книги / Физика композитов.Термодинамические и диссипативные свойства

Здесь следует заметить, что введение зависимости уширения от часто­ ты поля имеет место только в том случае, если частота велика, т.е. со > 1/хл. В самом деле, когда оператор Нт1 записан в представлении вторичного квантования, каждый входящий в него оператор рождения (уничтожения) частицы является функцией времени. Действительно, если записать все операторы в представлении Фарри, то после всех манипуляций мы получим время X, зависящее от со.

Из выражения (П1.22) имеем

CT„((0) = (e2n0ft2(0H/ 2m ') l л(р0л1 - р 0„)х

х|[(е„ -e„+A m f+ft2 /(1 „(ш))2]"‘ +	(П1.23)
+{(Е« - £ т - А “ )2 +ft2/(-c„(®))2] 1} /( т,,(а>)(е" “ О	)

Поскольку суммирование в выражении (П1.23) осуществляется только по т = п ± 1, эта формула еще больше упростится. В самом деле, имеем

0 „(<0) = («2n0/2m ')Zn(p0„ .1+ Рол-н - 2 р 0„)Ро» X

c{[(o)-m„)2 + (x„(m))'2] '+[(ш +ш „)2 + (т„(со))'2] ' |/т„(ш).

(П1.24)

Если вместо р0п,Роп+1 подставить их значения, то найдем, что

.	. 2е2Лп	, 2	Йсон	“	лр0я
а хх(со) = — ^ - 5/1			— 7- X		- ^	х
	т		2Т		х
х>	1				1		(П1.25)
(<0 + а,и)2 + “Т			(® -сон)2 + 4 -
		Хп				Тл
В статическом случае (со= 0) из (П1.25) получим:
_	_ 4с2По	2 ЙС0н		-	лр0яхя		(П1.26)
а « ( ° ) -------— sn — г				Ь	-	м2'Д -
	m		2Т	n=i	1 + сонхя

Заметим, что в формуле для а^О ) время хя включает в себя различные процессы взаимодействий, которые могут быть учтены в рамках X-при­ ближения. Это значит, что формально для учета всевозможных дисси­ пативных процессов в формуле (П1.26) следует произвести замену:

-1

. l nimp т. - 1 ’

(П1.27)

-I

где xnjump- уширение п-го уровня, обусловленное прыжковым механиз-

-1

мом, z„imp- уширение, обязанное квантовому переходу примеси из неко-

301

торого (скажем, синглетного) состояния в другое (например, триплет­ ное) состояние благодаря взаимодействию с электроном, находящимся

на уровне п и переходящим в результате на уровень /и, т0*- обратное время жизни электрона в отсутствие магнитного поля.

С учетом сказанного формула (П1.26) несколько усложняется, в результате чего ее анализ делается значительно более громоздким.

Классическая проводимость многокомпонентных веществ

впеременном электрическом поле

Влюбых исследованиях неравновесных явлений неизбежно встает вопрос о теоретическом описании наблюдаемой величины. Сейчас мы рассмотрим поведение проводимости сложных структур (композитов) во внешнем переменном электрическом поле и состоящих как минимум из двух компонент. Введем в рассмотрение объемную концентрацию

=V\!V, где V] - объемная доля примесной фазы. Пусть примесная

фаза - проводник, например графитовые включения, а основная матри­ ца - диэлектрик (см. для сравнения главу 3). При хаотическом распре­ делении этих графитовых макроскопических добавок проводимость та­ кой структуры может быть вычислена исходя из следующих соображе­ ний. Поскольку сопротивление р такой структуры с точки зрения элект­ рона представляет собой чередующиеся проводящие и диэлектрические области, то

p - ' = C p r ' + ( l - | V .

