книги / Физика композитов.Термодинамические и диссипативные свойства

6.19. Anderson P.W. On the theory of exchange interaction // Phys. Rev. 1961.

Vol. 125, N 5 . P .541.

6.20. Hubbard J. Electron correlations in narrow energy nands // Proc. Roy. Soc.

London A. 1963. Vol. 276. P. 238-257.

6.21. Абрикосов А.А., Горьков Л.П., Дзялошинский И.Е. М етоды кван­

товой теории поля в статистической физике. М.: Ф изматгиз, 1962.

6.22. Изюмов ЮЛ., Кассан-Оглы Ф.А., Скрябин Ю.Н. П олевы е методы в

теории ф ерромагнетизма. М.: Н аука, 1974.

6.23. Изюмов ЮЛ., Скрябин Ю.Н. С татистическая м еханика м агнито­ упорядоченных систем. М.: Н аука, 1987.

6.24.Gladkov S.O. Microscopic theory of combustion of solid fuel // Phys. Lett.

A.1990. Vol. 148. P. 253.

6.25. Федер E. Ф ракталы . M.: Мир, 1991. 260	c.
6.26. Кусов А Л . Ф ононная модель разруш ения нагруж енной атомной
цепочки // ФТТ. 1979. Т. 21, № 10. С. 3095-3102.
6.27. Петров ВЛ. О механизме и кинетике	макроразруш ения // Т ам же.

№12. С. 3681-3686.

6.28.Бартенев Г.М. П рочность и механизм разруш ения полимеров. М.:

Химия, 1984. 279 с.
6.29. Журков	С.Н. Д илатонны й м еханизм				п рочности тверды х			тел //
Физика прочности и пластичности. Л.: Н аука,				1986. С. 5-11.
6.30. Петров ВЛ. Т еоретические основы				микромеханики разруш ения //
Чтения памяти А.Ф. И оф ф е, 1982. Л.: Н аука, 1984. С. 22-28.
6.31. Куксенко	В.С.	М одель перехода		о т	м и кро -	к м ак р о р азр у ш е ­
нию тверды х тел	// Ф изика прочности и		пластичности. Л.: Н аука,					1986.
С. 36-41.	А .И.,	Чевычелов А.Д. К теории разры вной прочности
6.32. Губанов
твердых полимеров // ФТТ. 1962. Т. 4, № 4. С. 928-933.
6.33. Мелъкер А .И.,		Кузнецова Т.Е. О	двух		видах колебаний		в деф ор ­
мированной ангарм онической цепочке атом ов					// ФТТ.	1980. Т.	22,	№ 4.

С.1039-1045.

6.34.Бартенев Г.М., Савин Е.С. В лияние деф ектов химической струк­

туры м акром олекул на	разруш ение полимеров // В ы соком олекуляр. сое­
динения. Б . 1981. Т. 23,	№ 4. С. 305-308; Н еустойчивость молекулы поли­

этилена при растяжении // Там же. № 6. С. 465-468.

6.35. Gladkov S.O. Theoretical study of m icro-and m acroscopic processes developing in solid fuels during combustion. Progr. Energy and Comb. Sci. 1995.

Vol. 21. P. 109-144.

6.36. Gladkov S.O. The kinetics of nuclear magnetically ordered systems // Phys. Rep. 1989. Vol. 182. N 4/5. P. 277-365.

6.37. Cox H.L. The elasticity and strength of paper and other fibrous materials //

Brit. J. Appl. Phys. 1952. Vol. 3, N 2. P. 72-129.

6.38. Yang C.F., Truell R. Scattering of a spherical obstacle in an isotopically elastic solids // J. Appl. Phys. 1956. Vol. 27, N 9. P. 1086-1097.

6.39. Kroner E. Berechung der elastrischen Konstanten des Vielkristalls aus den

Konstanted des Einkristalls // Ztschr. Phys. 1958. Vol. 151, N 4. P. 504-518.

6.40. Einspruch N.G., Witterholt E.J., Truell R. Scattering of a plane transverse wave a spherical obstacle in an elastic medium // J. Appl. Phys. 1960. Vol. 31, N 5. P. 806-818.

