книги / Физика композитов.Термодинамические и диссипативные свойства
.pdfОценка времени
Как известно [3.56, с. 100], на магнетик, находящийся в магнитном поле #о, действует крутящий момент
К = (X/ 4lt)J {[г X Н0](пН0) - 0,5И02[г X п]}#, |
(П3.1) |
где х - магнитная восприимчивость, вектор нормали к поверхности ча стицы п = г/г, df~ элемент площади поверхности. Геометрия распо ложения магнитных частиц в пространстве показана на рис. П3.1.
Выбирая полярную ось вдоль направления поля Н0 и при условии, что тело сферическое, немедленно находим
J [г х п] df —0,
~Г - 0 ф
[ г х Н 0] г cos 0 г sin 0 0 = - е фгЯ0sin 0.
н о 0 0
Скалярное же произведение векторов есть пНо = Я0сos0. Воспользовавшись тем, что df= R2sinQdQdq, из (П3.1) получаем
искомый крутящий момент, действующий на тело сферической формы со стороны внешнего магнитного поля Я0:
* Ф= -0, 5%HQR3Jsin2 0 cos 0^0 = -2%HQR3/ 3, |
(П3.2) |
о |
|
где R - радиус шарика.
(Следует сразу подчеркнуть, что угол 0 является, вообще говоря, функцией времени, которое неявно фигурирует в выражении (П3.2).
С другой стороны, момент сил трения, действующих со стороны жидкости на тело, может быть найден с помощью тензора вязких на-
Рис. П3.1. Геометрия расположения магнитной частицы в пространстве Магнитное поле HQ направлено по оси x . n -ось анизотропии, М -
средняя намагниченность частицы. 0(г) - текущий угол поворота. £2ф - ф - компонента угловой скорости сферической частицы
311
пряжений. В самом деле, согласно [4.8, с. 99] при выборе полярной оси вдоль поля HQ (см. рис. П3.1) имеем
К™ =-27i/?3J a ;r|r=*cosesin&ie. |
(ПЗ.З) |
где |
|
Од,. = T|(du r / rdQ+ dvQ/ d r - v Q/ г). |
(П3.4) |
Для неравномерно вращающегося в вязкой среде шарика поле ско ростей вблизи его поверхности описывается довольно сложными урав нениями [4.8, с. 132]. Мы, однако, имеем право воспользоваться пре дельным выражением, которое справедливо как раз в рамках нашей за дачи, а именно в приближении сильно вязкого вещества, т.е. при боль ших Т|. Тогда оказывается, что поле скоростей вблизи шара приблизи тельно то же самое, что и в случае, когда тело равномерно вращается. Действительно, тогда
v = fl3[ f t x r ] / r \ |
(П3.5) |
где вектор £2 имеет компоненты [£2Г, £10, £2ф} = [0, 0, 0}, и, следо вательно, компоненты скорости будут такими:
v r = -(0tf3/ r 2)sin0, |
|
■ие = (0Я3 / г 2)cos0, |
(П3.6) |
= 0 . |
|
Поэтому единственная отличная от нуля компонента тензора вяз ких напряжений есть
c'Qr =^Ti0(/?3/ r 3)cos0lr=* = -^ 0 c o s0 . |
(П3.7) |
Подставляя теперь (П3.7) в (ПЗ.З), находим "тормозящий" момент:
К™ = 8mV?3J 0cos2 0sinQdQ. |
(П3.8) |
о |
|
Итак, уравнение движения неравномерно вращающегося в магнит ном поле и в вязкой среде шарика есть
Уё = -2хЯ £я3/3-8тп1Я3/ 0cos20sin070, |
(П3.9) |
о |
|
где (р-чр- компонента тензора момента инерции |
|
7 = 0,6т шЯ2. |
(П3.10) |
Надо заметить, что уравнение "движения" (П3.9) является, вообще говоря, интегро-дифференциальным. На малых временах, таких, что левая часть (П3.9) значительно больше правой, мы имеем право вынес ти производную dQ/dt = £2ф за знак интеграла, и в результате получим простое однородное дифференциальное уравнение второго порядка с