(П1.28)

где pi - удельное сопротивление проводящих включений, а ро - удель­ ное сопротивление основной диэлектрической матрицы. Значит, прово­ димость такой структуры согласно определению а = 1/р можно записать в виде

e = (l-£ * )a 0 +£*а,,

(П1.29)

где a, = 1/р,, а 0 = 1 / ро-

Что касается вычисления Qj и С7о, то соответствующая процедура может быть осуществлена с помощью кинетического уравнения. В са­ мом деле, если мы выходим за область квантовой неопределенности

5p 5 x > h ,

(П1.30)

где Ър - характерное изменение импульса в результате столкновения электронов с другими частицами (или квазичастицами), причем Ьр = р, где р - импульс электрона. А характерный интервал изменения коорди­ наты 8л: соответствует длине пробега электрона /, то с учетом сказан­ ного неравенство (П1.30) можно представить в виде

p l> h.

(П1.31)

Последнее есть условие применимости кинетического подхода.

302

Итак, квазиклассическое кинетическое уравнение, с помощью ко­ торого мы вычислим проводимость с?!, может быть представлено в виде

(d/ / dt) + v(d/ / dr) + F(d/ / dp) = L[f),

(П1.32)

где v - скорость электрона, p - импульс. Сила, действующая на элект­ рон со стороны внешних полей, определена выражением

F = dp/dt = e(E + [\ti]/c),

(П1.33)

где с - скорость света в вакууме, / - функция распределения элект­ ронов, L{f] - интеграл столкновений.

Ищем решение уравнения (П1.32) в виде

/ = /о + 8 /.

(П1.34)

где/о - равновесная функция распределения электронов по импульсам; /о может быть задана в виде фермиевской функции распределения для квантовой статистики, а может быть задана в виде максвелловской функции распределения, если электроны представляют собой классиче­ ский газ твердых шариков. В обоих случаях интеграл столкновения имеет различный вид: для квантовой статистики он определяется га­ мильтонианом взаимодействия электронов с остальными подсистемами и должен быть записан в представлении вторичного квантования, а в случае классического электронного газа (приближение твердых шаров) структура L{f\ определяется сечением столкновения электронов друг с другом, с примесями или с границами структуры.

Подставляя функцию распределения (П1.34) в уравнение (П1.32), получаем

дб/ / dt + е(Е(0 + [vH(f)] / c)df0/dp = - б / / хр.

(П1.35)

Если поля Е и Н монохроматические, то их зависимость от времени можно представить в виде

|Е (0 = Е0еЧш,

(П1.36)

[ т = н 0е-ш

Полагая, что

5/ = 5/0е - ^ ,

находим в результате:

б/ = /е{(Е + [vH] / c)d/0 / dp} /(со- i / x p).

(П1.37)

Поскольку среднее значение плотности тока есть j = аЕ, то согласно газокинетическому определению имеем

j(x,r) = е\ у/(р,х,г)43р/(2яЛ )3

(П1.38)

303

После подстановки сюда выражений (П1.34) и (П1.37) находим

j(f) =/с2J v{(E+[vH] /c)[df0 /dp)}d3p/(2)tft)3(ш - i /тр ].

(П1.39)

Второе слагаемое в фигурных скобках после интегрирования по угло­ вым переменным дает нуль, и следовательно, проводимость может быть найдена из выражения

стар(со) = ie2 jv afj р(d/о / d£)rfЗр /(2nh ) 3 (со - И тр).

(П1.40)

Заметим, что в соотношении (П1.40) Е - энергия. От переменной р мы перешли к переменной Е с помощью соотношения

(d/0/dp) = v(d/0 /dE).

Наконец, отделяя в (П1.40) действительную часть, получаем фор­ мулу

c^ (0)) =-6ope2Jp4(d/0/dE)dp/2jt2ft3(m*)2((02 +l/xJ)t(,.	(П1.41)
Мнимая часть проводимости
а"р(ш) =-8a|,e2(oJ(д/0 /де)ф /2л2ft3 (m*)2(co2 + 1/т2).	(П1.42)

определяет зависимость глубины проникания переменного электромаг­ нитного поля в вещество от частоты этого поля. Глубина проникания характеризуется импедансом £(со), который зависит от а"(©)- В ста­ тическом случае (со = 0) функция £(со) => « и, значит, диэлектрическая проницаемость Е = 1.

