книги / Физика композитов.Термодинамические и диссипативные свойства
.pdfРис. 4.5. Зависим ость коэф ф иц и ента затухания |
звука в структурах типа |
D + D в широком диапазоне звуковых частот |
|
Затухание "насыщ ения" у(°о, Т) является функцией свойств вещ еств (оно |
|
зависит от плотности, скорости звука, среднего |
м еж атом ного расстояния, |
концентрации мелкодисперсной ф азы , температуры ). П ричем, с ростом тем пературы пунктирная прямая смещ ается вверх: с понижением тем пературы , - вниз
у(со) = СоСо10"6(1/с). При GO = 1 ,0 ) |
= 1010 Гц у = 104 (1/с), а при |
G0 = 0, 1 ,у = Ю2 (1/с). |
|
5. ( R ) < K X 3B. |
|
Здесь, как мы знаем (см. формулу (4.176)), затухание будет |
|
определяться суммой затуханий у0(ш) |
и Уг(о)- Причем 72(G)) дается |
формулой (4.17), а Уо(со) - формулой (4.39) без последних двух слагае мых, пропорциональных концентрации £*. Действительно, для COTQ 1
54©2(1-£*)р2а6ОоС5 . |
N с * , v |
f © |
Y(®) = -------Ч гг У еч2 ~ 1п(!/ сэт0)+ s%*{v1)cs |
(4.45) |
|
л л (1-S) |
|
K'-sJ |
Из приведенных формул видно, что затухание довольно слабо изменяется с температурой: либо как 1пГ, либо как Т5, в зависимости от диапазона температур. Качественное поведение у(©) в широком диапазоне частот в случае D + D дается рис. 4.5.
4.3. СТРУКТУРА D+ М
Этот случай будет довольно существенно отличаться от преды дущего, поскольку начнет играть роль дополнительное поглощение звука, связанное с проявлением магнитных свойств вещества примесной фазы. Рассмотрим, не нарушая традицию, ту же последовательность частотных интервалов, что и выше, и начнем с диапазона
При таких длинах волн (частот) можно сделать вывод, что внутрен нее тепловое равновесное состояние уже установилось и квазичастицы
211
(и магноны и фононы) характеризуются единой температурой Т. Не будем рассматривать в каком-то смысле экзотический случай, когда равновесное состояние между фононами и спиновыми волнами не успело установиться: это обычно происходит лишь при так называемых сверх низких температурах, и такая ситуация весьма подробно изложена в обзоре [4.5].
Итак, с помощью формулы (4.18) имеем
Y (to ) = Y o (w ) + |
Y i(co ) = - |
GQ2e2D(l-5*)co2 y |
~ ^ z 0kk2dk |
|||
12л2рс2 |
J |
|||||
|
|
|
<>(*) |
|||
G,292D5 * CO2 У |
d < » i к ) |
%\kk2dk. |
|
(4.46) |
||
127C2P I C 2 |
i |
de,(*) |
|
|
|
|
Здесь, надо заметить, фигурирует новое время релаксации т^. В связи с тем что в магнитной примесной фазе фононы взаимодействуют не только между собой (благодаря трехчастичному и четырехчастич ному взаимодействиям), но и с магнонами, необходимо учесть это вза
имодействие. Именно поэтому время z\k в рамках т-приближения долж но определяться формулой
* |
“ |
* |
V’ ' / |
Т 1 к |
Ч * |
Т 1 k p h - m |
|
где новое время релаксации Z\ph-mнам предстоит вычислить. Оно ха рактеризует всевозможные акты рассеяния фононов на магнонах, из ко торых следует выделить наиболее эффективный механизм, "рабо тающий" при интересующих нас высоких температурах (Т > 0Oi ю).
