление переноса энергии без переноса вещества. Определим изменение температуры с помощью градиента температуры. Количество энергии, которое переносится через площадку за время t, определяется уравнением Фурье: где	22 1) Кинематические характеристики вращательного движения. Если точка движется криволинейно, то в каждый момент времени ее движение может быть представлено как движение по окружности с радиусом R. Ее движение может быть описано с помощью радиус-вектора, который проведен из (0;0) в точку, где находится тело: R=rsin, V=rsin, Кинематические характеристики вращательного движения. Вращательное - движение, когда все точки тела движутся по концентрическим окружностям, центры которых лежат на одной прямой, которая называется осью вращения. ω - угловая скорость, характеризующая быстроту углового перемещен – средняя скорость – мгновенная скорость - равномерное угловое вращение; [ω] = Рад/сек. – линейная скорость вращения - угловое ускорение, характеризует быстроту изменения угловой скорости. ; Связь между характеристикой поступательного и вращательного движения Если -const, то угловой путь и угловая скорость определяется ‘+’-равноускоренное движение 2) Распределения Максвелла молекул по скоростям. Введенная ранее средняя квадратичная скорость характеризует среднюю интенсивность движения, ясно, что при хаотическом движении молекулы движутся с различными скоростями. Очевидно, что число молекул с очень маленькими скоростями, как и число молекул со скоростями сравнительно невелико. Основное количество молекул имеет скорости близкие к КВ Распределение по скоростям установил Максвелл. Для этого он ввел функцию распределения f(). Физический смысл этой функции заключается в том, что она позволяет вычислить число молекул dN движущихся со скоростями в интервале (,+d) dN = f()d В конечном интервале (1,2): Графическая зависимость функции распределения от скорости имеет вид: Аналитический вид: (N–общее число молекул) (m0 – масса одной молекулы) -наиболее вероятная скорость - средняя арифметическая скорость - средняя квадратичная скорость. При увеличении температуры интенсивность движения возрастает	231) Законы сохранения Законы сохранения – носят всеобщий характер, они справедливы для всех видов движения (Механического, теплового, биологического). Закон сохранения импульса и энергии могут быть строго получены из таких свойств материи, как однородность пространства и однородность времени. Однородность пространства означает, что законы физики справедливы в любой точке пространства. Однородность времени означает, что законы физики с течением времени не изменяются. Совокупность тел, движение которых рассматривается совместно и одновременно называется системой тел. При этом силы, с которыми взаимодействуют тела, принадлежат данной системе, называются внутренние силы. Силы, которые создаются телами, не принадлежащими данной системе – внешние силы. Массой системы называют сумму масс всех тел системы. Суммарный импульс – сумма импульсов тел системы. §3.1 Закон сохранения импульса. Пусть система состоит из 2-х тел. Согласно 3-у закону Ньютона F1= -F2 – равны и противоположны по направлению. Согласно 1-у закону Ньютона действие силы приводит к изменению импульса. P1+ P2 = P1`+ P2` = const. Движение системы тел может быть охарактеризовано понятием центром масс. Центром масс любой системы тел называется вектор, который определяются соотношением: , Скорость движения центра масс: Центр массы системы тел, движущихся, как материальная точка в которой сосредоточена вся масса системы. Особенности: 1) FВНЕШН.=0, то dP=0 P=const 2)Если dt 0, то действие внешних сил очень мало dP=0, P=const 3) Fx =0, dPx=0, Px =const; 2) Гармонический осциллятор – любая системы описывающаяся дифференциальным уравнением. (Физический маятник, математический маятник, колебательный контур) Примеры: Физический маятник: a – расстояние от точки подвеса до центра масс Математический маятник: Физический маятник – тело способное совершать колебания относительно неподвижной оси проходящей через цент масс M= –Fτa= –mgaα k=mga a – расстояние от 0 до центра центра масс Пружинный маятник: F= –kx