10*

291

6.41. Eshelby J.D. Elastic inclusions and inhomogeneities II Progress in solid

mechanics. Amsterdam: North-Holland, 1961. Vol. 2 / Ed. by I.N. Sneddon and

R.Hill. P. 87-140.

6.42. Hashin Z., Strikman S. A variational approach to the theory of the elastic

behaviour of multiphase materials // J. Mech. Phys. Solids. 1963. Vol. 11, N 2. P. 127— 140.

6.43. Hashin Z., Rosen B.W. The elastic moduli of fiber-reinforces materials //

J.Appl. Mech. 1964. Vol. 31, N 2. P. 223-232.

6.44.Twersky V. On propagation in random media of discrete scatterers // Proc.

Symp. Appl. Math. 1964. Vol. 16. P. 84-116.

6.45. Hill R. A self-consistent mechanics of composite materials // J. Mech. Phys.

Solids. 1965. Vol. 13, N 4. P. 213-222.

6.46. Johnson G., Truell R. Numerical computations o f elastic scattering cross section // J. Appl. Phys. 1965. Vol. 36, N 11. P. 3466-3475.

6.47. Kneer G. U ber die B erechnung der E lastizitats-m odulus vielkristaller Aggregate mit Texture // Phys. status solidi. 1965. Vol. 9, N 3. P. 825-838.

6.48. Budiansky B. On the elasric moduli of some heterogeneous materials //

J.Mech. Phys. Solids. 1965. Vol. 13, N 4. P. 223-234.

6.49.Walpole LJ. On bounds for the overall elastic modules of inhomogeneous

system. 1. // Ibid. 1966. Vol. 14, N	1. P.	151-288.
6.50. Walpole LJ. On bounds for the overall elastic modules of inhomogeneous
system. 2 // Ibid. N 5. P. 289-301.
6.51. Tshai O., Cohen LJ.	Elastic properties o f filled and porous epoxy
composites // Intern. J. Mech. Sci.	1967. Vol. 9, N 5. P. 539-546.
6.52. Mai A.K., KnopoffL. Elastic wave velocities in two-componenet systems //
J. Inst. Math. Appl. 1967. Vol. 3, N 6. P.		376-387.
6.53. Kroner E. Elastic moduli of		perfectly disordered composite materials //

J. Mech. Phys. Solids. 1967. Vol. 15, N 4. P. 319-329.

6.54. Болотин В.В., Москаленко В.М. К расчету макроскопических

постоянны х сильно изотропны х композиционны х	м атери алов	// И зв. АН
СССР. МТТ. 1969. № 3. С. 106-111.
6.55. Walpole LJ. On the overall elastic modulues	of composite	materials II

J.Mech. Phys. Solids. 1969. Vol. 17, N 4. P. 235-251.

6.56.Matonis V.A., Small N.C. A macroscopic analysis of composites containing

layered spherical inclusions // Polym. Eng. Sci. 1969. Vol. 9, N 2. P. 90-99.

6.57. Hashin Z. Complex moduli of viscoelastic composites. 1. General theory and application to particulate composites // Intern. J. Solids. Struct. 1979. Vol. 6, N 5. P. 539-552.

6.58. Чекин Б.С. О б эф ф ективны х параметрах упругой среды со случай­ но распределенны ми трещ инами // И зв. А Н СССР. Ф изика Зем ли . 1970.

№10. С. 13-21.

6.59.Ван Фо Фы Г.А. Т еория армированны х м атериалов. Киев: Наук,

думка, 1971. 232 с.

6.60. Achenbach J.D., Sun С.Т. The directional reinforced com posite as a homogeneous continuum with microstmcture // Dynamics of composite materials / Ed. Y. Lee. N.Y., 1972. P. 47-69.

6.61. Sutherland H.J., Lingle R. Geometric dispersion of acoustic waves by a

fibrous composite // J. Compos. Mater. 1972. Vol. 6, N 5. P. 490-501.

6.62. Tauchert T.R., Guselsu A.N. An experimental study of dispersion of stress waves in a fiber-reinforced composite / / J. Appl. Mech. 1972. Vol. 39, N 1. P. 98-102.