Ограничимся только трехчастичным актом рассеяния. Соответст вующий гамильтониан взаимодействия мы можем представить в виде
k2, |
кз>^Г^2(^з + «-з)A(^i - k2 - k3)+ |
(4 4g) |
+E Vl2)№i. k2, k3 }(bi |
- b_x) a\ + a_2)(a3 + a_3)Д(к, + k2 + k3), |
|
где ak. = a?(a,) есть операторы рождения (уничтожения) магнона с вол новым вектором kh амплитуды взаимодействия
|
gi^(e1k |)(e2k2)pgA/i |
(4.49а) |
|
v !1,w = |
|
|
2Pll'lclj(^1^2)I/2 |
|
|
|
М2 |
|
¥ !2){к} = ^ Г (е 1к1) р ^ 1 |
(4.496) |
|
2р^1 c\sk\ J |
|
где |
- магнетон Бора, М] = |ig / |
- средняя спонтанная намагничен |
ность одного атома, ах - межатомное расстояние в частице примесной
212
фазы, g,* и g** - константы магнитострикционного взаимодействия в примесной фазе.
Нижний индекс "1" у амплитуд рассеяния означает, что они отно сятся, как принято в настоящем монографии, к фазе "1", верхние индек сы, заключенные в круглые скобки, характеризуют просто отличие двух приведенных амплитуд друг от друга.
По схеме, описанной выше, можем записать теперь выражение для интегралов столкновений, происходящих от этих двух гамильтонианов. В самом деле,
4 1,{Л,) = 2ЯЙ-'£ ^ ’{к, к„ к2)|2{[(1+ п ,Ц /2 -
к1.2
-пк(1+ л,)(1+ / 2)]Д(к - к, - к2 )5[£(*:) - е(Аг,) - eIm (к2)] +
+[(1 + пк )пг(l + f2) - n k(l + л, )/2]Д(к - к, + к2)5[в(к)-
- е ^ |
+ е , ^ ) ] } , |
(4.50а) |
4 2>М |
= 2яй -'1 |
|vS2)(k, к„ k2f([(l + nt )/l/2- |
к1.2
-n,(l + / l)(I + / 2)]A (k - k ,+ k 2)8 [e(t)-E 1„ (/:,)-e,1I,(t2)]+ +[(1 + п>)(1+Л ))/2 - п 4/ |(1+ / 2)]Д (к+ к| —к2)5[Е(*)+
+£,„(«:, ) - е,„№2)]), |
(4.506) |
гдеfk - функция распределения магнонов, а £\т(к) - их спектр в фазе "1". Для ферромагнитной структуры типа "легкая ось" зависимость дисперсии спиновых волн от к есть
Еlm{k) = ileH + JuM k ) 2, |
(4.50в) |
напомним, что поле Н = HQ+ Н\а, где Но - внешнее магнитное поле, а Н|а, - поле анизотропии в фазе ”1 Vie* - обменный интеграл в этой же фазе.
Для выяснения, какой из механизмов релаксации даст наибольший вклад, следует проанализировать все четыре пары законов сохранения энергии и импульса, а затем по формуле (4.26) вычислить каждое из этих времен.
Оказывается, что наибольший вклад будет давать двухмагнонный механизм взаимодействия (интеграл столкновений с амплитудой V|fj2)).
Для него имеем |
|
|
|
— !— |
= 2теА Л , X |
|vS2){k, к,, к2}|2 х |
|
^ \k p h -m |
к 1,2 |
|
|
x{«/i> -</2>A(k + k1- k 2)6[8(A:) + elffl(^1) - e lm(A:2)] + |
|
||
+0 + </i > + </2 > А (к - |
к, - к2)5 [е(*) - Е1т(*,) - е1т(к2)]}. |
(4.50г) |
|
Анализ законов сохранения и подстановка сюда явного вида амплитуды
213
рассеяния позволяют заключить, что формула (4.40г) должна быть записана в виде
-------- = £> |
I {</(е,„(*|)Ы/(А«>+ £,„(*, )>]*,<№,+ |
|
^ \kph-m |
|
|
h e |
1 |
(4.51) |
+ J [1 + </(elm(kx))) + (/(ftco- elm(*,))]kxdkx|, |
||
где пределы интегрирования, определяемые как раз с помощью ана лиза законов сохранения, есть
№ * -А еХа\ к\
к1с =
J\exa \
*2С=Л + [(Йш -цсЯ ) //1гха12 -А:2],/2.