24 1) законы Ньютона. Динамика – раздел механики, в котором изучаются причины возникновения или изменения в движении тел. В основе лежат 3 закона Ньютона. 1-й закон Ньютона: Если на тело не действуют другие тела, или их действие скомпенсировано, то тело находится в состоянии покоя или в состоянии равномерного прямолинейного движения. Состояние покоя или состояние равномерного прямолинейного движения – это природное свойство всех тел – это свойство называется инертностью. Системы отсчёта, в которых выполняется 1-й закон Ньютона, называются инерциальными системами отсчёта. Все инерциальные системы отсчета движутся друг относительно друга равномерно и прямолинейно. Системы отсчета, в которых тела движутся с ускорением, называются неинерциальными. 2-й закон Ньютона. 2-й закон Ньютона: Ускорение, которое приобретает тело прямо пропорционально результирующей всех сил, действующих на тело и обратно пропорционально массе. , Силой называется векторная физическая величина, которая характеризует действие одного тела на другое. Импульсная форма 2-го закона Ньютона. – 2-й закон Ньютона - общая формулировка Действие силы в течении t приводит к изменению импульса тела. Если F-const FΔt=ΔP 3-й закон Ньютона (Закон взаимодействия тел). 3-й закон Ньютона: два тела взаимодействуют друг с другом с силами, равными по величине и по модулю, но противоположными по направлению Силы прилаженные к разным телам и никогда не могут компенсировать друг друга 2) Реальные газы§15.1 Межмолекулярные силы. Наличие межмолекулярных взаимодействий приводит к появлению новых свойств, который существенным образом отличаются от свойств идеального газа. U – потенциал взаимодействия, r – расстояние, r0 – равновесное расстояние. Если значение минимального потенциала существенно меньше энергии теплового движения, то вещество находится в газообразном состоянии. Если это значение имеет порядок kT, то это соответствует жидкому состоянию. Если энергия взаимодействия существенно превосходит энергию теплового движения то это соответствует твердому состоянию вещества. – газ, – жидкость, - твердое тело. §15.2 Уравнение Ван-дер-Ваальса. Учет межмолекулярных взаимодействий был произведен впервые голландским физиком Ван-дер-Ваальсом. При этом он исходил из простой модели, которая была основана на следующих положениях: 1)Молекулы газов представляют собой шары с эффективным диаметром. 2)Между молекулами существуют только силы притяжения 3)Силы отталкивания учтены введением эффективного диаметра. Учет собственного объема молекулы приводит к тому, что «Свободный» молярный объем в сосуде уменьшается по сравнению с идеальным газом на величину b, , где b – постоянная Ван-дер-Ваальса Наличие сил притяжения между молекулами реального газа приводит к тому, что давление становится меньше на некоторую величину p*. Таким образом Величина P* согласно теории Ван-дер-Ваальса обратно пропорциональна квадрату объема: , т.о. уравнение состояния имеет вид: Для разреженных газов размерами атомов можно пренебречь. Уравнение Ван-дер-Ваальса переходит в обычное уравнение Менделеева-Клапейрона.	25 1) Механическое движение. Системы отсчёта. Физические модели. Механическое движение – изменение положения тел друг относительно друга с течением времени. Для описания механического движения необходима система отсчёта. В неё входят: тело отсчёта, система координат, прибор для измерения времени. Физические модели: 1) Материальная точка – тело, размерами которого можно пренебречь. 2) Абсолютно твёрдое тело – тело, состоящее из совокупности материальных точек, жестко связанных между собой. Существует два вида механических движений: 1) Поступательное – движение, когда все точки тела движутся по одинаковым траекториям и любая прямая, проведенная внутри тела остается параллельная сама себе. 2)Вращательное - движение, когда все точки тела движутся по концентрическим окружностям, центры которых лежат на одной прямой, которая называется осью вращения. §1.2 Уравнение движения. При движении материальная точка описывает некоторую линию, т. о. положению точки и соответствует радиус-вектор, который и является функцией времени. Уравнение движения – функция, дающая возможность определить положение точки в любой момент времени. Уравнения движения: 1) =const 2 h ) x(t)=Acos(ωt + φ); Траектория (путь), Перемещение(Вектор) – всегда касательная к траектории. 