312
Рис. П3.2. Графическое решение трансцендентного уравнения (П3.14) Физический смысл имеет лишь корень t*
постоянными коэффициентами:
ё +тв +со5=0, |
(П3.11) |
где затухание
у = 16лт|Я3/3/, |
(П3.12а) |
а частота
со0 = (2х/& 3/3J)'12. |
(П3.126) |
Решение уравнения (П3.11), удовлетворяющее начальным условиям
0(0) = 0О
0(0) = 0,
имеет элементарный вид:
(П3.13)
Оценим время поворота намагниченности из самого неблагоприятного положения, а именно когда намагниченность "смотрит" в противопо ложном полю Н0 направлении. Полагая 0О= л, а 0 = 0 , получаем из (П3.13) следующее трансцедентное уравнение:
у2л/ось + l - y t ~ e~v• |
(ПЗЛ4) |
Его графическое решение приведено на рис. П3.2. Из рисунка следует, что возможны две точки пересечения, из которых мы выберем лишь одну - 1* Чтобы вычислить t * , положим
г* = у -1(1 + лу2 /(Оо)-£’ |
(П3.15) |
где малая величина %удовлетворяет уравнению
£y3 ^ l+*r2/Mo>+fr
Если £у мало (а оно мало - мы это сейчас увидим), что в силу этого
313
е^У = 1 + fyf, и мы имеем
(П3.16)
V(<,HV '» 2
И окончательно из (П3.15) получаем решение:
(П3.17)
Проанализируем полученное решение. При у < со0
(П3.176)
Второй случай, который, собственно, и представляет интерес, по скольку описывает сильно вязкую субстанцию, позволяет оценить время t*. Действительно, если подставить значения параметров у и со0 согласно (П3.12), то найдем
(П3.18)
При получении этого выражения было использовано соотношение (П3.10) для момента инерции шара. Оценим время t* Пусть, например, рш = 7,8 г/см3, R = 10~3 см, Т| = 10 г/см • с, Н0 = 103 э, % = 10б, тогда получим, что г* — 0,8 103 с. В меньших магнитных полях время /* сильно растет (как видно из формулы (П3.18), оно обратно пропор
ционально #оОЛюбопытно, пожалуй, и то, что t* не зависит от раз мера частиц R.
Приведенная оценка, однако, не исчерпывает всего анализа про цесса установления равновесия в подобных системах. Существует, по мимо описанного, и такое известное явление, как седиментация (выпа дение в осадок). Следует учесть и эту возможность и оценить рас стояние d, на которое успеет (если вообще возможна седиментация - может оказаться, что в силу малости частиц мелкодисперсной фазы они ввиду большой вязкости расплава вообще не будут опускаться на дно) опуститься магнитная частица за время t*
Согласно рис. ПЗ.З уравнение движения можно записать в виде
т8 + F ^ co sa - F0 = mdv/dt, (ПЗ. 19)
где F3ф = —dUldr, U - энергия взаимодействия нашей выделенной час тицы "а" с окружающими ее частицами мелкодисперсной фазы. Направ-
314
"о
Рис. ПЗ.З. Схематическое представление реальных сил, действующих на магнитную частицу в вязкой жидкости в поле Но
Рис. П3.4. Смещение частицы в поле тяжести на расстояние d за время х
По оценке, приведенной в тексте, за время Л в течение которого происходит поворот магнитного момента частицы в положение по полю HQ, смещение d несущественно
ление силы /^ф выбрано "вниз", как самое "проигрышное" в плане помо щи силы /‘'эф движению шариха вниз по направлению действия силы тяжести. Сила сопротивления Fc= 6KT\RV, т - масса шарика (частицы).