а константа
г ( j ? n 2 ( M * i ) 2 fc
(4.52)
^nP\a\c\sJ\ex
Как мы знаем, при сравнительно высоких температурах можно разложить функцию распределения (j) по степеням Лсо/Г, т.е.
(/(Асо ± £))=(/(е)) ± А ш ^ Ц ^ .
Эе
В этом случае формула (4.51) может быть несколько упрощена и записана таким образом:
--------- = -Dafha |
J |
Т* Э</(£,„(А))>,,1 (4.53а) |
|
^1kph—m |
*1с &!*(*) |
Эе,„(А) |
J' |
Заметим, что второй интеграл будет иметь физический смысл лишь в том случае, когда частота внешнего звука лежит в интервале
Acs2/ 2 V |
, „ Ас2/2а,У,„ + Q , |
где е = аГ2(»Ч2/ « ? „ -2(1,Я /7,„)''2.
Что касается интегралов, входящих в соотношение (4.53а), то они вычисляются элементарно в общем виде. В самом деле, положив kdk = = dzf2JХехи подставив вместо D ее выражение согласно (4.52), находим
_ ! ____ ( г Г ) У ,м ,) 2А*2 .. |
|
|
•Ч * -т |
1бдр,а13У2„ X |
|
X[ e*A«‘>‘_ 1+ </(eim№ic)>- < /(£ i„ (M » l |
(4.536) |
|
214
При Т > \igH все входящие сюда бозевские функции распределения могут быть разложены по степеням малого отношения |igHIT. В резуль
тате окончательно для искомого времени релаксации имеем прибли зительно:
i |
_ (*Г)2(М *1)2м ^ 2 |
(4.53в) |
|
hkph-m |
16лрxa } jlx\ieH |
||
|
Здесь и выше (формула (4.536)) было учтено, что частота со в фазе "1" есть со = C\Jc. В принципе на полученном выражении можно было бы поставить точку, но... Поскольку в (4.53в) фигурирует "виртуальный" волновой вектор к, то для оценки времени 1\рн-тследует усреднить его по равновесной бозевской функции фононов (л*). В самом деле, имеем
— !— |
Xph-m |
|
Д( Г) , |
(4.54) |
|||
Х\kph-m/ |
16ЯР]ЙД( CXsJXex\ieH |
|
|||||
где функция |
|
|
|
|
|
||
|
]x\n(x))dx |
JlO, 35 при T<QXD |
|
||||
Л(Г) = |
J _________ |
(4.55) |
|||||
Jx2(n(x))dx |0,5х*2 =0,5K2(QW /T)2 при T>QlD, |
|||||||
|
|
||||||
|
о |
|
|
|
|
|
|
x* = tficu / а{Г, |
01D = hcXs/ ax. |
|
|
||||
Оценим |
время |
релаксации трЛ_т . Для параметров Т = 300К = |
|||||
= 3 10"14 эрг, 01О = 2ООК = 2-1О"14эрг, |
ах= 3 1 0 _8см, JXa = 800К = |
||||||
= 8 10"14эрг, |
\1еН = 0,1К = 10-17эрг, |
\1еМх= 0,1К = 10"17эрг, |
р, = |
||||
= 3 г/см3, cXs= 105 см/с находим, что |
|
|
|||||
•\ph_ m = (g? r 2io-*c. |
|
(4.56) |
|||||
Если константа магнитострикции g** равна, скажем, 0,1, то время ре лаксации тХрНm —10-4 с.