292

6.63.Билби Б., Эшелби Дж. Дислокации и теория разрушения // Разру­ шение. М.: Мир, 1973. Т. 1. С. 113-203.

6.64.Dean G.D., Lockett FJ. Determination of the mechanical properties of fiber

composites by ultrasonic techniques // Analysis of the test methods for high modulus fibers and composites. N.Y., 1973. P. 326-346. (Amer. Soc. for Tesring and Materials. S7P; N 521).

6.65.McBride R.J., Kraft W.D. Scattering of a transverse elastic wave by an elastic sphere in a solid medium // J. Appl. Phys. 1972. Vol. 43. P. 4853-4861.

6.66.Bazant Z.P., Keer L.M. Singularities of elastic streesses and of harmonic

function at conical notches or inclusions // Intern, J. Solids and Struct. 1974. Vol. 10, N 9. P. 957-964.

6.67.Bose S.K., Mai A.K. Axial shear waves in a medium with randomly distributed cylinders //J. Acoust. Soc. Amer. 1974. Vol. 55, N 3. P. 519-523.

6.68.Bose S.K., Mai A.K. Elastic waves in a fiber-reinforced composite //

J.Mech. Phys. Solids. 1974. Vol. 22, N 3. P. 219-229.

6.69.Kuster G.T., Toksoz M.N. Velocity and attenuation of seismic waves in two-

phase medium. 1. Theoretical formulations // Geophysics. 1974. Vol. 39, N 5. P. 587606.

6.70.SmithJ.C. Correction and extension of Van der Plo’s method for calculating the shear modulus of particulate composite //J. Res. Nat. Bur. Stand. A. 1974. Vol. 78, N 3. P. 355-361.

6.71.Вавакин A.C., Салганик РЛ. Об эффективных характеристиках

неоднородных сред с изолированными неоднородностями // Изв. АН СССР.

МТГ. 1975. № 3. С. 65-75.

6.72.Кунин И.А. Теория упругих сред с микроструктурой. М.: Наука, 1975. 415 с.

6.73.Datta S.K. Propagation of SH-waves through a fibre reinforced composite-

elliptical cylindrical fibers // J. Appl. Mech. 1975. Vol. 42, N 1. P. 165-170.

6.74.Hlavacek M. A continuum theory for fibre-reinforced composites // Intern. J. Solids Struct. 1975. Vol. 11. P. 119-211.

6.75.Richard T.G. The mechanical behaviour of solid microsphere field

composite // J. Compos. Mater. 1975. Vol. 9, N 2. P. 108-113.

6.76.Левин B.M. К определению упругих и термоупругих постоянных композитных материалов // Изв. АН СССР. МТТ. 1976. № 6. С. 137-145.

6.77.Budiansky В., O'Connell R. Elastic moduli of cracked solids // Intern, J.

Solids Struct. 1976. Vol. 12, N 2. P. 81-91.

6.78.Datta S.K. Scattering of elastic waves by a distribution of inclusions // Arch. Mech. 1976. Vol. 28, N 3. P. 317-324.

6.79.Smith J.C. The elastic constants of a particulate filled glassy polymer //

Polym. Eng. Sci. 1976. Vol. 16, N 6. P. 394-399.

6.80. Gubernatis J.E., Domany E., Krymhansl J.A. Fromal aspects of the theory

of the scattering of ultrasound by flaws in elastic materials // J. Appl. Phys.		1977.
Vol. 48, N7. P. 2804-2811.	Huberman M. The Bom
6.81. Gubernatis J.E., Domany E., Krymhansl J.A.,
approximation in the theory of the scattering of elastic	waves by flows //	Ibid.

P.2812-2819.

6.82.Wilis J.R. Bounds and self-consistent estimates for the overall properties of

anisotropic composites //J. Mech. Phys. Solids. 1977. Vol. 25. P. 185-202.

6.83. Вир P. de. Континуальная теория дислокаций. M.: Мир, 1977. 208 с.

293

6-84. Manera M. Elastic properties of randomly oriented short fiberglass composites // J. Compos. Mater. 1977. Vol. 11. P. 235-247.

6.85.McLaughlin R. A study of the differential scheme for composite materials // Inten. J. Eng. Sci. 1977. Vol. 15, N 4. P. 237-244.