Формула (П1.41) может быть доведена до конца, если известна функция распределения электронов. Рассмотрим две возможности.

1./0 =[1 + ехр(Е/, - ц ) / г ] 1

где |1 - химический потенциал. В этом случае производная по энергии может быть заменена 5-функцией. Последнее позволяет сразу же напи­ сать следующий результат:

ст;р(со) = 4л5арп0Т/ге2 /m*(l +со2т^),

(П1.43)

где Т/г определяет время релаксации электрона, вычисленное при значе­ нии энергии, равной энергии Ферми, п0 - концентрация электронов в единице объема.

В случае, например, электрон-электронных столкновений зависи­ мость xF от температуры такова:

U x F(T) = T2/heF.	(П1.44)
Для электрон-фононного механизма взаимодействия имеем
\ / z F(T) = T2/QDh y	(П1.45)

где в/? - температура Дебая. Зависимость времени релаксации от тем­ пературы определяет в результате зависимость проводимости от Т.

304

Рассмотрим теперь второй случай, а именно пусть электроны пред­ ставляют собой классический газ "молекул" в виде шариков.

2./о = ехр(-ер / Г).

Врезультате выражение (П1.45) можно записать в виде

0^(0)) = (s^e* /r)j p V ' ' ' тdp12кгft3(m’ )2tp(l + co2/tp). (П1.46)

Чтобы вычислить полученное выражение, следует выбрать конкретный вид взаимодействия, ответственного за рассеяние электронов. Посколь­ ку речь идет о твердых шариках, можем воспользоваться классическим выражением для интеграла столкновений. Вычисленное по этому ин­ тегралу время можно записать так:

1 / тр = - 8 Ц /р)/8/р	= -{(8 / 5/(г, v, 0)J d3v jZ (X . g)g х
г	1 1	(П1.47)
Х[/(Г>V ,ОД Г, V,,0	- f(r, v, 0 /(r, V,,0]<Ю| при/*=/ед ‘"О*

где 1(х, - сечение рассеяния частиц, g = v - Vj - относительная ско­ рость частиц, х - прицельный угол, dCl - элемент телесного угла, вну­ три которого происходит рассеяние, п0 - число частиц в единице объ­ ема.

После вычисления интеграла и нахождения производной по функции распределения /(г, v, t) следует положить / = f e q , где f e q = Z f 0 = = Ze~еР/т, где Z - нормировочная постоянная, она вычисляется из обыч­ ного условия:

Zje"£',/V p = l.

Задача вычисления сечения рассеяния частиц требует знания их закона взаимодействия. В данном случае, поскольку речь идет о газе элект­ ронов, соответствующее взаимодействие есть просто кулоновская по­ тенциальная энергия:

U = е2 / е г ,

(П1.48)

где Е - диэлектрическая проницаемость среды, г - расстояние между частицами. Согласно формуле Резерфорда сечение рассеяния дается в этом случае зависимостью

L = (е2/2 m eg2f l dSllsin4(x/2).	(П1.49)
Интегрируя по углам в пределах от я/2 до я, находим отсюда, что
Z = 2я(е2/2m£g2)2(23/2 —1)/3.	(П1.50)

Это было бы так, если бы величина g не зависела от угла %. В дей-

11. Гладков С.О.

305

сгвителъности же время релаксации с учетом всех зависимостей от угла X определяется формулой

1/тр = 2%{е2 /2me)2n0J^ 3v1/ 0(v1)x

х \sin%d%l{v 2 - 2 v v xCOSX+L' I2)3 2sin4(x/2).