Положив в уравнении (П3.19) а = 0 и интегрируя его, легко на ходим искомое смещение:
d(I) = т2(« + F*, / т)(1/х + е-"х - 1), |
(П3.20) |
где время |
|
т |
|
т = 6KT\R |
(П3.21) |
Оценим величину смещения d (рис. П3.4) за время г* (см. выражение (ПЗ. 18)). Подставляя г* в формулу (П3.20), находим
d * = d{t*) = т2 (g + / m)y(q), |
(П3.22) |
|
где функция |
|
|
у(<7) = q - |
1 |
|
а |
|
|
q = t* / х = |
36я2Т12 |
(П3.23) |
|
Х^оРш^2 ‘ |
|
Подставляя приведенные выше значения параметров в q, получим, что q = 4,6 • 109. Время т из (П3.21) будет примерно равно 1,7 10-7 с. И значит, из (П3.20) следует, что искомое смещение есть сГ = 0,13 см.
Таким образом, опираясь на приведенные оценки, мы имеем право
315
утверждать, что магнитоупорядоченную структуру в композите можно получить изложенным выше методом.
Найдем теперь решение интегро-дифференциального уравнения (П3.9) в случае, когда релаксация линейна и dQ/dt = -0 /т. Действи тельно, тогда имеем
JQ = - D \ |
(П3.24) |
где
D* = 2х/#?3/3 + 871T|/?3D/T,
а
D = J 0cos20sin0<f0 = я/3.
о
Решение уравнения (П3.24), удовлетворяющее поставленным на чальным условиям, есть тогда:
0(г) = 0О- (хЯ^Я3 / 3J + 4я2Т|Я3 / ЗУт)г2 |
(П3.25) |
Поскольку 0(0 => 0 за время t = т, для времени т находим простое квадратное уравнение, решая которое получим
-ли
4я2Т| г Ал2ц ч2 |
370, |
т = -------£ + |
(П3.26) |
Х^Г |
%Я2Я3 |
Это и есть искомое время релаксации. В сильных магнитных полях из (П3.26) следует:
т = |
ЗУ0о |
(П3.27) |
2пЗ |
||
|
Х^о* |
|
В принципе этот результат должен быть получен и по логике, поскольку в сильном магнитном поле вязкость роли не играет. И как видно из последнего выражения, время т, как и следовало, обратно пропорционально магнитному полю Н0.
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ ВЫВОД ЗАКОНА ФОГЕЛЯ-ВУЛЬЧЕРА
Для описания зависимости вязкости расплавов от меры близости температуры Т к точке кристаллизации Ткр введем абстрактный пара метр \у, который условно назовем параметром синергизма. Такое на первый взгляд общее название выбрано нами, потому что при при ближении к температуре кристаллизации вся внутренняя структура расплава начинает самоорганизовываться (хотя и под влиянием тер мостата, в котором находится) в кристаллическую и, таким образом, становится пространственно упорядоченной.
316
Потребуем, чтобы характерное изменение ф подчинялось "гидроди намическому" условию: krc < 1, где к = 1/5г, 8 г - характерная область изменений пространственной координаты функции у, на которых она существенно меняется, rc = г0[Ткр/(Ткр - Т)]Р, показатель степени Р > О, Ткртемпература кристаллизации. Дальнейшее изложение будет осно вано на результатах работы [6.130].
В терминах параметра ф запишем общее выражение для свободной энергии вязкокристаллического вещества в виде следующего функ
ционального интеграла: |
|
F = -71nJexp[-tf (ф, ф}/Г]8ф8ф, |
(П4.1) |
где еще один параметр ср есть поле гидродинамических (в буквальном смысле) скоростей. Его введение обосновывается с помощью следую щих физических расуждений.
При вымерзании отдельных областей жидкой фазы существует отличный от нуля поток вещества жидкости к центрам кристаллизации, которые будем условно называть зародышами (или островками). В силу медленности процесса кристаллизации число Рейнольдса мало (Re < 1), и, значит, этот поток можно считать ламинарным. Кроме того, такая неньютоновская жидкость (ее вязкость есть функция координат) может считаться и несжимаемой. Это значит, что ламинарный поток, ко всему прочему, и потенциальный. Таким образом, имеем rotv = 0, где век тор v - скорость ламинарного потока. В связи с этим можно полагать, что v = Vср. Поле скоростей ф и есть тот дополнительный искомый параметр. Надо сказать, что уравнение непрерывности для несжи маемой жидкости в том виде, в котором все привыкли его писать, а именно divv = 0, для неравновесной системы не годится: здесь следует обязательно учесть параметр синергизма ф. Мы сейчас не ставим целью вывод уравнения непрерывности для неравновесной системы, наша цель - выяснение зависимости вязкости от разности темпера тур Ткр-Т.
