2.2. Уравнение движения электропривода

К механической системе, совершающий вращательное движение относительно фиксированной оси вращения, прикладываются два момента: момент М, развиваемый двигателем, и момент сопротивления движению М (см. рис.2.7).

Рис.2.7. Моменты, прикладываемые к механической системе с одной фиксированной осью вращения

Если момент, развиваемый электродвигателем, равен моменту сопротивления движению.

М = М_с или М – М = 0 (2.1.)

то механическая система будет совершать движение с постоянной (установившейся) угловой скоростью или находиться в состоянии покоя (ω=0).

Это положение соответствует Первому закону механики Ньютона закону инерции, - который применительно к вращательному движению может быть сформулирован следующим образом: тело, имеющее фиксированную ось вращения, будет находиться в состоянии покоя или равномерного вращения, до тех пор, пока приложенные моменты не выведут его из этого состояния

(2.2.)

т.е., если алгебраическая сумма моментов, прикладываемых к валу, равна нулю, то механическая система будет вращаться с постоянной скоростью ω_уст (или будет в состоянии покоя), т.е. находиться в установившемся режиме.

Для поступательного движения условие установившегося режима формулируется как dV / dt = 0, если = 0, т.е. если сумма векторов сил, приложенных к механической системе, равна нулю, то система будет двигаться с постоянной установившейся скоростью V_уст или находиться в состоянии покоя.

Момент сопротивления движению обычно называют статическим моментом, т.к. в соответствии с (2.2) он характеризует установившийся режим работы электропривода.

Рис.2.8. Графическое определение скорости установившегося режима движения электропривода

Момент двигателя и статический момент зависят от скорости. Найти скорость установившегося режима работы механизма, когда известны механические характеристики двигателя и рабочего механизма, удобно графическим путем. Рис.2.8,а соответствует механической системе, состоящей из вентилятора и асинхронного двигателя. Точка А пересечения механических характеристик двигателя и вентилятора соответствует условию (2.2), т.е. установившемуся режиму работы. На рис.2.8,6 показаны механические характеристики грузоподъемной лебедки, работающей в режиме спуска груза (скорость отрицательна). Для обеспечения постоянной скорости спуска приводный электродвигатель переводится в режим торможения противовключением, которому соответствует механическая характеристика 2. Точка Б пересечения этой характеристики с механической характеристикой лебедки соответствует равенству моментов М=М_с, т.е. установившемуся режиму движения.

Статические моменты подразделяют на активные и реактивные.

М_са – активный момент сопротивления движению прикладываемый к рабочему органу машины; этот момент создается силами тяжести (например, в грузоподъемных механизмах, лифтах и др.), силами ветра (механизм поворота башенных кранов), и др.; активные моменты могут как препятствовать движению, так и создавать движение, в соответствии с этим знак Мса может быть отрицательным, если его направление противоположно знаку скорости вращения и положительным, если направление момента совпадает с направлением скорости вращения.

М_ср– реактивный момент сопротивления движению, прикладываемый к рабочему органу машины; этот момент возникает как реакция на движение рабочего органа и всегда препятствует движению (например, момент от сил резания в механизмах главного движения металлорежущих станков, момент от аэродинамических сил вентиляторов и др.); при ω = 0 М_ср = 0; к реактивным моментам сопротивления относится также момент от сил трения в подшипниках, передачах и других элементах кинематической цепи рабочей машины; момент трения всегда препятствует движению.

Статический момент — полный момент сопротивления движению равен сумме его составляющих

М_с = М_са + М_ср (2.3.)

Знаки всех моментов определяются в отношении знака скорости вращения. Для положительного направления скорости вращения, если момент способствует движению — он положите- лен, если препятствует — отрицателен. Алгебраическая сумма момента двигателя (М) и составляющих статического момента определяет результирующий момент, прикладываемый к валу электродвигателя

М_∑ = М + М_с (2.4.)

М_∑ = ± М ± М_са – М_ср (2.5.)

Для положительного направления движения в формуле (2.5) знак момента М, развиваемого двигателем будет положительным, если он работает в двигательном режиме, и отрицательным, если работает в тормозном режиме. Знак активной составляющей статического момента М_са будет отрицательным, если этот момент препятствует движению (например, подъем груза) и положительным, если этот момент способствует движению (например, спуск груза). С учетом (2.3)

М_∑ = М – М_с (2.6.)

Аналогично для поступательного движения

где – соответственно векторы сил линейного двигателя и составляющих силы сопротивления движению.

Если результирующий момент М_∑ равен нулю, то механическая система будет находиться в состоянии покоя или равномерного установившегося движения. Если результирующий момент (или результирующая сила) не равен нулю, то происходит изменение скорости механической системы: при положительном значении М_∑ (F_∑) – ускорение; при отрицательном значении — замедление. Режимы, при которых М_∑ ≠ 0, называют переходными или динамическими.

Изменение скорости определяется вторым законом Ньютона — законом динамики, согласно которому для поступательного движения — импульс силы равен изменению количества движения

Импульс силы — это вектор, равный произведению вектора результирующей силы на время ее действия. Количество движения — это вектор, равный произведению вектора скорости на массу тела. Если масса постоянна, то

(2.7.)

Этот закон устанавливает, что если результирующая сила не равна нулю, то тело получает ускорение (замедление), величина которого зависит от величины силы и массы.

Для вращательного движения относительно фиксированной оси второй закон Ньютона формулируется следующим образом: импульс момента равен изменению количества движения

М_∑dt = d (Jω) (2.8.)

Количество движения — произведение момента инерции вращающихся масс на их угловую скорость.

Момент инерции J (кгм2) — параметр, аналогичный по физическому смыслу массе при поступательном движении. Он характеризует меру инерции тел, вращающихся относительно фиксированной оси вращения. Момент инерции материальной точки с массой m равен произведению массы на квадрат расстояния от точки до оси вращения J = mR²

Момент инерции тела есть сумма моментов инерции материальных точек, составляющих это тело. Он может быть выражен через массу тела и его размеры. Значения момента инерции для тел вращения приводятся в каталогах и справочниках. Иногда в каталогах дается значение махового момента GD². Для того, чтобы найти момент инерции нужно GD² разделить на четыре = GD²/4

Отметим, что механическая инерционность вращающегося тела зависит не только от его массы, но и диаметра. При одной и той же массе тело, имеющее больший диаметр, обладает значительно большим моментом инерции. Поэтому малоинерционные электродвигатели стремятся конструировать с меньшим диаметром ротора большей длины. Напротив, когда в состав кинематической цепи рабочей машины включается маховик, его целесообразно конструировать с большим диаметром.

Если момент инерции постоянен, то уравнение второго закона Ньютона можно представить в виде

(2.9.)

Исходя из того, что М определяет динамику механической системы, то результирующий момент М часто называют динамическим.

(2.10.)

Учитывая (2.5), получим

(2.11.)