6.86.Dana S.K. Diffraction of plane elastic waves by ellipsoidal inclusions // J.

Acoust. Soc. Amer. 1977. Vol. 61, N 6. P. 1432-1437.

6.87.Datta S.K. A self-consistent approach to multiple scattering by elastic ellipsoidal inclusions Hi. Appl. Mech. 1977. Vol. 44, N 12. P. 657-661.

6.88.Willis J.R. Variational principles and bounds for the overall properties of

composites // Continuum models of discrete system: Ргос. II Intern, symp. continuum models of discrete system. Waterloo, 1978. P. 185-215.

6.89.Domany E., Krumhansl J.A., Teitel S. Quasistatic approximation to the scattering of ellastic waves by a circular crack // J. Appl. Phys. 1978. Vol. 49, N 5. P. 2599-2604.

6.90.Вавакин A.C., Салганик РЛ. Эффективные характеристики тел с

изолированными трещинами, полостями и жесткими включениями // Изв. АН СССР. МТТ. 1978. № 27 С. 95-107.

6.91.Композиционные материалы / Под ред. Л. Браутмана, Р. Крока.

Т.2. Механика композиционных материалов / Ред Дж. Сендецки. М.: Мир, 1978.564 с.

6.92.Gubernatis J.E., Krumhansl J.A., Thomson R.M. Interpretation of elastic-

wave scattering theory for analysis and design of flaw-characterization exeriments: The longwave-length limit // J. Appl. Phys. 1979. Vol. 50, N 2. P. 3338-3345.

6.93.Kohn W Rice J.R. Scattering of long-wavelength elastic waves from localized defects in solids // Ibid. N 5. P. 3346-3353.

6.94.Piau M. Attenuation of a plane compressional wave by a random

distribution of thin circular cracks // Intern. J. Eng. Sci. 1979. Vol. 17, N 7. P. 151— 167.

6.95.Rexer J., Anderson E. Composites with planar reinforcement (flakes, ribbons): A review //Polym. Eng. Sci. 1979. Vol. 19, N 1. P. 1-11.

6.96.Chistensen R.M., Loo K.H. Solutions for effective shear properties in three

phase and cylinder models // J. Mech. Phys. Solids. 1979. Vol. 27, N 4. P. 315-330. 6.97. Gubernatis J.E. Long-wave approximations for the scattering of elastic

waves from flaws with applications to ellipsoidal voids and inclusions // J. Appl. Phys.

1979. Vol. 50, N 6. P. 4046-4058.			waves.
	6.98. Willis J.R. A polarization approach to the scattering of elastic
1.	Scattering by single	inclusion // J. Mech. Phys. Solids. 1980. Vol. 28,	N 5/6.
P.	287-305.	polarization approach to the scattering of elastic	waves.
	6.99. Willis J.R. A

2. Multiple scattering from inclusions // Ibid. P. 307-327.

6.100. Okuno K. On the flexural modulus of the flake-filled plastics // Kobunshi Ronbunshu, 1980. Vol. 37, N 12. P. 789-796.

6.101. Willis J.R. Variational and related methods for the overall properties of composites // Adv. Appl. Mech. 1981. Vol. 21. P. 1-78.

6.102. Willis J.R. Variational principles for dynamic problems for inhomogeneous elastic media//Wave Motion. 1981. Vol. 3, N 1. P. 1-11.

6.103. Исимару А. Распространение и рассеяние волн в случайно-не­ однородных средах. М.: Мир, 1981. Т. 1: Однородное рассеяние и теория переноса. 280 с.; Т. 2: Многократное рассеяние, турбулентность, шеро­ ховатые поверхности, дистанционное зондирование. 317 с.

294

6.104. Канаун С.К. О модели точечных дефектов в механике упругой неоднородной среды // Изв. АН СССР. МТТ. 1982. № 4. С. 109-118.

6.105. Eshelby J.D. The stress on and in a inextensible fiber in a stretched elastic medium //Eng. Fract. Mech. 1982. Vol. 16, N 3. P. 453-^468.

6.106. Talbot D.R.S., Willis J.R. Variational estimates of dispersion and attenuation of Waves in random composites. 1. General theory // Intern. J. Solids Struct. 1982. Vol. 18, N 8. P. 673-683.