(П1.51)

n/2

Вычисление последнего интеграла - дело довольно громоздкое, В ре­ зультате длинных выкладок находим следующую зависимость:

JBH= -2(д2/da2)jln^a,/2 +(a+ vvl)112)/(а1/2 +(а + 2L>I/ J)1/2)] +

+(a/vvlf ,2(l + a /vv])U2 - {а 12vu Х)Х'2[\ + а 12vv ^f12^,

(П1.52)

где параметр a = (v - Uj )2.

Нам осталось только оценить последний интеграл, взятый по cPv\. Переходя к сферической системе координат, что осуществляется с помощью замены сРих => Anv\dvi, и считая, что наибольший вклад в гауссовы интегралы дает область порядка (2Г /т )1/2, можно найти искомую зависимость: 1/тр(Г) = 1/т(и, Т). Надо, однако, заметить, что даже такое упрощение приводит к необъятному выражению для вре­ мени релаксации.

Чтобы обойти написание этого выражения, вернемся к формуле (П1.46) и заметим, что наибольший вклад в проводимость дает также и область импульсов (или скоростей), заключенная по порядку величины в диапазоне от -(2тТ)Х12до (2тТ)хгг.

Здесь следует проявить осторожность при подстановке среднего импульса в функцию (П1.52). В самом деле, если подставлять значение импульса ро = (2тТ)ш в формулу (П1.52), то, поскольку в ней уже стоит среднее значение скорости иj = (277m)1/2, получаем расходящееся выражение. Это, однако, кажущаяся расходимость. Дело в том, что точное вычисление с помощью метода перевала средней скорости как в выражении (П1.51), так и в выражении (П1.46) дает различные значения средних скоростей. Это обстоятельство учитывается введени­ ем некоторого параметра q > 1 в формулу для PQ. В самом деле, поло­ жив ро = (2qmT)l/2, можно найти правильное качественное выражение для проводимости электронного газа в виде функции как от частоты поля, так и от температуры.

306

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗАВИСИМОСТИ КОМПОНЕНТ ТЕНЗОРА ДЕПОЛЯРИЗАЦИИ

ОТ КОНЦЕНТРАЦИИ ПРИМЕСНОЙ ФАЗЫ £*

Исследованные в монографии [3.5] сложные пористые вещеста по­ зволили выявить ряд очень любопытных аномальных физических ха­ рактеристик таких структур. При этом, однако, когда речь шла о вы­ яснении зависимости диэлектрической проницаемости е от т (т = £*), был введен тензор деполяризации N, также зависящий от т. Попробуем вычислить параметрическую связь N cm в том случае, когда основная матрица диэлектрика являет собой как бы квазидвухмерную среду, а геометрия расположения пор представляется аксиально-симметричной "дисковой" фигурой, причем вдоль оси z, направленной перпендикуляр­ но плоскости диэлектрика, поры располагаются по концентрическим ок­ ружностям. В центре окружности поры нет. Вот для такой симмет­ ричной фигуры и попытаемся найти искомую зависимость. Надо заметить, что, вычислив зависимость Njk(m), мы тем самым определим и зависимость поскольку в полученной ниже формуле следует формально заменить т на £*. Согласно общему определению компонент тензора деполяризации имеем

Nik = (\/4к)\(д2/dxidxk){\lr)dV = (\!4n)j(dldxi)(l/r)dSk. (П2.1)

v	s
Начнем вычисления с компоненты Na , и представим ее в виде
	5	(П2.2)
Na = (1/ 4TT)J j dxdy j (d2 / dz2)(1/ r)dz,
S	-5
где 28 - толщина	диэлектрика, 5 - площадь	поверхности, объем
V = 258.