Итак, гамильтониан структуры #{ф, ф} мы запишем в виде квад ратичной функции по параметрам ф и ф . Учитывая неоднородность структуры, имеем
Я{\|/, <р} = 0.5 J[5, (dV / дх, ? + (Г - Гкр)>к2 +
+T|(d2<p / dxf )2 + fi2VyV(p]d3jc, |
(П4.2) |
где индекс i = х, у, z, а параметры В\ 2 - некоторые феноменологи ческие константы.
В грубом приближении, полагая, что функции ф и ф периодические, разложим их в ряд Фурье. Тогда из (П4.2) получим
Я{ф,ф) = 0,51 {ЛЯ4ф,Ф -,+
я
+iB2<l2(<Pq''V-q+<P-<i')fq) + (Blq2 +r~2)\\fq\\f_q}. |
(П4.3) |
Для получения выражения для свободной энергии вязкокристалли-
317
ческой структуры нам следует провести интегрирование по обоим динамическим параметрам \|/ и ср. То есть с учетом (П4.3) имеем
F = -T\nZ,
где статистическая сумма
Z = П |
I ехрх |
ч |
|
х |
+Ш202(У«У-« +<?%'\fq) + (Blq2 + r;2)4?q\?'_q |
dTq, |
|
|
IT |
|
(П4.4) |
где dT = dyqdq>*_qd y qdy*_q.
Стоящее в числителе экспоненты выражение необходимо диагонализировать. Обозначив Ax=T\q* 12, A2 -iB 2q2, A3 =Bxq2 + r~2, пред ставим квадратичную форму от динамических переменных <р и \|/ таким образом:
Н2 =Ах(p9<p% + 0,5А2(<р,\|f!, + V ,) + А3v , |
• |
|||
Очевидно, что линейное преобразование |
|
|||
Ф<7 = “ll^lg + “l2^2-<?’ |
|
|||
Vg = U2&\q + И21^2q* |
(П4.5) |
|||
где элементы матрицы и есть |
|
|||
_________ IAg\_______ |
|
|||
- “ 22 - |
р ^ |
,2 |
- A J ) 2 ] i/ 2 ’ |
|
_ |
|
2 0 4 , - 5 ) |
(П4-6) |
|
“ 12 - “ 21 - |
р |
,2 |
- Д , ) 2 ] ,/ 2 ’ |
|
решает задачу о диагонализации Н2.
Собственные значения энергии определяются формулой
^1,2 _ |
А\+А2 ± [(Ах- А ъ)2+\А2 \2]]12 |
|
2 |
(П4.7) |
|
|
2 |
Заметим, что Н2 есть положительно определенная квадратичная форма. При этом статистическая сумма сводится к чисто гауссовской форме и вычисление интеграла по dTq элементарно. В результате
F = -7 X |
(Г|Л2 |
+ г~'1)-В 2д' |
In |
(П4.8) |
|
ч |
ВгЧ2 Р| |
4ГВ22(В ,^ + гс-2) |
Чтобы вычислить сумму по "q", перейдем от суммирования к интег рированию в предельном термодинамическом переходе, когда V => «.