Итак, эффективное время релаксации в магнитной примесной фазе определяется суммой обратных времен (4.37) и (4.54), а значит, формула (4.16) дает
у(аэ) = — |
|
Э(пр.) x0kk2d k - |
|
n if p c j |
J de0(k) |
||
G2e U * < o 2 kj |
dW > |
(4.57a) |
|
I2n2pxc2 J |
Эе,(*) |
||
|
|||
где xf* = X \ k X l k p h - m
X l k + X U p b - m
215
Если время i lit < ^\kPh-m>то поведение коэффициента затухания у(со) будет точно таким же, как и в (4.46). Если же наоборот (что будет иметь место лишь при высоких температурах), т.е. когда хХк > ххкр11_т, то температурная зависимость (4.57) станет иной и
у(со) = - Со2вр(1-5*)со2 *? д(пок) x0kk2dk - 12712рс?
Э Ы
(4.576)
12к2рjc,2 Ь Эе,(*)
Следует, кстати, заметить, что температура, выше которой будет преобладать механизм рассеяния фононов на магнонах, а не фононный
механизм, определяется очевидным уравнением |
|
{U'C,l ) = {U xIkph- J . |
(4.58) |
где угловые скобочки означают усреднение выражений (4.37) и (4.53в) по равновесной функции распределения фононов (пк). Для фононмагнонного механизма это дается формулой (4.54), а для времени хХк подобная процедура также элементарна, и мы находим, что
J _ |
7t3G292Dr 5 |
|
01D, |
(4.59а) |
|||
|
|
|
|
при T < |
|||
|
в Ю Л ^ с ? , |
|
|
|
|||
_ 1_ |
n2G2Q2DT2 |
|
Эю. |
(4.596) |
|||
Х1к |
|
|
|
при Т > |
|||
648ftpfa,9cf, |
|
|
|
||||
Сравнив теперь (4.54) и (4.596), определяем диапазон температур, |
|||||||
при которых время xXph-m < хх: |
|
|
|||||
©ID < Т < Т*, |
|
|
|
|
(4.60) |
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
* * Y ' / |
\ |
„ 2 6 4 |
(4.60а) |
||
Т* = 6,45 |
8 \ |
|
И Л |
PlQ1C1J |
|||
|
l |
G i |
^ |
J |
№ |
|
|
|
|
|
3 \ех у |
|
|
||
Для приведенных выше параметров температура Т* оказывается такой: Т* = (gx* /GX)2(K). Если g**=0,l, a G j = 0,01, то Г* = 400К. Итак, для 01D = 200К при температурах из диапазона 200К < Т < 400К будет преобладать магнонный механизм.
Первый интеграл, входящий в соотношение (4.576), нам известен (см. рассуждения выше, перед формулой (4.39)), а вот второй интеграл, в котором фигурирует время хи/,Л_т , нам предстоит вычислить. Подстановка хх из формулы (4.53в) дает
Yi(co)= - G,2Q2^ * со2 *[ д(щк) X\kph-mk2dk -
12*2Plc2 i дгх(к)
216
4^* со2 Ч У |
л2 |
2 |
кГ |
5 Ы |
|
|
’ ID Г М 4 |
ler I |
d&, |
||||
3п |
** |
v-Miy |
J te l |
*1 |
Эе^Л) |
|
V#i У |
|
|||||
где fcj есть параметр "обрезания" и кх= я/(/?). Имеем
*Г |
_ZLA */ |
_ |
г(д> |
|
J [Э(п,|1)/Эе1(*)]<й: |
||||
fel s 3 r j, |
л(ед - 1 ) _ |
K(ftch )2 ' |
||
|
здесь пределы интегрирования есть х* = Tthcls/a xT, а хх= nhcls /(R)T.