2) Круговым процессом или циклом называется такой в результате которого термодинамическая система возвращается в исходное сост. Из рисунка видно что работа - прямой цикл; - обратный цикл Важное значение круговых процессах является то, что система возвращается в исходное состояние, Следовательно U=0, Q=A т.е. Работа совершается за счет подводимой теплоты. Круговые процессы являются основой всех тепловых машин. кот бывают 2-х типов 1)Реализующие прямой цикл Q=A>0, т.е. тепло мех. раб. 2)Реализующие обратный цикл Q=A<0, т.е. мех. раб. тепло Обратимые и необратимые процессы. Обратимыми называют ТД процессы в которых осуществляется переход из конечного состояния в начальное через те же промежуточные состояния, что и в прямом процессе. Можно доказать, что обратимыми являются только равновесные процессы. (В реальной жизни таких процессов нет) Вывод: любые реальные самопроизвольные процессы необратимы. Примеры: При соединении 2-х систем с разными температурами происходит теплопередача, в результате которой энергия передается от более нагретого тела к менее нагретому. Если эта система замкнута, то через некоторое время, температуры этих тел выровняются. Система переходит в состояние теплового равновесия, которое характеризуется вполне определённой температурой T. Такой процесс также является необратимым. Самопроизвольно одно тело не может принять температуру большую, а другое меньшую. §14.7 Второй закон термодинамики. Невозможен процесс результатом которого является превращение всей теплоты полученной от нагревателя в эквивалентную механическую работу. Другими словами этот закон эквивалентен утверждению о невозможности вечного двигателя 2-го рода. Схема вечного двигателя 2 рода: Следствие: 1)2-й закон Термодинамики запрещает использовать энергию системы находящейся в термодинамическом равновесии. 2)Для преобразования тепловой энергии должны быть две системы находящееся при разных температурах. Невозможно преобразование всей энергии теплового, хаотического движения в упорядоченную энергию мех. движения. Возможно лишь частичное преобразование внутренней энергии и только при наличии двух систем не находящихся в тепловом равновесии. Другая часть энергии передается холодильнику. Преобразование внутренней энергии теплового хаотического движения в мех. работу в термодинамике характеризуется двумя величинами, которые наряду с внутренней энергией являются функциями состояний системы. Это: F-свобод. энергия. S–энтропия. Все 3 функции состояния связаны соотношением U=F+TS Свободная энергия та часть внутренней энергии, которая может быть преобразована в механическую энергию. (TS) - связанная энергия – это та часть, которая не может быть преобразована в механическую энергию. Теорема Нернста При абсолютном нуле температуры любые изменения состояния происходят без изменения энтропии. Но абсолютный ноль T = 0 температуры недостижим, т.к. иначе был бы возможен вечный двигатель второго рода η = 1 −Т2/Т1 = 1 . Для равновесных систем: при T → 0 энтропия S не зависит от значения любого параметра системы. По 2-му началу термодинамики: или Доказательство недостижимости абсолютного нуля T = 0 из 3-го начала термодинамики: Охлаждение системы осуществляется повторением последовательно процессов адиабатического расширения (для снижения T) и изотермического сжатия (для уменьшения S). Но при T → 0 энтропия S перестаёт изменяться, а приобретает некоторое постоянное значение (принятое за ноль!). Поэтому за конечное число циклов состояние с S = 0 недостижимо, следовательно, недостижим и абсолютный ноль температуры: к абсолютному нулю температуры T → 0 можно лишь асимптотически приближаться.		