6.107. Talbot D.R.S., Willis J.R. Variational estimates for dispersion and attenua­ tion of waves in random composites. 2. Isotropic composites // Ibid. P. 685-698.

6.108. Willis J.R. Elasticity theory of composites // Mechanics of solids / Ed. by H.G. Hopkins and H.J. Sewell. Oxford; N.Y.: Pergamon press, 1982. P. 653-686.

6.109. Кunin I.A. Elastic media with microstructure. Vol. 1. One-domentional models. B. etc.: Springer, 1982. 291 p. Springer Ser. in Solid State Sci.; N 26).

6.110. Aboudi J. The effective moduli of short-fiber composites // Intern. J. Solids Struct. 1983. Vol. 19, N 8. P. 693-707.

6.111. Fu L.S., Mura T. The determination of elastodynamic fields of an ellipsoidal inhomogeneity //J. Appl. Mech. 1983. Vol. 50, N 2. P. 390-396.

6.112. Talbot D.R.S., Willis J.R. Variational estimates for dispersion and attenuation of waves in random composites. 3. Fiber-reinforced materials // Intern. J. Solids Struct. 1983. Vol. 19, N 9. P. 793-811.

6.113. Willis J.R. Some remarks on the application of the QCA to the determination of the overall elastic response of a matrix (inclusion composite) // J. Math. Phys. 1984. Vol. 25, N 6. P. 2116-2120.

6.114. Ванин Г.А. Микромеханика композиционных материалов. Киев: Наук, думка, 1985. 304 с.

6.115. Varadan V.K., Ма Y., Varadam V.V. A multiple scattering theory for elasric wave propagation in discrete random media // J. Acoust. Soc. Amer. 1985. Vol. 77, N 2. P. 375-385.

6.116. Beltzer A.J., Brauer N. Acoustic wave in random discrete media via a differential scheme // J. Appl. Phys. 1987. Vol. 760. P. 583-640.

6.117. Hashin Z. The differential scheme and its application to cracked materials //J. Mech. Phys. Solids. 1988. Vol. 36, N 6. P. 719-734.

6.118. Sabine F.J., Willis J.R. A simple self-consistent analysis of wave propagation in porous media // Elastic wave propagation: Proc. IUTAM symp., Galway, 1988 / Ed. by M.T. McCarthy, M.A. Hayes. Amsterdam: North-Holland, 1989. P. 327-332.

6.119. Torquato S. Microstructure and effective properties of random media // Lect. Appl. Math. 1991. Vol. 27. P. 323-358.

6.120. Torquato S., Rubinstein J. Improved bounds on the effective conductivity of high-contrast suspensions //J. Appl. Phys. 1991. Vol. 69, N 10. P. 7118-7125.

6.121. Вильчевская E.H., Канаун C.K. Интегральные уравнения задачи о тонком включении в однородной упругой среде // Прикл. математика и механика. 1992. Т. 56, № 2. С. 275-285.

6.122. Победря Б.Е. Эволюционная деструкция в механике композитов // Механика твердого тела. 1997. М®2. С. 27-31.

6.123. Журков С.Н. Кинетическая концепция прочности твердых тел //

Вести. АН СССР. 1968. № 3. С. 46-52.

6.124. Журков С.Н., Куксенко В.С., Слуцкер А.И. Образование суб­ микроскопических трещин в полимерах под нагрузкой // ФТТ. 1969. Т. 11, № 2. С. 297-307.

295

6.125. Готлиб Ю.Я., Доброумов А.В., Ельяшевич А.М., Светлов Ю.Е.

Кооперативная кинетика разрушения твердых полимеров: Очаговый ме­ ханизм // ФТГ. 1973. Т. 15, № 3. С. 801-809.

6.126. Бартенев Г.М. Прочность и механизм разрушения полимеров. М.: Химия, 1984. 279 с.

6.127. Гладков С.О, Никольский В.Г. К теории множественного образо­ вания микротрещин при механической нагрузке полимеров // Письма в ЖТФ. 1997. Т. 23, № 24. С. 80-86.