Итак, искомое |
затухание |
|
|
|
44* со2 |
\ 2 |
|
Y1(со) = |
Q\D(R)a\Jlex |
(4.61) |
|
Зл2 |
\*i У |
||
Следовательно, полные потери в этом случае находятся с помощью первого слагаемого формулы (4.39) и с помощью Yi(co) из (4.61). То
есть |
^ V ( i - 4 ) 2 |
1п1/ЮТо)+^И9w(R)a\jlx ,.2 |
Y(0)) = |
||
, , |
54(D2( l- 4 * ) p V a f o |
ч 44 * f G, Y |
(4.62)
Здесь было использовано явное выражение для Q0, которое определено после формулы (4.38), и
„п3Со0о(1 - ^*)(1 - Ч)2Т*
Uo ~ |
SlO ^pV c* |
Подчеркнем, что (4.62) справедливо в принципе при любых тем пературах. Если Т => 0, то вместо Т следует писать сумму Т + Л/т, где т - характерное время рассеяния фононов на примесных чужеродных атомах. Мы выделили слово "атомы", чтобы не произошло путаницы с примесной (мелкодисперсной) фазой.
Пусть теперь длина волны звука лежит в области
2-
Вычислим температурную зависимость в этом случае. В данном диапазоне затухание определяется общей формулой (4.23) или уже более пригодной к нашему случаю формулой (4.39), но со временем не
х]к, а т^ . В самом деле, согласно выражению (4.62) и учитывая последнее слагаемое в зависимости (4.39), имеем
Y (c o ) = 54ш2(1 -4*)р2д6ОоС5 ln(l/(DT0)+
я4Й2(1-4)2
217
+ 4^ *со2 |
** |
9?р(й)а,У,г„ t |* c ,(2 o n 0) ''2 |
|
3к2 |
) H.Mift’cli |
(4.63) |
|
U i |
3<R> |
||
3. Если A,3B |
l o , i p h ,m ^ (Я). тогда |
из выражения (4.41) и (4.42) с |
|
учетом свойств магнитной примесной фазы (см. формулы (4.53)) найдем для Jex> T $> 0О:
у(ю) = K 2G2Q2DQ3T( \-£*) |
TC2Gi2efpco7^*(l + /?co) |
^*с,(2йУГ0)1/2 |
|||
|
648р3а9с^ |
|
|
648p3afc19 |
3(Л> |
При Г «= 0Р, Je |
|
|
|
(4.64) |
|
|
|
|
|
||
|
-2/-.2л2 ,.,»г4 |
|
. n3Gfe?D® 74;*(l + *©) . |
||
т ^ - |
|
о |
|||
|
+ |
648йзрзабс9 |
|
||
|
810й3р3а6с9 |
|
|
|
|
, ^*сд(2(0Т0)1/2 |
|
|
|
(4.65) |
|
|
3 ( R ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где R определено выражением (4.53в), согласно которому |
|||||
* < « ) - £ ■ }У,3 г2 .. |
> и* 2 |
V . |
|
|
|
|
le T c p jflfy ^ ^ c i |
|
|
||
а значит, |
|
|
|
|
|
д_ иГ)2(ц,м,)2йг |
|
|
|
||
16тср,а,34 , ц , я 4 ' |
|
|
(4 66) |
||
Итак, искомые потери звуковой энергии в структуре D+M в диа |
|||||
пазоне длин волн X эВ < |
1о,\рН,т^ |
(Я) определяются выражениями (4.64) |
|||
и(4.65).
4.Пусть теперь (R) < Х ЗВ< /0ЛрЛ.т .