Для вычисления внутреннего одномерного интеграла представим себе также некоторую абстрактную одномерную структуру и мысленно изобразим ее в виде нити длиной 28 с регулярной чередой сфер (про­ стоты ради поры считаем абсолютно тождественными сферами), рас­ стояние между которыми пусть будет 2Ь, а расстояние между лю­ быми соседними сферами пусть будет постоянно и равно D (D < 28). Если длина такой нити 28, то, как легко понять, полное количество

пустот есть
nmM= (2b -b)l(D + 2b).	(П2.3)

Далее, поскольку концентрация т = Ь{\ + 2лтах)/28, а 1 —т = D/imax/8, то с учетом (П2.3) находим искомую зависимость между Dub:

b = mD/2(\-m ).	(П2.4)
С учетом сказанного внутренний интеграл запишется тогда таким
11*	307

образом:

JBH= - z f r \	D + b	I D +ЪЬ
	= - I (d/dz)(z/r3)dz-	\ (d! dz)(z I r ) d z - ... -
5	b	D + 3 b
(члены с заменой	D => - Д b => -b).

При малых концентрациях, вплоть до значений т ^ 1/2, мы можем разложить получающиеся в результате интегрирования функции по степеням Ь. В итоге имеем

Na = (1/ 4n)j j dxdy{2b !{x2 + y2+ b 2)3'2 + 4bx

X X (x +y	2 r»2 \ - 3 / 2
	+ П	D )
n=1
Переходя здесь к полярным координатам, получим
			M
= ф / 2 )|—(р2		+Ь2)~иг —2	2 j-k2\-!/2
			S ( P

n=I

(П2.5)

(П2.6)

где М - некоторое большое число, которое в конце всех вычислений будет устремлено к бесконечности.

Так же, как и выше, разобьем теперь радиальные "нити", лежащие

вплоскости х-у, на области:

ре [0; Д + b]U[Di + ЪЬ\ 2Д + ЗЬ]С/[2Д + 5Ь; 3Д + 5b]U...,

здесь Д = V2 • D и

Nmax=(M -b)/(D ,+2b).

(П2.7)

С учетом того, что m 1/2, можно получающееся в результате интегрирования выражение разложить по степеням b/D. Тогда

Na = 1 -[5 b2/2Д2]*£“ [1/ЛЮ-2Д&/(Д2 + N2D2)3I2\

N = \ l

1

Подставляя, наконец, сюда (П2.4) и учитывая, что D\ =			л/2 • D, имеем
.	Т	^ти	(П2.8)
= 1 - 5 т 2/16(1 - т)2 + (т/2(1 - т)}		£1/ЛГ.

N = \

Осталось только оценить сумму членов расходящегося гармонического ряда. В самом деле, для него имеем

а с учетом (П2.7) и (П2.4) окончательно получаем

Na = 1 - 5m2 /16(1 - т)2 + [т2 In(m / 2)] / 4(1 - m).

(П2.9)

308

Что касается компонент	= Nyy, то для них легко найти такие со­
отношения:

Nxx = Nyy = (1 - Na )/ 2 = 5m2 / 32(1 - m)2 - [m2 ln(m / 2)] / 8(1 - m).

(П2.10)

Итак, полученные формулы отвечают на вопрос о зависимости ко­ эффициента N от концентрации пор (свободных объемов). Здесь сле­ дует еще раз особо подчеркнуть, что с чисто формальной точки зрения примесная фаза, скажем в композите, может быть в отдельных слу­ чаях, условно конечно, заменена свободными объемами (например, ко­ гда основная матрица - диэлектрик, а примесная - магнитные частицы). Понятно, что в сильной мере возможность такой замены должна опре­ деляться только свойствам основной матрицы и мелкодисперсной фазы.

Из формул (П2.9) и (П2.10) видно, что зависимость N от концент­ рации пор при малых т весьма слабая (пропорциональная т 2), но тем не менее при ее учете функциональное поведение, скажем, тангенса "дельта" становится весьма сложным, а его зависимость от т вовсе не тривиальна!