6.128. Гладков С.О. К вопросу турбулизации вязкокристаллической фазы // ЖТФ. 1999. Т. 69, № 12. С. 71-80.

6.129. Гладков С.О. Математическое описание свойств композитов как самоорганизующихся систем. Перспективные материалы. 2000. № 1. С. 18-23.

6.130. Gladkov S.O. On thermodynamic properties of amorphous materials // Physica B. 1989. Vol. 160. P. 211-220.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Заканчивая настоящую монографию, хочется сказать вот о чем. Конечно, тот круг вопросов, который был описан выше, не может претендовать на всеобъемлемость и составляет лишь малую толику от огромного количества как экспериментальных, так и теоретических исследований. Тем более что в настоящей монографии нашли отра­ жение в основном только авторские, да и то чисто теоретические, результаты. Поскольку же композиты не исчерпываются, естественно, рассмотренными в настоящей книге классами кристаллических структур типа D + D,D + M,M + D VIM + M , TO цель, которая преследовалась нами, довольно прозрачна: мы хотели на ряде простых примеров показать, каким образом можно описывать свойства любых, не только кристаллических, но и весьма сложных, веществ, дав алгоритм вычислений таких параметров неравновесности, как, скажем, тепло­ проводность (глава 2), магнитная восприимчивость или, например, проводимость (глава 3). А потому не особенно важно, что в качестве таких примеров были выбраны именно кристаллические структуры.

На наш взгляд, особая роль заключается в главе 5, в которой предложены некоторые формальные чисто математические методы описания сложных квази-^-мерных структур на языке фракталов и в рамках линейных дробных операторов. Там, где вводить эти операции по каким-то причинам не представляется возможным, есть и другой путь описания их свойств - в терминах римановой геометрии с по­ мощью метрики gik.

ПРИЛОЖЕНИЕ!

КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЙ ВЫВОД ФОРМУЛЫ ДЛЯ ТЕНЗОРА ПРОВОДИМОСТИ

ПРИ УЧЕТЕ ПЕРЕМЕННОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ

Уравнение движения для матрицы плотности имеет вид

1Йдр/дг = [Я,р],

(П1.1)

где гамильтониан

H = H0 + Hint + V(Е),

(П1.2)

где HQ - гамильтониан электронов в остутствие взаимодействия, Hmt - гамильтониан взаимодействия электронов со всеми подсистемами (с фононами, магнонами, примесями и т.д.) V(E) = -еЕ(t)x - взаимо­ действие электронов с переменным однородным электрическим полем. Под однородным полем мы здесь подразумеваем поле, область харак­ терных изменений которого превышает размеры области локализации электрона.

Решение уравнения (П1.1) будем искать методом последователь­ ных приближений. То есть положим, что

Р = Ро + Рь	(П1.3)
где матрица плотности р0 удовлетворяет уравнению
/Ядр0 /dt =-[Ро, HQ],	(П1.4)

где HQ =H 0 + HiM.

Поскольку уровни электрона в магнитном поле квантованы, урав­ нение (П1.1) следует записать в матричном виде. В самом деле,

/*dp„„/d( = -[p.H0 + V(E)U .

(П1.5)

Заметим, что гамильтонианом взаимодействия внутри подсистем мы пренебрегли. Это можно сделать, если Н0 > Нт- . В этом случае урав­ нение (П1.5) с учетом (П1.3) можно записать в виде

йдрОпт Id t + ihdP\пт /df = -[р0, Я0]ят - [р,, Н0\пт- [р0. У(Е)]ЯОТ.

Поскольку

^ р 0ят/ ^ = -[р0.Я0]лт,

(П1.6)

искомая добавка к матрице плотности удовлетворяет такому уравне­ нию:

Мдр\пт / dt = -[р,, Н0]пт- [р0, V(E)]nm.