Здесь аналогично типу D + D (см. формулу (4.45)) с учетом явного вида параметра R из формулы (4.66) и с учетом затухания У2(й)) находим, что
у(со) = те3С?^е|,(1 - ^)7’4со |
^7C3G120fDr 4© |
|
■810Й3р3а6с9 + |
810Й3р3а,бС|9 + |
|
, (а* )2(М *1)2*Г ©2+ у 2(ш) |
при Т < Qow |
|
l6npxalclJ2x\ieH |
|
|
и |
|
|
у(ш) = п3С02ег0(1-^)Гш | 5У |
с,29?пГ(0 |
|
648p3a64 c J |
648p?a1, cfI |
|
218
|
|
|
|
°* зз^зв) |
|
|
|
|
Of |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рис. 4.6. |
С хем ати ческая |
зависим ость |
коэф ф и ц и ен та |
затухания звука |
в |
||||||
структуре типа D + М от |
частоты . При |
£ ^ |
0 |
кривая |
Vco приближ ается |
к |
|||||
кривой (О2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, (g ,")V ,M i)2w |
м2 + у2(со) при Т ^ |
0О,1£), |
|
(4.67) |
|||||||
16тср,а,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где у2(ш) = ZfCsM W csf. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
И наконец, последний случай. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
5. (R) < lo,lph.m |
^зв- |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Приведенный диапазон будет характеризоваться, как мы знаем, |
|||||||||||
следующим коэффициентом звуковых "потерь": |
|
|
|
|
|||||||
, ч |
54со2(1—^ |
)p2a6alcs , „ , |
ч |
|
t * |
, |
ч'с о V |
|
|||
Y(CD) |
= ----------- 4 fc2 n |
|
|
1п(1/С0Т0)+ ^ |
C |
> , > |
|
(4.67а) |
|||
|
ТСЙ (1-q) |
|
|
|
|
|
Vе* У |
|
|||
График зависимости коэффициента затухания звука в структуре D + М в широком диапазоне частот иллюстрирует рис. 4.6. Из него, в част ности, видно, что магнитная примесная фаза довольно существенно влияет на поведение у(со) для не слишком малых концентраций
4.4. СТРУКТУРА М +D
Когда основная матрица магнитная, то поглощение в ней обуслов лено не только фононным взаимодействием, но и магнон-фононным. Это, безусловно, сказывается и на функциональной зависимости такого параметра, как затухание у(£й). хотя, надо заметить, частотное пове дение коэффициента поглощения останется прежним: на малых со зату хание будет пропорционально квадрату частоты звука, а на больших оно выходит на насыщение, но температурные зависимости, и в частности зависимость от объемной концентрации, станут иными. Учет этой зависимости может оказаться весьма важным при исследовании свойств подобных структур в целях их последующего практического
219
применения, например, в акустике или радиотехнике. Сосредоточим наше внимание, так же как и выше, на пяти известных нам диапазонах частоты внешней звуковой волны и определим все особенности харак тера поглощения звука в подобных системах. Надо заметить также, что хотя здесь и исследуются свойства чисто кристаллических компози тов, тем не менее общие закономерности, а главное, алгоритм вычисле ний, даваемый нами в настоящей монографии, позволят применять мно гие предложенные оценки и для изучения любых других составных структур, в том числе и таких сйльно неупорядоченных, как, например, полимеры и стекла.
Итак, начнем с первого диапазона.
A ),lph,m ^ ( Я ) ^ ^ з в -
Согласно формуле (4.18), в которой фигурируют времена т0* и т и, для данного специфического случая, время То* следует заменить на 1^,
которое включает в себя и взаимодействие фононов с магнонами. В самом деле,
^ o k |
^ о к |
^ о к p h - m |
Что касается времени релаксации Tj *, то оно останется без изменения. Тогда имеем
у(со) = Yo(w) + Yi(®) = ~ |
12тс рс5 |
J f ~ ^ To**2^ “ |
|
о ое0(к) |
|
|
гл |
(4.69) |
127C2p jс,2 Ь dE,(fc) |
|
|
|
|
Но время тkph-m было вычислено выше (см. формулу (4.53в)) для примесной мелкодисперсной фазы. Для применения этого времени релаксации к основной матрице, о которой сейчас идет речь, следует просто соответствующие индексы "1” заменить на индекс "О”. Тогда имеем
— -— = А0к2, |
(4.70а) |
X O k p h - u
где
(goffaeMofhT
(4.706)
1блра3У02сх|1,Я
Единственное, что мы не изменили, это, конечно, зависимость от волно вого вектора фонона к. Здесь средняя спонтанная намагниченность ос-
- |
w |
з |
** |
новнои матрицы есть MQ = |
|
где а0 - межатомное расстояние, ^ - |
|
константа магнитострикции в основной матрице.
220