26 1) Сложение перпендикулярных колебаний. Конический маятник. x=A1cos(ωt+φ01) y=A2cos(ωt+φ02) φ01=φ02=0 - движение вдоль прямой. φ01=0, φ02=π/2 y=A2cos(φt+π/2)=A2sin(ωt) Сложные функции описывающие движение – фигуры Лиссажу 2) Барометрическая формула. Распределение молекул в поле силы тяжести является неравномерным. В жидкостях давление на различных глубинах различно в следствии гидростатического давления. Для газов это соотношение может быть записано только для малых толщин: т.о. т.о. - барометрическая формула. Вывод получен при условии, что температура на всех высотах одинакова. §12.4 Распределение Больцмана. Распределение Больцмана – распределение частиц в потенциальном поле. Барометрическая формула является частным случаем распределения частиц в потенциальном поле. Преобразуем его используя уравнение Менделеева-Клапейрона в виде: p=nkT -распределение Больцмана. Анализ: 1)T ∞, следовательно WП/kT 0, n=n0 2)T 0, след. WП/kT ∞, n 0, Все молекулы падают на землю. Барометрическая формулаопределяет зависимость давления или плотности газа от высоты в поле тяжести. Для идеального газа, имеющего постоянную температуру Т и находящегося в однородном поле тяжести (во всех точках его объёма ускорение свободного падения g одинаково), Б. ф. имеет следующий вид: р = p0exp [-gm.(h - h0)/RT]???? (1), где р - давление газа в слое, расположенном на высоте h, p0 - давление на нулевом уровне (h = h0), m - молекулярная масса газа, R - газовая постоянная, Т - абсолютная температура. Графически зависимость (1) представлена на рис. Из Б. ф. (1) следует, что концентрация молекул n (или плотность газа) убывает с высотой по тому же закону: n =n0exp [-mg (h-h0)/kT], где m - масса молекулы, k - Больцмана постоянная. Б. ф. может быть получена из закона распределения молекул идеального газа по скоростям и координатам в потенциальном силовом поле (см. Больцмана статистика). При этом должны выполняться два условия: постоянство температуры газа и однородность силового поля. Аналогичные условия могут выполняться и для мельчайших твёрдых частичек, взвешенных в жидкости или газе. Основываясь на этом, французский физик Ж. Перрен в 1908 применил Б. ф. к распределению по высоте частичек эмульсии, что позволило ему непосредственно определить значение постоянной Больцмана. Б. ф. показывает, что плотность газа уменьшается с высотой по экспоненциальному закону. Величина -mg (h-h0)/kT, определяющая быстроту спада плотности, представляет собой отношение потенциальной энергии частиц к их средней кинетической энергии, пропорциональной kT. Чем выше температура Т, тем медленнее убывает плотность с высотой. С другой стороны, возрастание силы тяжести mg (при неизменной температуре) приводит к значительно большему уплотнению нижних слоев и увеличению перепада (градиента) плотности. Действующая на частицы сила тяжести mg может изменяться за счёт двух величин: ускорения g и массы частиц m. Следовательно, в смеси газов, находящейся в поле тяжести, молекулы различной массы по-разному распределяются по высоте. Реальное распределение давления и плотности воздуха в земной атмосфере не следует Б. ф., т.к. в пределах атмосферы температура и ускорение свободного падения меняются с высотой и географической широтой. Кроме того, атмосферное давление увеличивается с концентрацией в атмосфере паров воды. Б. ф. лежит в основе барометрического нивелирования - метода определения разности высот Dh между двумя точками по измеряемому в этих точках давлению (p1 и p2). Поскольку атмосферное давление зависит от погоды, интервал времени между измерениями должен быть возможно меньшим, а пункты измерения располагаться не слишком далеко друг от друга. Б. ф. записывается в этом случае в виде: Dh = 18400Ї (1+at) lg (p1/p2) (в м), где t - средняя температура слоя воздуха между точками измерения, a ?- температурный коэффициент объёмного расширения воздуха. Погрешность при расчётах по этой формуле не превышает 0,1-0,5% от измеряемой высоты. Более точна формула Лапласа, учитывающая влияние влажности воздуха и изменение ускорения свободного падения.