Раскрывая коммутаторы и учитывая, что Н0пт= гтЬпт, получаем

298

(7idp|nm / dt — Plns^m^ms Plsm£s^nj P O n j "*"^(^XisPOsm

По повторяющимся индексам здесь и далее подразумевается сумми­ рование. Раскрывая теперь полученное выражение с учетом явного вида взаимодействия V(E) (см. выше), находим

iW lnm /dt = (£П, - £n)Plnm -еЕСОСрОш, —POmm)Гпт*

(П1.7)

Далее, поскольку матрица плотности в отсутствие взаимодействия с внешним полем может считаться равновесной (строго говоря, это реа­ лизуется только в том случае, если времена установления определенной равновесной температуры много меньше всех остальных времен: только при этом условии мы имеем право воспользоваться равновесным выражением для матрицы плотности), имеем

Ролл = ехР(-£л / Л .	(П 1 .8 )
где уровни энергии е„ заданы выражением
е„ = Ь(йн(п + \/2) + \1еаН + Ру/2т* -ср хЕ/Н,	(П1.9)

где частота (йн =еН / т с , т эффективная масса электрона в твердом теле, с - скорость света, а - спин электрона, Н - однородное магнитное поле, кв - постоянная Больцмана, Т - абсолютная температура, р.е - магнетон Бора.

Итак, с учетом сказанного уравнение (П1.7) дает

ftdPinm/dt-(em- е„)р1шп = -eE(r)r„m(p0„ - p 0m).

(П1.10)

Решение полученного уравнения легко находится при условии, что зави­ симость поля Е(0 задана. Пусть, например,

Е(Г) = Е0 exp(-zcof).	(П1.11)
Имеем тогда:
Pi.mW = -iJeE 0r„m(p0„ - р 0п)С-'“ +,<е" -е",'Л/Й.	(П1.12)

Далее, поскольку оператор скорости электрона удовлетворяет уравнению

ih\ = [г, Н],

то, взяв от обеих частей этого уравнения матричные элементы по состояниям \|f„ и \|/т, получим

f t * пт = глт(£л - £т)-	(П1.13)
Выразив отсюда гпти подставив его в формулу (П1.12), найдем
р1лт(0 = JeE0v„J(p0n -Ро„)/<е„	(П1.14)

Полученное выражение позволяет вычислить квантовую проводимость вещества, обусловленную квантованием уровней электрона в магнит­

299

ном поле. С этой целью запишем выражение для наблюдаемого значения плотности тока через матрицу плотности. Имеем

<j> = Sp(pj),

(П1.15)

знак Sp соответствует суммированию по п, т.е. 5р(...) = Е(...)лл. Угло­ вые скобки означают, как обычно, что речь идет о средней наблю­ даемой величине, a j - оператор плотности тока. Подставляя сюда выражение (П1.14), находим

(j) = JeE0E v „Jm„[(p0m - р 0„)/(е„-Ет )]е-'ш,+'<е" ( П 1 . 1 6 )

С другой стороны, поскольку

<j) = а(ю)Е,

(П1.17)

из соотношения (П1.16) получаем искомое выражение для тензора проводимости:

аа?(ш) = е х 7 vanJ |b„KPo„-PoJ/(£,-E™)]e"to'+,<e”' e")'‘*.

где а, Р = х, у, г.

Если теперь вместо jmn подставить выражение

*тп = еп0у тп'

(П1.18)

(П1.19)

где п0 - концентрация электронов, и ввести затухание 1/тл, описы­ вающее уширение л-го уровня за счет процессов взаимодействия элект­ ронов с остальными подсистемами, то вычисление выражения (П1.16) приводит к формуле

стар((о) = -/Л ,е2Ло1иа„тУртл[(рот -Ро„)/(е„ - е т )]х

х|(еп - е т + Л ш - /Л /тп) 1+(еn - e m- h ( a - i h J T n) 1J/2.

(П1.20)

В различных предельных случаях эта формула упрощается и приводит к компактным выражениям. Пусть, например, поле Е направлено по оси х. Тогда тензор проводимости дает только компоненту хх, и значит, поскольку матричные элементы оператора скорости есть

/ *	.и/2	(П1.21)
v xnn±i = [nhwH/m	)

получаем

Oxx(u ) = - i e 2h 2 r4i(i>H( m * r l 5>[(p0m -р 0л)/(ел - e j ] *

тлп

х | ( е л - е т + Л ( 0 - / Л / т п ( с о ) )" 1 + ( е л - Е т - Д ш - | Л / т я ( а ) ) ) _ , } / 2 .

(П1.22)

300