Следует, пожалуй, обратить внимание еще и на такой момент. Вы­ числение диэлектрической проницаемости в той форме, в которой она была проведена выше, на самом деле не исчерпывает возможностей применения других формул для нахождения е. В частности, с помощью метода неравновесной матрицы плотности мы могли бы оценить коэффициент поляризации а (а вместе с ним и е = 1 + 4ла). В самом деле, согласно формуле Кубо тензор поляризации можно представить, например, таким образом:

ос,* (®) = 1 ([<№ ), dk(f, х2)]) exp(i(£>t)d3xld3x2dt lh V3,

(П2.11)

где dfa, х) - оператор дипольного момента атома, квадратные скобки, как обычно, означают коммутатор, угловые - усреднение по равно­ весной матрице плотности.

Что же касается вычисления тензора a ikс помощью приведенного выражения, то следовало бы лишний раз подчеркнуть, что оно на­ столько сложное, что из него не может быть найдена нужная зависи­ мость в общем виде. Однако в простых частных случаях эта формула "работает", и, если задаться определенным видом оператора <i, и опера­ тором взаимодействия различных подсистем друг с другом, ее можно было бы несколько упростить и довести расчеты до логического конца. В пренебрежении взаимодействием между обеими фазами (в общем случае фаз, конечно, может быть любое количество) следует провести некоторую модификацию выражения (П2.11).

А именно

ос,*(ш) = т\ ([du(0),d]k(t)})exp(im)dt lh V+

+0 - m)JН , (0), d0k(г)]) exp(ieof)A lh V,

где уже фигурируют операторы дипольного момента dx и d0, соответст­

309

вующие этим двум фазам. Здесь m = Vl/V, 1 - т = V0/V, V\ + VQ = V, где Vi - объем пор, a V0 - объем "чистой" матрицы. Как и в монографии [1.1], для пористости структуры оставлено обозначение т , которое не следует путать с концентрацией примесной фазы 4*

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ ТЕХНИЧЕСКОГО ПОЛУЧЕНИЯ КОМПОЗИТА С ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ МАТРИЦЕЙ И

С УПОРЯДОЧЕННОЙ ОРИЕНТАЦИЕЙ МАГНИТНЫХ МОМЕНТОВ ПРИМЕСНЫХ МАГНИТНЫХ ЧАСТИЦ

Для того чтобы получить в буквальном смысле магнитоупорядо­ ченную структуру композита, следует применять диэлектрики с темпе­ ратурой плавления Тпл меньшей, чем у магнитных частиц, составляю­ щих примесную фазу. После получения расплава чистого диэлектрика следует добавить в его состав вполне конкретное количество магнит­ ных частиц (таким образом, с заранее известной концентрацией) и тщательно эту суспензию перемешать, причем перемешивание должно быть нетурбулентным. После равномерного распределения добавочной фазы по объему жидкого диэлектрика вся эта структура помещается во внешнее постоянное магнитное поле Я0, по величине превышающее поле магнитной анизотропии На магнитных частиц. После выдержива­ ния этой полученной структуры в поле Я0 в течение времени f0 все оси анизотропии магнитных частиц сориентируются вдоль Я0. В самом деле, в силу эффекта Эйнштейна-де Хааса любой подвешенный на нити шарик (или любое тело произвольной формы), помещенный в магнит­ ное поле, начинает вращаться. Это означает, что у этого шарика появился крутящий момент Кг с осью z, направленной по нити. Наши

магнитные частицы не исключение из этого правила, и для них спра­ ведлив тот же самый закон. После установления всех спонтанных маг­ нитных моментов вдоль Я0, т.е. когда все оси анизотропии оказа­ лись сориентированными поЯ0, эта суспензия должна охладиться в термостате до комнатной температуры. Поле Я0 при этом не отклю­ чается.

В результате наложения трех указанных режимов (перемешивание, намагничивание, охлаждение) мы получаем композит с идеальной маг­ нитоупорядоченной структурой, внедренной в диэлектрическую мат­ рицу.

Итак, физические условия получения такой структуры ясны, оста­ лось лишь оценить время г0 и найти математические соотношения меж­ ду различными параметрами (вязкостью, магнитным полем, размерами частиц и т.д.), при которых такая структура може реально существо­ вать.

310