318
То есть, положив
X (...) = 4тiV\(...)q2dq,
я
находим |
|
|
|
|
|
F = F0 - ( n V / B ^ ) x |
|
|
|
||
чо |
„ |
„ |
„ чо |
. 9о |
_ |
4 J |
л ^ 2Л г -(3/в,^ )| |
H2d9+ (3/B ,V )J |
/(? 2 + г-2/В,) |
||
{0 |
|
|
0 |
0 |
(П4.9) |
|
|
|
|
|
|
где FQ - постоянная, которую далее будем опускать. |
|||||
Для <7о > |
последний интеграл можно вычислить с помощью |
||||
теории вычетов. В самом деле, имеем |
|
||||
90 |
|
00 |
t l^ 9 /(92 +1 / B,rc2) = jcr,2(l/ В\'2гс). |
||
/ = J |
(...)d9 = 0,5 J |
||||
0 |
|
|
|
|
|
Полагая здесь, q0 = 1/в\^гс, и дифференцируя (П4.9) по qo, находим следующее уравнение для определения экстремального значения сво бодной энергии F(rc):
dF/dq0 = 0.
В раскрытом виде оно таково:
dn |
, 2B|5,V ( 4 g02 - 3 /B ,^ ) ii 0 |
dq0 |
Зп |
Решая полученное дифференциальное уравнение относительно Т| и полагая в конце, что q0 = 1/В^ гс, легко находим, что
Л = По ехр{10Гкр /9л(Гкр - Г)}. |
(П4.10) |
А это и есть не что иное, как закон Фогеля-Вульчера, установлен ный авторами чисто эмпирическим путем. Заметим, что в показателе экспоненты стоит не щель А, как, казалось бы, и должно быть, а критическая температура Ткр. Дело в том, что цель, которая ставилась вначале, преследовала выяснение лишь критической зависимости вяз кости от степени приближенности к температуре кристаллизации и отнюдь не претендовала на учет всевозможных факторов, влияющих на формирование кристаллической фазы, а значит, поставленную задачу можно считать решенной.
319
ПРИЛОЖЕНИЕ 5
ВЫВОД КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ В УСЛОВИЯХ ВОЗДЕЙСТВИЯ ВНЕШНЕГО ПЕРЕМЕННОГО ПОЛЯ
При изучении вопросов, связанных с поглощением энергии высоко частотного магнитного поля любыми магнитными подсистемами (элект ронными или ядерными), может возникнуть потребность в теорети ческом описании мнимой части магнитной восприимчивости. Если час тота внешнего (сокращенно ВЧ) поля мала (сот 1, где т - среднее время установления квазиравновесного состояния в подсистемах: иначе говоря, это есть время установления квазиравновесной температуры по ансамблю квазичастиц), то описание восприимчивости можно проводить, исходя из обычного уравнения Больцмана в известном уже нам т-приближении.
При больших частотах (сот > 1) восприимчивость начинает не линейно зависеть от амплитуды поля, и выяснение этой зависимости уже требует аккуратного подхода в выводе кинетического уравнения для такого случая.
Метод, которым воспользуемся мы для вывода этого уравнения, основан на технике матричных функций Грина (Келдыш, 1964) и пред ставляет собой альтернативный подход к задаче.
Пусть гамильтониан системы есть Н = Н0 + Нint + V(t), где Hinl - гамильтониан взаимодействия, V(t) - оператор, учитывающий взаимо действие с переменным полем. Введем следующую матричную функ цию Грина:
G ti |
G t i |
|
|
G \2 |
|
где Gf2' = -i{T I o,aj |
I), G*{ = -i(T“ I a,aj I), |
|
GY = -i<l |
I), |
GY = -i(l a ,4 l>. |
T - оператор хронологического упорядочения, T° - оператор антихронологического упорядочения. В отсутствие внешнего поля функция
G]2 = G 12- Усреднение проводится не по основному состоянию, а по возбужденному, которое обусловлено наличием переменного поля. Все операторы беруется в гейзенберговском представлении.
Чтобы точно учесть переменное поле, следует ввести очень удобное для этой цели так называемое представление Фарри. В этом представлении операторы рождения (а+) и уничтожения (а) могут быть записаны в виде
aF(r,t) = aF(x) = exp {/ J V(t)dt)a(x)exp{-i J V(t)dt}, |
(П5.1) |
где a{x) = exp{ijH0(t)dt}a exp{-ijH0(t)dt) - оператор уничтожения в представлении взаимодействия.
320